ier Exemple
Le cercle x* -f- y* = r% on a
dx r rdx
S = r arcsin arcsin — I.
2°. L'ellipse
d'où
ou, en désignant par e l'excentricité déterminée par l'équation
e = ; secr = 1/ :
on aura donc , en posant
xn = o, x = «r,
et en appelant par conséquent S la partie de l'ellipse
comprise entre le sommet du petit axfc et le sommet d» grand axe , ou le quart du périmètre ,
et, en faisant x = az,
On ne peut intégrer cette expression qu'en ayant recours aux développements en séries. Si au lieu de faire x = az on avait posé x = a cos y , on aurait eu, pour l'arc compté depuis x = xQ jusqu'à x = x,
S = — a f* df \/\ — tfacos*0, et pour le quart S' du périmètre
;'=« f dp\/i —
e*cos*^;
or on a
\/\ — e%co**f = (i — «r^cos1 ?)*
= 1 cos-
— cosa® rcos«0 .7>-cosbp — etc.,.
2 T 2 4 2 ijo
série toujours convergente, puisque la quantité e, et à fortiori là quantité e* cos 'y, sont plus petites que l'unité;
fi
donc
S = aw al cos* p*fy 7a / cos4 f dç
1 3 <r« /• i ~Ï4 6flJ„ «*><*+ etc.;
maison a trouvé, dans le Calcul intégral (n° 42),
/•a , i.3.5... (in — i ) «■ cos"f dp = ,-tj— * L - ; o 2.4 b 2/1 a
donc
^-ay-ia-w-K^-y-K^-)-*
Le périmètre entier de l'ellipse P sera donné par l'équation
'--[-(tf-i(3«i£-)"-~}
Les produits de la série du second membre renfermés entre parenthèses, sont, aux coefficients près, les carrés des termes correspondants du développement
vi i i.3 ^ î 3.5 , ï.3.5.7
Ou peut calculer autrement Tare de l'ellipse. L'équation
«- 1 e'x1 — a* secaT =r = -•
cosar donne
ax(i — cos*r) , a sinr
j»* — v x jp == — t— —
1 — c',cos,T, y/x __ ercos*T'
, a(î — e2)cosrdr
dxz=±-- v ;
(1 — e* cosV)»
donc, en appelant t0 la valeur de t correspondante à xoy et comptant toujours l'arc à partir de x = j?0, on aura , en admettant que l'arc croisse avec l'inclinaison ,
J» x /• r dr sécrdx = a(i — <?a) I 2»
■*o *'*•(! — e*COS'r)*
En désignant toujours par <p l'angle déterminé par l'équa-
lo8 CALCUL INTÉGRAL.
tion x =a coscp, on trouverait que, dans le cas où oo*f est positif, <p est lié à r par l'équation
sinr l/i—^cos^ d'où Ton tire
I — COS*0 — POS'r -f- C* COS*f COSH- = O,
r (tf'cosrsinr) t y (t — &\
(*»COS fCOSr) =rf \ . J = — i^l— ^COS>rrfr-f- — ^ *■
7 Lki- *"CQS*rJ (l— #*C0I
et en intégrant, à partir de t = t0,
(i — *>) P * î=prfri^i — i?>cosS-
•/ t0 (i — c* cos «r)1 •/ to
■+-«* (coS^COSr — COS^0C08t0), t
et enfin
S = û(l — €?a) f r = at?*(cOSf COSr — COSfoCOST0)
«/To (i — e'COS**-)1
-+-« f dr y/i — **©(>***■;
•/ To
en comparant cette équation qui suppose t > t0 à celte trouvée plus haut
S = a i * dç l/i — ^cos1^ */ yD
on voit que l'intégrale
a f dr l/i — £*cos*t
représente Tare renfermé entre les points de l'ellipse qui ont pour abscisse x = a cos t0, x = a cosr; donc, si Ton désigne cet arc par $ , on aura
S = ac* (cosp cosr — cosfo cost0) -f- $,
S — t = fit?* (cOSf COST — COSf oCOSTo);
xOJ x, £0, £ étant les abscisses des extrémités des arcs S et *, on aura
x0 = a cos<p0, x =a cosp, ?0 = a cosr0, { = a cosr,
et par suite
L'angle y, déterminé par l'équation cosç = -, est
précisément l'angle que fait, avec le demi-axe des x positifs , le rayon vecteur mené de l'origine au point où l'ordonnée correspondante a l'abscisse x rencontre la circonférence décrite sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre : ? est toujours l'angle de la tangente avec l'axe des x , en ayant égard à cette remarque , on conclura de
l'équation S — r = e* — , que Ton peut évaluer
en tenues finis, la différence qui existe entre deux arcs' d'ellipse tellement choisis que les inclinaisons des tangentes menées par les deux extrémités de l'un de ces arcs soient respectivement égales aux inclinaisons des deux rayons vecteurs menés du centre de l'ellipse aux points où la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre , est coupée par les ordonnées qui renferment les extrémités du second arc.
Loi-sque l'on suppose ? = o, on a
*" c — e*xt
et l'on retrouve un théorème découvert par le comte de Pagnano. Dans tous les cas, en substituant dans l'équation
1 — cos*^ — cos*r -+- c1 cos^cos* r = o,
IIO
CALCUL IHTÉGRAL.
pour cosqp, cost leurs valeurs-, -, on trouvera
a4 at (z* + {») + e*^* = 0.
les abscisses x et Ç devront donc toujours satisfaire à cette équation.
3°. L'hyperbole — — ïï=J *en fa"*nt e = y r~* ; — î on trouve »
et en posant
cosp Jy0V ' cos'f
d'où Ton tire , en développant et intégrant,
S = <w?(tang? — tangp0) — —(9 — p0)— - -^ f9cos *çdp le 2 ^e° J y0
lies asymptotes ont pour équation — — *^ == o,de sorte
que la longueur comptée sur l'asymptote entre l'origine et le point dont l'abscisse est .r, sera donnée par l'équation
/ = ex = ■
et si l'on observe que
cosp
tangf :
"cosp
1 — sin <p cos 4>
cosf
i-f-sinf
