L opération de la substitution ne réussit que dans

un petit nombre v de cas particuliers.

Exemple : en supposant que y désigne une fonction

.rationnelle et posant tour à tour

/ . L\n {<*iX-hbx\n

a, x -*- bx -+- W/r(n,*-4-*.),H-(«o* ■+-" *•) («■*■+■ *•) . z,

a0x-hb0

équations qui lient x k z par des équations du premier degré et qui conduiront par conséquent à des valeurs rationnelles de x et de dx , on rendra évidemment rationnelles et intégrables les expressions

S alx + b1 +l/(asx+bt)*+(a0x+b0X***-t-b*)l , L ' n0 or -h 6„ J *

et même l'expression

f[x, \S{ajX+b,)* + (a0x-hb0)(a%x-\-bt)\dx9 car le radical qu'elle renferme sera aussi exprimé rationnellement en x.

Considérons en particulier l'expression

on pourra d'abord la ramener à la forme

en choisissant ax et by de telle sorte que la différence

kx* -f- Bar -+- C — (a,x+ bt)* =r A'x* -f- B'.tr -f- C

étant de la forme (a0x+bj(a9x+bi)y soit décomposable

en facteurs réels du premierdegré. C'est ce qui aura lieu si

B" — 4A'C = 4A*; -h 40i; — 4Bflt *, -f- B» — 4AC > o ;

TROISIÈME LEÇON. tg

or on peut satisfaire très simplement à cette dernière condition en prenant , i°. SiB»— 4AC>o,

btzzo, «« = 0, (v+M(fl»x+^) =À*a4-B*-r- G; 2°. Si À est positif,

b, = o, a,= l/Â; 3°. Si,C eat positif,

bl=l/c, flt = o.

De plus , comme on a

Àx* -h Bx+ C — (* l/A)* =iX(B^ H- C), Aar»-hBx-hC— (l/c)a = *(À* + B), on pourra prendre, dans le deuxième cas,

«o*-H*o=5; «0=1^, £«=o, aa*-+- *t= B*-H-Cj dans le troisième cas , a0x+ b0=zx9 «0=1, £0 = o, a.jr-f- $a = Ar-hB. Ces transformations faites , il suffira , pour rendre rationnelle l'expression f (#, V/Ax1 ■+- Bx ■+- C)e£r , de poser

ce qui revient à faire , io. Si Bf— 4AC>o,

V{a0x -+- ba) («,* + *,) = \/Ax*-hBx* + C = (*a0x + b0)i

a°. Si A >o, ï = xV^A-f-V/Ajra4-B*4-C, V^Â*tTb^TC = * -xi/A;

3°. Si C >o,

V/C -4- V/ÂjpM-Bx-|-C . >- ^ . y-.

z = - - , \SAx*-hBx + C=:zx—l/C.

II est aisé de voir, à posteriori, qu'à l'aide de ces différentes hypothèses , x , dx et l/Aar'+Ba: +C , seront exprimés rationnellement en z, et que par conséquent l'expression f(x, W^Ax'+Rr + C)^, dans laquelle f désigne d'ailleurs une fonction rationnelle, deviendra réellement iniégrsible. Exemples :