ï—l) W Jx I.2.3...(/î— l

Le dernier terme du second membre pourra d'ailleurs être présenté sous diverses formes, car on déduira de ce que nous avons vu

Jx ' l.2.3...(/î— l) Jo J o

fOft calcul inertaftAL.

Applications géométriques dé la première partie du Calcul intégral. Première application à la rectification des courbes planes.

67. Les applications géométriques sont aussi de deux sortes : I. On demande de construire une courbé qui soit telle, que la touchante , en un quelconque de ses points, fasse avec Taxe des x , un angle dont la tangente trigonométrique soit exprimée par une fonction donnée f(x)* C'est, sous un énoncé géométrique, le problème déjà ré-* solu et qui consiste à chercher la valeur générale de y propre à vérifier l'une des équations

dX=f(x)Ox9 %=/{*)•

On montrera plus tard comment, dans tous les cas, on peut construire la courbe par points en la considérant comme un polygone d'une infinité de côtés infiniment petits. >

II. On demande la longueur d'un arc ou l'aire d'une surface courbe ou plane, ou le volume d'un solide ren* fermé entre des limites données.

Solution générale : U est évident, d'après ce qu'on a déjà dit , que si la différentielle ou l'accroissement infiniment petit de cet arc , de cette aire , de ce volume , correspondant à l'accroissement infiniment petit de la va*

onzième LEçonr. io3

riable x est donné par une équation de la forme

du = F(x)dx,

et que si de plus, cet arc, cette aire ou ce volume désignés par u , sont limités dans le sens des x par deux plans fixes x = :r0, x = X , ou par un plan fixe x = x0 , et un plan variable x = #, u sera donné par les équations

u = / F (x)dx> ou u — uQ = / F(x)dx. J xQ J x0

68. Considérons d'abord une courbe plane représentée par une équation f (a:, y) = o, entre deux coordonnées rectangulaires , ou bien une courbe à double courbure représentée par deux équations

f(*>Xy *) = o> ï" te r> *) = °>

entre trois coordonnées ; et sur cette courbe un arc S renfermé entre un point fixe A et le point mobile dont l'abscisse est x$ si Ton désigne par S cet arc, et si Ton appelle r l'angle aigu que la tangente à la courbe fait avec Taxe des x, on aura

dS = ± sécrtiLr,

le signe + devant être pris dans le cas où l'arc S croît avec l'abscisse a:, et le signe — dans le cas contraire. Dès lors la portion de cet arc comprise entre les deux plans fixes x = x0 , x = X, ou entre le plan fixe x = xQ et le plan variable x = x, sera donnée par les équations

S — S0 = I sécr<£r, ou S — S0 = / sécrdx. J x0 J x0

En comptant les arcs à partir du point dont l'abscisse est x0 , on aura

S„ — o, S = ± I sécr/ir, ou S=-±l sécrdx

J x0 J xQ

on aura d'ailleurs, si la courbe est plane ,

•éc'=\/,+(£),=i/,+^;

si la courbe est à double courbure ,

secr

et Ton calculera dS = ±sécrdx en tirant de l'équa-t lion, ou des équations de la courbe , les valeurs de ^ ou

de Ht-, i- * et les substituant dans les valeurs de sécr. dx dx

Corollaire ier. Si l'inclinaison r devient constante, on aura

S=±/ sécrdr=±sécrl dx = ±(x — x0)$ècr9

et par conséquent, lorsqu'une ligne a dans tous ses points la même inclinaison par rapport à l'axe des x, une longueur portée sur cette ligne est équivalente au produit de sa projection sur Taxe des x par la sécante de l'inclinaison. C'est ce qui arrive quand la courbe se réduit à une droite ou à une hélice tracée sur un cylindre qui a pour axe Taxe desx.

Corollaire ame : En appelant N la normale à la courbe» on a

N N=±sécTX.r> sécr = ±— ,

et par suite

J XoX

Corollaire 3me : L'intégrale t sécrdx est égale,

ONZIEME LEÇON. ïo5

comme on sait, à la différence des limites X — x0 multipliée par sécT, T désignant une moyenne entre les diversesvaleurs de l'inclinaison t ; donc S = ( X — x0) sécT,

et tz = séc T, c'est-à-dire que le rapport de Tare

d'une courbe à sa projection sur un axe, est une moyenne entre les sécantes des diverses inclinaisons de Tare par rapport à ce même axe. Ce théorème suppose que Tare, entre les limites x0,X, n'est rencontré qu'en un seul point par les plans perpendiculaires à Taxe des x.