Si Ton veut simplifier immédiatement l'intégrale

fxm(a^hbx^)Pdxf

on prendra d'abord af1 pour uy et l'on aura

-hbx*ydx= Ç^L-Ll[a^bxn)Pbaft'mtdx

et l'on en déduira :

i°. Si l'on veut diminuer m et augmenter p ,

a°. Si Ton veut diminuer m sans toucher à//, en rem-

a8 CALCUL INTÉGRAL.

plaçant (a+fa»)H-> par (a+bx»y (a+bx"),

{ faa + W*, = ^+'(« + **)'+' (a) H b{m + nF + i)

\ b(m + np-hi)J v '

3°. Pour augmenter m sans altérer p, on résout l'équation (a) par rapport à l'intégrale du second membre , et Ton change m enTm-|-/i*, ce qui donne

a(m-hi) J

4°. Pour diminuer p et augmenter m , on prend xmdx pour rff , et l'on a

npb rr«+./ll4.ftx.\Jp-«rfr.

m + ij x

5°. Pour diminuer p sans augmenter m , on remplacera dans (4) *m+n par aT (g + *f""a)>

d'où

<c"+,(<i-hkrl,)f

v ' m + np-hi

anp

fx*(a+bx»)P-ldx.

6°. Enfin, pour augmenter p sans altérer m, il suffit de résoudre (5) par rapport à l'intégrale du second

membre et de changer p en p + i> on trouve ainsi :

Les formules qui précèdent offrent quelquefois des termes infinis et ne peuvent plus être appliquées ; mais on s'assure facilement que dans tous les cas où cela arrive, Tune des conditions d'intégrabili té est satisfaite , déporte que la différentielle proposée peut toujours être ramenée à une fonction rationnelle.