Lorsque les deux expressions

/*"(fl+ b&ydx, f(ax -h by*(atx -H £,)f«ir,

ne sont pas intégrables, il reste à essayer de les ramener à des formes plus simples en réduisant autant que possible les exposants m oup, fx ou v, à l'aide de l'intégration par partie, ou de l'équation

fudv =z ui> — fçdu ,

dans laquelle on prendra toujours pour u le facteur dont on voudra diminuer l'exposant, et pour dv le facteur dont on voudra laisser intact ou augmenter l'exposant. Transformons d'abord la seconde expression qui est plus symétrique.

ier cas : On veut diminuer p. et augmenter v.

En prenant (ax +4)^ pour u, (alx+biy.dx pour di>, on a

^— { {ax + bY-\axx+by + ldx.

2œe cas : On veut diminuer fi en laissant v ce qu'il est. Dans la formule précédente on remplace (at x + ôi)fH~' par

(aI^+3I)V,x+ô1)=(axa:+ô1)'[5 (ax + *) + **' ~ *'*], et, en réunissant les intégrales semblables, on trouve

3*" cas : On veut augmenter (i sans toucher à 'v ; en résolvant la formule précédente par rapport à l'intégrale du second membre et changeant fx en /* + 1 , on trouvera

(3) J (ax+by^x + bj dx = ^ |} ^^

(p-hi)(abt—atb)J '

En changeant, dans les formules (i), (2), (3), a, £, p en at9 bu v, et réciproquement , on obtiendra trois nouvelles formules qu'on pourra employer dans les cas suivants. 4me cas : On veut augmenter ^ et diminuer v.

//v Ct .vu, , x. , {ax-^bY^"l{axx^rb^f

(Q J(ax+by(*tx+btydx = { (£+0" — "

on obtiendrait directement cette formule en prenant (atx -+- bxy pour u.

5me cas : On veut diminuer v sans changer p.

On déduira cette formule de la quatrième, en remplaçant (ax ■+- by*1 par

(ox-h^ (m -h b) = (w 4- *yt[^L(g^H->«)-4-g,*J^' ].

6"* c*w : On veut augmenter v sans toucher à pu

./ ' v (»+ \){atb — abx)

Cette formule 6 obtiendrait en résolvant la cinquième par rapport à la seconde intégrale, et changeant v en v+i . En employant une ou plusieurs fois les formules qui précèdent, on ramènera Fin tégrale proposée à une autre, dans laquelle chacun des binômes ax -\-b, axx + bt aura un exposant compris entre o et i .' Si les exposants /* et v avaient des valeurs entières, on finirait par les réduire à o et — i , et l'intégrale donnée se trouverait remplacée par une des suivantes :

fdx=x + C, f rr=— l(ax + by + C%

jaxx-\-bt iax

dx i Ç J ax-hb\__ i j/ax-l-fty

b)(atx-t-bt)~~~ abt— ajt* J \awx+bi)~~ *(abt—axb) \atx+bj