Exemples
C x*dx x"^x\/i — x* m — 1 rxm~%dx
L exposant entier m étant ainsi abaissé de deux unités, on arrivera en répétant plusieurs fois le même procédé , à Tune des deux expressions
J" xdx y — P dx
— 7= = — V 1— **+C, I— ======:arcsina?-+-C, V/i— x* JV\— &
suivant que m sera pair ou impair. On parvient ainsi aux deux formules suivantes :
Si m impair,
z£!r^.+fLzLi^3^^-0(^-3)^5^+^-i)(«-3)...ai
si m «pair,
*^=*r—+iL=±a-*...+
jp* m L ni — -2
—. r-, jz arc sin x
Si Ton supposait l'exposant négatif et représenté par m, on le réduirait à l'aide de l'équation
J"1 x~mdx x~m+xY\ — x* m — 2 Çx~m'**clx Xfi— x* "~ —m -M m — \J l/i — x» '
que l'on pourra toujours employer, excepté dans le cas où
m = i$ l'expression à intégrer est alors rend* rationnelle en posant
l/i — x* = i -4- zxt
dx
VT^ï
;cmla
et Ton trouve
H. I — , intégrale cpii se présente dans le
calcul des oscillations du pendule ; on a
ç x*dx __ I y"/ à /' g*~»dk
«/l/flx— x» ~~ t/ l/<wr — x» * •/ \/mx^x* '
'l/flX — x*
et en intégrant par parties,
. --— = — ^mrmx \Sax— x*-h(m — i) fx*-*dx\/ax — i
. • , N C&^iax — x%)
v V \/ox—&
1^/m: — x* '' X/ai
\/ax—x*
QUATRIÈME LEÇON. 3l
Substituant dans la première équation, et réduisant, il
vient
r xmdx xm"t\/ax — x* im — i Ç xmmmxdx
J l/ax—x*~ m »» J y/ax—x*'
L exposant m étant ainsi abaissé d'une unité , si Ton applique le même procédé à l'intégrale du second membre , on parviendra enfin a l'intégrale
l/ax — xa ~" / /a~* Ta
a — ix
- = arc cos ■
27. Pour obtenir de la manière la plus directe les formules qui servent à la réduction de l'intégrale
f(ax+b)*l(alx-hbiydx,
on peut, avec M. Cauchy, substituer l'équation
fuvdAv — uv — fupd.lu
à la formule ordinaire fudv = uv — /Wm, et supposer
les fonctions u et *> respectivement proportionnelles à
ax -+- b certaines puissances de ax -f- £, axx -+- btJ — ZZJT » en
ayant égard aux équations
ax + b ___ (abt — axb)dx axx-±-bt (ax -f- 6) (a ^r -h bx)%
On retrouverait ainsi immédiatement la formule (i) du
n° 24, en supposant u proportionnel à une puissance de
ox -f- &, v à une puissance de at;r4-&iî la formule (a),
i * . i ax -f- b
en supposant u proportionnel a une puissance de j- ,
axx-\- ox
*> à une puissance de atx -f- i, $ la formule (3), en supposant u proportionnel à une puissance de axx + &t,
v à une puissance de j- \ la formule (4) > en supposant u proportionnel à une puissance de atx -+- btJ v à une puissance de ax + i ; la formule (5), en supposant
u proportionnel à une puissance de — 7^, et v à une
puissance de ax + h ; enfin la formule (6), en supposant
u proportionnel à une puissance de ax -f- £, v à une
- £*r -h £ puissance de 7-.
On pourrait traiter de la même manière l'intégrale
[x"(« -f- bx*)dx.
Exemple : Supposons qu'il s'agisse de réduire l'intégrale dx
f(rr^=ftt+x')-d*'
n désignant un nombre entier supérieur à l'unité : on supposera u et v proportionnels à des puissances de x% et
de et comme on a
on tirera de la formule f uvd.\v=.uv — fuvdA u :
a: 2/1 — 3 /* dlr
==a(ii— i)(iH-j:,)"-,","2/i— 2 J(Ï4^»p"1,
Intégration des fonctions exponentielles logarithmiques ou circulaires.
28. On nomme fonctions exponentielles ou logarithmiques celles qui contiennent des exposants variables ou des logarithmes, et fonctions trigonométriques ou circulaires celles qui contiennent des lignes trigonométriques ou des arcs de cercle. Il serait fort utile d'intégrer les formules différentielles qui renferment de semblables fonctions, mais on n'a point de méthode générale pour y parvenir. On est réduit à essayer de les rendre algébriques par une substitution de variables, ou à les ramener à des intégrales de même genre, mais plus simples.
Exemple : On rend algébriques les intégrales
/fO*)* //(*)***, ff {*)**, ff(ànx)œsxdx, ff(ca&x)suixdx, ff(suix)cosxdxf /"/(sin x> sin aar, . . . , cos x9 cos ax, . . ,)dx,
en égalant tour à tour 1 a:, e*, sin x, cosx à z. Ainsi, par exemple, en faisant sin x = -z, d'où
cosx=Ki — *S cosxdx = dz\ dx=—-—=
Ki — **
l'intégrale //(sinar, cosx)dx devient
et se présente sous une forme algébrique.
T. ii. 3
34 CALCUL tRTÉOtAL.
29. Si P et z sont deux fonctions de x dont la première reste algébrique, et dont la seconde ait seulement une dé-N rivée algébrique *', et si de plus, en posant-
fVdx = q, /'Qs'drsrK, /Esrdfc=S,...,
on obtient pour Q, R, S, . . . des fonctions connues de la variable x9 on déterminera sans peine, à l'aide de plusieurs intégrations par parties, l'intégrale fPzndx9 dans laquelle n est un nombre entier. On a en effet
fQzrzr-*dx=zr-*fQzfdx— (/i — i)f[zr-*zfdx X /Qrtt*}
= R*»-" — (n — i)/ÏUV-*<kr . . . , et par suite
/PstàrszQrf' — aR*"-* -h *(« — îJSs"-" — etc. -+■ C;
on satisfera aux conditions énoncées en prenant pour z les fonctions A \[f(x)]9 A arc tang /(#), A désignant une constante, et f(x) une fonction algébrique de X.
Exemples : Supposons que, P étant égal à i, z soit déterminé tour à ttrar par les équations
2=lx, s = aicsini7, s 2= arc cos*, s =l(jr -j-V/'h-j*),
on aura
L arcsin* (arcsinar)* (arcsma:)3
rccosxJ-iùrrrrfarccosx^Lc ^ Ç-h 1-^ i-™ h
' v L arccos* (arccasx)* (arccc**)*
t(*H-i/lHhP)],,Ac
u^^'^)i,L«-1(.+l/^)-^i^l/ï^lr-ïl(jf+|/rpp)j-
CINQUIÈME LBÇOW. 35
On intégrerait encore avec beaucoup de facilité les expressions/ x— * (1 x)ndx, /x—^arc sinx)ndr,. . ., qui diffèrent de celles qui précèdent par la valeur de P qui ici est x""1 , on aura , par exemple ,
[ F *l 1 a\x^a*(\xy *W J
Si dans les formules obtenues , on pose tour k toiir
1 x ■=. z9 x = c3, dx = e*d&\ arcsinj7 = 2, .r = sinz, dx = co%uh; arccosx =z, x = coszy dx = — sin zdz;
lCx-hl/i-Hr1) = z, x +1/7+4* = <?»,
(■r-t-l^i-Mr») (V^i-h^ — .g) J ' .
Kl-f-x* — x = e ', x=z —, *£r = A;
on trouvera
ijl . T * *(* — 0 * *(* — i)...3.2.n
tèzrzV i 1- v ; — etc. ± -^ *
^rit,4,^^H-...] + co,,[^-^-y-a)+...]}+C> ^^=^{co>,[,-^+...]-sin^-a(,,-,](;,-^...]}+C>
i=!r f,^ + "&=!) etc. ± "("—)• --^.il 1 + c.
On pourrait établir directement ces diverses formules à l'aide de plusieurs intégrations par parties que l'on effectuerait de manière à diminuer sans cesse l'exposant n pour le faire enfin disparaître. Ainsi, par exemple,
36 CALCUL INTÉGtAL.
l'intégrale/** é**dz se déduit des équations
«•-" é"dz=z I *■"■ ifdty etc.
L'intégration par parties peut encore servir à fixer le» valeurs des deux intégrales
on a en effet
fe** œ&bzdz9 f**sinbz4z9
&% ooêbzdz =
«■* cos6z b
- / ^ànbzdzy
/. . ■ «"suite 6 /• ,
e" sin 0*w = I e" cos m a»,
d'où
e** cos bzdz = n(acos6z + & sinôz)-HC,
/e** e** sin bzdz = r- (a sin bz — b œ&bs) -h C.
Scolie. La formule qui donne /"zn e**dz, repose sur ce e?%dz = — .Or cette dernière équation
subsiste encore lorsqu'on remplace a par a -\-b\S — i, et par suite f e?%dz par
/^•+*i^=ï),A = fé"{cosbz -4- l/=Tsin^)c&.
On pourra donc faire cette substitution dans la formule citée, ce qui donnera
V" (cos bz -+-l/— i sin bz)dz sV«(cc*6s-hV/^i sin 6s) p
CINQUIÈME LEÇON. 5j
Cette formule se partagera en deux autres qui canneront les valeurs des intégrales
/*■«•* co&bzdz, f z*t** ù&bzdz.
30. On peut encore rendre rationnelle ou réduire au moins l'intégrale /sin^x cosvx<£r, dans laquelle (i et v sont deux quantités constantes. §i d'abord on pose
sin»a? = I, d'où
cos1* =1 — z, dz = 2sin.rc0s.rdx,
l'intégrale proposée deviendra
et sera rationnelle et intégrable si les trois quantités
se réduisent à trois nombres rationnels dont l'un au moins soit entier , ce qui arrivera nécessairement toutes les fois que f* et v auront des valeurs numériques entières.
Dans tous les cas , à l'aide de l'équation
fud» = u» — fodu, on pourra :
i°. Diminuer p, augmenter v en prenant sin^J? pour facteur u , ce qui donne
(i) I sin^o? cpsf xdx r= —
sio^'arcos'"*"1*
38 calcul ivrteiAL.
a°. Diminuer p tins changer v en remplafamt àmm I» formule précédente, cosf+*JC par
cos'xXcos^xzr cosf X(i —•»•*),
et réduisant v d'où
, , f. u* , J iin*-,*ccV+,x (a) I sra'*xcosvxt6»:2z-r : —
-l-£ZL- / «in^""axcosfjrdlr.
3°. Augmenter p. sans changer v , en résolvant la formule (a) par rapport à l'intégrale du second membre, et changeant p en (i -+- a. On trouve ainsi
sîn''xcos'xdx =
^ 4- i ^"h,"f"a fsin>*+VccV*<**.
En prenant cos^j? pour facteur u, et suivant la même marche, on pourrait :
4°. Diminuer v, augmenter p ; 5° diminuer y sans changer p; 6° augmenter v sans toucher à /x, h l'aide des for» mules
/n /* • « * j sin^"+"Ijccosf"Ia? , *— i f . «+Q - -
(a) I sraA*xcosTx<£r= h I sin^^xcoa*""**!
/rx r . * . j sin'*~Mxcos?~'lx f— i /• -(5) I sm^xcpivxdx= 1 I sin^x çpsf ^rdx,
ia\ f - u t j sin^'xcos^'x /H-»-h* P . tt .j a (6) I sm'*xcos,J?<ir = h- / sin^xcot"^*;
On pourra dès-lors transformer l'intégrale donnée, en une autre intégrale de même espèce , mais dans laquelle les exposants de sinx et cosx , seront compris entre — i
et + i • Si les exposants fi et v sont tous deux entiers , on les réduira à Tune des trois quantités +i, o, — i, et l'intégrale fsin^x cos 'xdx sera remplacée par Tune des neuf suivantes:
/ dx = x -f- c, f sinxdx = — cosx -h C,
f œsxdx = sinx -h C,
/ sinxcos.r<£r = T sin*,r -f- C,
f*™f-dx = - T 1 cos'* -+- C,
,/ COS
/ - dx = -r 1 Mn * H- C>
j sinx
cos*.r , .
-: — = ïltang\r-h C,
sinx ^
cos a:
- — = / ^—r r-=iltan« --r-c»
smar ,/ sinT;r cosyx D 2
Si Ton applique ces principes à la détermination des intégrales
jvn'xdx, Jcn'xdx, J —xdx, ,.co^ çjx f dx
11 étant un nombre entier, on trouver* :
CALCUL IMTÉGftAL.
**• En supposant n pair,
/^..l cotxr . *— i . , 3.5... (n — 3)(m— i). 1
/. . SDxf il— I
cos
i .3. . .(ii — 3)(* — i) 2.4. ••(" — a)it
tang"
tang *"3j
tang
/î-5 — *. , cot^'x cot-"3* cot"~5x
. ± tang* rp js -h C,
/cotHxdx = — ^ -~ -h ^1- .r m. *. . # -£ cet* zf. x -H C, n — 1 n — o n — 5 ^^ w
â' . mx f , *— 2 . . a!4...(/i— 4)(/i — a) T
Imc-j^=----- aec" 'x + — = fiée»-3*... h f-i ;{) »{«bc* H
•J ii— iL «—3 i.3... (ii— 5) (ii — 3) J
/cos-rf ii-a coiec'artr == 1 cosec'»"1 xh n — iL ii-3
a°. En supposant /» impair,
/•in*r »— 1 . t (n— i)(n— 3)
/* . tann^-'x tang"-1* tang"-»* .tang»*, , . -
rCosec"~3x...4
a.4...(/i-4Xii-a)
LS^ii-SKu-a)'
a.4...(it-^(»
cot"-,x cot"-»x cot*-5x
eot"xdx= 1 = =--
cot'x
qp$l§in»x-+-C,
/* , coixf . «—a .... . 3.5 ..(*— a) . . ~1
31. Pour obtenir immédiatement les six formules fondamentales du n° 30, M. Cauchy a recours encore à l'équation
f wd\v = m = ftwdÀUy
et fait tour àjtour, i° u proportionnel à une puissance de sinx, et v proportionnel à une puissance de cosx -, i°u proportionnel à une puissance de tangx, et u à une puissance de cosx ; 3° u proportionnel à une puissance de cos x et vk une puissance de tangx; 4° u proportionnel à une puissance de cosx et v à une puissance de sinx; 5° u proportionnel à une puissance de cotx et u à une puissance de sinx; 6° u proportionnel à une puissance de sin x et u à une puissance de cotx ; en ayant égard aux équations
. cosx , sinx
a. 1 sinx = - — dxy </.lcosx:= dx3
sinx cosx
rfx </.! tangx = — rf.lcotx =
sinx cosx
D'autres méthodes peuvent servir encore à la réduction ou à la détermination de l'intégrale / sin ^x cos -nxdx , metn étant deux nombres entiers. H est d'abord évident qu'on réduira l'intégrale / sin~mx cos~nxdx à d'autres plus simples , en multipliant une ou plusieurs fois la fonction sous le signe /par sin,x + cos,x= i. De plus on peut rendre rationnelle l'expression sin-"x cos=û,xd[x, i° dans le cas où n est un nombre impair , en posant sin x = z ; a° dans le cas où m est un nombre impair , en posant cosx = z. Enfin Ton obtiendra très facilement les valeurs des intégrales
/ sin"xdx, / co&mxdx, /sin"* cqs\w£f,
en remplaçant sin mx, cosmx, sin'\rcosmx, par leurs va-r leurs en sin x, sin ax, sin 3x, . . . , cosx, cos ax, cos 3x, . . .
Propriétés diverses des intégrales définies. Méthodes pour la détermination des valeurs de ces mômes intégrales.
