ONZIÈME LEÇON. I I I

on trouvera , en supposant y0 = o, cos?

/ — s = ae -

i -4-suap

Si maintenant on faila> = -, ce qui suppose x=oo , il viendra

awï i (i iV i/i3 i\« i / 1.3.5 iV !

cette équation donnera la différence entre deux longueurs très considérables portées, la première sur l'asymptote a partir de l'origine ; la seconde sur l'hyperbole à partir du sommet, de manière que leurs extrémités répondent à la même abscisse.

4°. La parabole yï-=^ ipx, d'où

En posant

on trouve

= ttL?if'ziUc.

Si maintenant on fait, pour plus de simplicité, x„ = o,

lia

on aura

Telle est la valeur de Tare de parabole compris entre le sommet et le point correspondant à l'abscisse x. 5°. La logarithmique jr = a\x\ d'où

. a a , dr

/ =-, # = -r = a cotr, dx = — a-r-r-f x y qui**-

To cosr a

sin^r *

d'ailleurs

COtr Sin'r COSrSin'r

"•cosrrfr

cos'f-t-sin*T cosr i

sin*r cosr'

donc

/COSrrfr I ,

sin*r suit

— [(É-sÊ:)-|-<r-ï)--,-<î+?)}'

6°. La chaînette/ = a ; en posant x0 = o,

c'est-à-dire en comptant Tare à partir du point le plus bas, on trouvera

/•x X X X X * — dx-=.a = ar • o a a

Cet arc est proportionnel à la tangente trigonométrique de l'inclinaison correspondante à son extrémité. Comme

ONZIÈME LEÇON. Il3

on a

on aura aussi

l'arc, compté à partir du point le plus bas est donc le coté d'un triangle rectangle dont y est l'hypoténuse , et a l'autre côté.

7°. Enfin , la cycloïde

x = R arccos — — - — l/aRj —

Si dans la formule S = / séc xdx on remplace x par

j, il faudra remplacer en même temps t par t; on

aura donc

5=±cosécT€fy; S— S0=± / cosècrdy = ± / «(p y ■ i -f. -L f ou , en comptant l'arc à partir de x = x0, et supposant

S =r / COSéc rcÇr =r / et) 1/ I -f- -jt.

«/.ro «'ro Y r

Pour la cvcloïde , on a

aR — y

CALCUL IKTÉG1AL.

/*~aR— x9

y donc , en comptant Tare à partir de x = o ou du point / de rebroussement , il viendra

S=V/5R r^^===aW^(V^-V^R^), Jo VaR — j

4R — S = a »/aR(aR— /).

Pour avoir la demi-cycloïde , il faut faire y = aR, ce qui donne S = 4R; le double de cette valeur, ou 8R, sera la longueur d'une branche entière de cycloïde.

DOUZIÈME LEÇON. I 1 ï»

Étant donnée la relation qui existe entre Tare et Tune des coordonnées de son extrémité, trouver l'équation de la courbe.

70. Nous avons vu que lorsqu'une courbe est donnée par son équation, on peut obtenir en termes finis, ou à laide d'un développement en séries, la relation qui existe entre un arc quelconque de cette courbe et les coordonnées de son extrémité, ce qui permet de calculer exactement, ou à un degré quelconque d'approximation , la longueur de Tare compris entre deux points donnés.

Mais on peut se proposer un autre problème inverse du précédent, et que Ton peut énoncer comme il suit : Étant donnée la relation qui existe entre Tare d'une certaine courbe et Tune des coordonnées de son extrémité, trouver l'équation de cette courbe. Nous avons cru que cette recherche était assez intéressante pour qu'on fût bien aise d'en trouver ici quelques exemples.

Soit s = y (x) la relation donnée entre Tare s et l'abscisse x de son extrémité, on aura

ris = tf{x)dx = \/~dx~r+ dy\ dy=dx \/[<p' (x) ]» — et par suite

Il6 CALCUL INTÉGRAL.

L'intégration sera plus ou moins facile, suivant la forme de la fonction <f(x). On l'achève plus facilement dans beaucoup de cas en substituant à la variable indépendante

x l'angle 0 = r, que la tangente à la courbe fait

avec Taxe des y. Cet angle est lié évidemment aux coordonnées Xj y par les équations

dy = tfLUgrdx = cotSdxy dx = dssinQ, djr = dsca&O.

On a d'ailleurs , comme nous l'avons vu ,

et par conséquent

?'(*) = -=-" 7T = coséc5, d'où Ton tire

x = \J/(coséc0), dx = — ^/(cosêcO) -.- -jidQ,

/cos*0 *'(coséc*)sl-^-hC,

et enfin, en éliminant 0 entre cette équation et celle qui donne la valeur de x, on arriverait à l'équation cherchée

L'arc s de la courbe et son rayon de courbure , seront d'ailleurs donnés par les équations

s =ç(x) = ?[£(coséc0)] = /(coséc6),

, ds __ ds , coséc»fl y/coséc'Q — i

r t — ^Jr ~~ + dè >},(coséc0)

9 - — dxd$ ^ ?(s)Vi¥W} ire Application. L'arc 5 est lié à l'abscisse x par Vé

DOUZIEME LEÇON. HJ

quation

s * = px, s = \/pjr, on aura

dx i\/px psin'ô , /?sin6cos0</6

— =sinô = C-, 07=^—, /** = <- ,

as p 4 a

* = ^ sin0, rfv = - cos «ôrf*, r = - / «** 0rf0 + C

En intégrant à partir de 0 = o, y = o, et posant

/? = 8R, aG = *, on trouve définitivement

jr = R(# -|- sin#), .r = R(i — cos#).

Ces deux équations représentent une cycloïde dont le rayon générateur aurait R pour rayon , et l'on arrive de cette manière au théorème suivant : Si en partant du sommet de la cycloïde on décrit une parabole dont le paramètre soit égal au quadruple du diamètre du cercle générateur, les arcs de la cycloïde seront égaux aux ordonnées de la parabole. Cette relation entre les deux courbes ne doit pas s'étendre au-delà du foyer de la parabole , puisque les ordonnées de la cycloïde deviennent imaginaires pour des valeurs de x plus grandes que 2R. On arriverait à la même conclusion en remarquant que Tare s de la cycloïde est donné par l'équation

s = -x l/aRx, ou .v» = 8Rx,

«quation d'une parabole dont le paramètre est 8R.

2mc Application, L'équation qui lie Tare à l'abscisse est relie d'une parabole de Tordre m -f- /1,

pnx*

n8 On aura

(m + n)sm+*~lds = mfx"-1^

ds m/Px""1 ~" ms m~\p) y

cosô et, en posant

q sin n 0, 5 = 7 S1D* 0,

<£*= — sin" à cos Offt, n

dy = — sinn 0 co$*6d0 = q cos 0 d sin" 0. £ ;. On trouvera encore, pour la valeur du rayon vecteur,

o=±^sin " GcosG.

Considérons le cas particulier où , n étant égal à i , la parabole est de Tordre w + i et a pour équation

q est alors égal à p ( j , et Ton a

sz=zqànmQy ds = mq sinm~ 1 6 cos OdQj

q sin "+16, dx= mq sin "0 cos 0d09

in £■

sin

-=£# ^-[-(^GjT-

■ DOUZIEME LÇÇOJLr II9

r, +(- ±iY(î)^]*A

p = ± «9 ain^'ô costf.

L'intégration par partie donnera

r = 7 ( sin-'ôcosfl-f- fnn"+IM0 J -h r.

On a d'ailleurs (n° 30) , en posant m + i = \k : i°. Si /x est impair,

a°. Si p. est pair

.-*«* = &>**=- g* r*, — t -f-g? sin ^^+^^^^^y>1,;

2°. Si jul est

n"+»W6 = Isin^OdS

__ co»6 n^^^r^^^.u-^ ^ -^r- -Mf- — v^, fé L /"— * 2./j...(fi— 4)(^e— 2)

A l'aide de ces deux formules on arrive immédiatement aux relations qui lient les deux coordonnées .r, y avec l'angle 6, et par suite à l'équation F(x, y) = o de la courbe cherchée.

Supposons que m soit égal à 2, la parabole est du troisième ordre, et donnée par l'équation s9 = px*\ on aura

q =-p, x =-^sin30, s =q sin20, 9 3

dy = 27SII16 cos'OrfÔ, 7 = ^ cos3G 4- C;

.ISO CALCUL INTÉGRAL.

mais quand 0 = o, y est aussi nul, donc

c = y> / = |?(i— cos^);

on aura encore

p = ay sin 0 cos0 = 9 sin 20.

Pour obtenir sous une forme très simple l'équation de la courbe en coordonnées rectilignes, posons

nous trouverons ainsi

{ = A sin 30, 9 = Acos 30,

Telle est donc l'équation de la courbe dont les arcs sont égaux aux ordonnées d'une parabole cubique-, elle a quelque rapport de forme avec l'équation

(iW-

de la développée de l'ellipse, sans pouvoir s'en déduire cependant, puisque dans cette dernière équation on ne peut supposer A = B sans que Ton ait en même temps À = o, B==o.

Si Ton faisait

m =3, *4=/»3v 7 = (7)^. (t)aP=«, on trouverait

s = q sin 30, x = 7 7 sin 40, r/y = 3<y sin 26 cos *0d09

et en intégrant à partir de 9 = o, y = o,

7 =X4ô-sin40), on aura encore

sin 0 = %/ - , 9 = arc sin l/ - , j: = -(3 — 4c°S2Ô-f- i -+-cos4*), et en posant

*— g(3 — 4cos2Ô)={, 4$ =*•-+-«, *=/— wa, R = g,

| = R(i — cos*), v = R(* -+- sin*).

Si £ n'était pas fonction à la fois de x et de 0, ces deux équations représenteraient une cycloïde.

On trouvera encore que l'équation de la courbe dont les arcs sont représentés par la parabole du cinquième degré s9 = px* est représentée par l'équation

&<if=

dans laquelle m est une fonction de £ et de 0, ce qui empêche qu'elle ne soit un cas particulier de l'équation

'Mi)'-"

3mc Application. L'arc s est l'ordonnée de l'ellipse

on aura

CALCUL INTÉG&4X.

à*x b x l/a'-h^sin^

s = zç:

b*sinO

:, dx = zp

a*b*sinQcosQd$

|/a»-4-6»sin»0 ' "^ (a* -h ^sîn1*)*

a'6'cos*fcJ0

(<iM-&asin*â)*'

En intégrant cette dernière équation et éliminant 0, on arriverait à l'équation de la courbe; mais l'intégration n'est pas possible en termes finis, elle ne peut s'effectuer que par approximation : nous nous contenterons ici de quelques transformations assez élégantes.

Posons

d'où

=: sin 0 5=r —

x = a cos «, s = b sin u,

dx •=. — a sin udu y ds = b cosudu,

V^b% cos *a — tf*sin*a

a sin a tcosa'

cot0 = -

asvau

et en posant c* = — - —

dy = Arfa \/\ — ca sin*a.

L'intégrale de cette dernière équation représente une fonction elliptique de seconde espèce , et sera réelle tant

* que l'angle u vérifiera la condition sin u < - .

Si a = by

dy = adu\/ \ — 2 sin 'a = adul/coauj

l'intégrale sera réelle tant que sin m < ->r, u < 45°;

DOUZIÈME LEÇOJf. ia3

4BC Application. L'arc s est donné par l'équation

qui représente une hyperbole ; on trouvera , dans ce cas ,

dx . r a \/x* — a*

ds> b x

a* b* sta#

a»6*sin0cos6><0 t a* b* cosO* dO

** = , : — : — 7S> dy

(a*—b> sin*0)*' („» &»sin*0)*

L'intégrale de cette dernière expression est encore une fonction elliptique de seconde espèce que Ton ne peut obtenir qu'à l'aide d'un développement en série. Examinons en particulier le cas où, a étant égal à A, l'hyperbole est équilatère. On a alors

a , asiuOdO adô

x= — , dx =z . dr = r>

cosG cos *0 ' J cosô

et en intégrant à partir de 0 = o, y = o,

r»ïi(L±*L*>)=Vi+*!Y=«ii-f(î+^

J a \i— smOJ i \ cosô / \4 2/

En passant aux nombres , on trouve

a i -f- sin6

* "" cos© ; or

cosG = -, S1B0=-

jr j:

donc

et enfin

CÀ1XITL INTÉGRAL

ea—xj-=x*—a%7 yz=a\ f

On voit évidemment sous cette dernière forme que la courbe cherchée est une chaînette.

Si Ton posait

cosw' ^ '

ces deux valeurs vérifieraient l'équation de l'hyperbole donnée, et Ton trouverait

dy = \/b% — a* sin *a.

COSatt

L'intégrale ne peut s'obtenir qu'en série, et ne sera réelle qu'autant que l'angle u satisfera à l'équation sin u <-. 5me application : à la cycloïde

x = R (i — cos*), s = R(* -H sin*»), ou

. V/aRj:— «r» .y--

s = R arc sin - h \St.Kx — x*f

on a

et en posant il vient

VaR — x r /R— jr — , dy^V^dx^—-,

Or cette dernière équation est l'équation différentielle d'une cycloïde dont le cercle générateur aurait pour rayon

R' ou - ; donc pour tracer la courbe dont les arcs seraient

représentés par une cycloïde donnée, il suffit de décrire une seconde cycloïde ayant pour cercle générateur un cercle d'un rayon deux fois plus petit, et de faire croître les ordonnées de cette seconde cycloïde dans le rapport de t/a à i.

On arriverait à la même conclusion de la manière suivante : les équations

x = R(i — cos*), s = R(# -f- sin*),

donnent

. A dx sin« , / x

sin0 = — = =tang!*=\/-^r *

ds i-f-cosâ» ^* V *R— ar

2R sin 70

sina0'

4Rsin0costo/ô __ 4Rcos*0dB

En transformant les puissances des sinus et des cosinus en sinus et cosinus d'arcs multiples, on trouvera

aR(i — cosaS) 8R(i H-cosafl)

L'équation

sinô = tangua»

donne

\dm

cosOdO

cos * ±* ' et par suite

dy = aRflfo cos y » kcos* .

cos* = cos* 4*',

d'où

SUl?tf :

|^i — co»'iy__smjV

cos-f*d« =

COS-JVd*'

on trouvera enfin

eir = Rl/a cos »£»'<&',

^ = V/5- (*' -H sin*'), or = -(i — cos*'),

et ces deux équations représentent évidemment une courbe dont les ordonnées sopt à celle de la cycloïde de

rayon - , dans le rapport de W2 à 1 .

On arriverait encore au même résultat en intégrant le second membre de l'équation

J J (3—coê**Y '

on a en effet

/(i -f- cos 20)*. 20 ^ sin 26 4 /' ^-2Ô

(3 —côsïëp" ~~8(3— cos20)~*~8./ 3— cos 20'

/rf.20 1 ,un20|/3

3 — cos 20

et par conséquent

rf.20 1

= — — arc sin- ,

y/g 3— cos 20'

/ sin 20 1 .sin 20 \/S \

y = 2R - H — arc sin 5 .

\4 — cos 20 j/fc 3 — cos*0/

DOITZifeME LEÇON. l'A*]

Mais l'équation

aR(i — cosa*)

3 — COS7.0

donne

2 kw (a — x) ^ %a — 3x

sin?0:= — - -, cos*0 = ;

ia — x la — x

donc

r = - V^â arc sin h \Zt. \/Rx — x», etc.

6"e application : à la logarithmique j=û1j, On a

sind, Y/ât^x*

-p- = sin0 = -, x = « sm0, <& a

dx = a co*0</0, cosO =

rfj = c-r- r «/0, r = a(ltang|0-hcos0)-+-C sino

En appelant & l'ordonnée correspondante à 0 = - , on trouvera

C = £ et r = «(ltangf0 H- cos0) -h A, d'où

r — b — a cos0 = à I — -.