C-hBa? — x* = — (x — *)(x — C) = (x — «)az
C — x = (x — * )«a > — dx = zxdx -f- 2 (x — « ) zd!z,
dx dx 2<fc
-> r = . — = -, etc.
dx
Un seul cas échappe à la méthode , celui où B1 — 4AC<o , A<o, C<o; alors le radical étant essentiellement imaginaire, on poserait
l/À*"-hB*-f-C = l/=~ï i/— A*» — B* — C,
et Ton intégrerait comme plus haut.
Si Ton avait à intégrer
jy\x>(ax + b)p, (*x+b)', (0* + *)%. ••!<**, i i i
on poserait
. » ax -+- b
ax -\- b =z * ou — = s%
a,* 4- bz
n étant le plus petit des nombres que divisent à la fois P •> Ci rt • • • On rendrait rationnelle de la même manière
une fonction rationnelle des monômes xn, x* , x? , etc. Les expressions #
se ramènent encore aux formes précédentes, tett posant x* = z.
QUATRIÈME LEÇON. a3
Suite de l'intégration des fonctions algébriques. » Différentielle binôme.
23. On désigne sous le nom de différentielle binomê , les expressions de la forme x"1 (a + bx" y dx y dans laquelle on peut toujours supposer m et n entiers, car si ces nombres étaient fractionnaires , la transformation indiquée dans le numéro précédent ramènerait à une expression semblable où les exposants de la variable seraient entiers. L'exposant /p est fractionnaire , car s'il était entier on développerait (a -+- bx*y, et Ton aurait à intégrer un nombre fini de termes de la forme Ax™.
On peut d'abord essayer de rendre l'expression donnée rationnelle en posant
a H- bx* z=z z,
d'où
r!=(!Tf)"»*p=i(-Tf)" *»
donc, si est un nombre entier , l'expression trans-
formée n'aura d'irrationnel que le monôme z? = zr,
et on la rendra rationnelle en posant z = tr9 ce qui revient à faire d'abord a -+- bxn = zr.
Comme on a
x"(a 4- bx*)*dx = ***** (ax~* -H bydx,
et que le second membre, d'après ce que nous venons de dire, sera intégrable si — *- , et par suite
- ou ■+- p est un nombre entier , il suf-
fira, pour qu'on puisse intégrer l'expression je" (a -+- bx*)dx,
que 1 une des quantités ou h ^>. soit un
nombre entier.
Cette même expression je"1 (a -H bxnydx, quand on
change jC* en x, dx en , x"1 en xn , devient
et n'est qu'un cas particulier de l'expression plus générale f(ax + by^tiX+bi)' dX) dans laquelle [i et v sont des nombres quelconques, et que Ton rendra évidemment rationnelle dans chacune des hypothèses suivantes, c'est:, à-dire si l'une au moins des trois quantités p , v, (i •+- v est un nombre entier : en effet, dans ces hypothèses, l'expression dont il s'agit se présente sous l'une des formes
(flU-^^x+^l ndx, (€us + b)~n{a1x+hlj±zldx,
(ax + b) n (0,07-1-0,) *,
dans lesquelles /, m, n sont des nombres entiers, et que l'on rendra rationnelles et intégrables en posant, pour
la première, tftJM-ftiŒZ"*, pour la seconde, ax+b=zn;
pour la troisième , 7- = **•
r 'm + bt
