H- CO
En substituant pour sinfl, cos0 leurs valeurs en x, et passant des logarithmes aux nombres , on trouvera définitivement
l/fl»-^*
Telle est l'équation de la courbe dont les arcs sont égara respectivement aux ordonnées d'une logarithmique.
En partant de l'équation s = e*, on aurait eu
• a ■ "î , « . acostdO
' sin0 ' sin0
dy = — acot*0rfô, .r = *(* + cotô) -h C.
En appelant b l'ordonnée correspondante à 8t=-, et posant
on aura
y = a(tang* *) + £; on a d'ailleurs
fë —
tangf = cot0 = ,
et par conséquent
— y H- y e a — «* = a arc tang -I ,
y e « — û* = a tang .
71. Il est facile, dans beaucoup de cas, de trouver le» développantes des courbes que nous avons considérées dans ce qui précède. En effet, si l'on représente par Ç, >?, jo, a les coordonnées , le rayon de courbure et l'arc d'une première courbe considérée comme développée ; par ar, y, r, s les coordonnées , le rayon de courbure et Parc
de la développante, on a , d'après des formules connues de calcul différentiel ,
De plus, en appelant 0 l'angle que la touchante à la développée fait avec Taxe des/, cette touchante étant normale à la développante , on aura
dn - dx
— = COt0 =.— — ; rfÇ dyy
et si Ton prend pour origine des coordonnées l'extrémité de Tare s , on aura simplement
dr ' = r, s= -tango,
^ dr
— = cos0, -f- = — sin0.
as as
Les valeurs de—, ^-, jointes aux équations qui précèdent, conduisent immédiatement aux expressions
y = n — «-COS0, x = g — rsintf,
qui donneront^ et x en fonction de 0, dès qu'on connaîtra 5, yj et <7. Il suffira ensuite d'éliminer 0 entre les deux équations qui précèdent pour parvenir à l'équation cher- . chée de la développante.
ier Exemple: La développée est un point £ = a, r, = b. On pourra prendre a = Va* -+- £% et l'on trouvera
j — 6= — <rcosO, x — a = — «-sin 0. L'équation de la développante sera dès lors (x — a)* H- (r — A)1 = *a -h b* ;
par conséquent cette développante sera un cercle passant T. ii. g
par l'origine de» coordonnées. La développée/l'un cercle est donc un point , ce qui est évident à priori.
a™* Exemple : La développée est la courbe dont Tare a est donné par l'équation
on trouvera
qsïxi * 0f
sin n $ cos *0d6 — q sinn 0 ces© ;
dx = q sin* 0 cosBdO, dy=àh * 0</0, <&= ?sin " 0d6-,
q, comme nous l'avons vu, est égal kp ( P .
Si n = i, (7m+1=p£m, on aura
q sin*+,0,
y -=i mq \ sin"",©cos*ô«/d — ^sin"0co$0, .* = ? f sin"0</0.
Si de plus m = o, £ = p9 on trouvera
x = fsin0, tr = — ?cos0, s = q6, x* + jr» = ?,•
La développante est un cercle; 9= j; ( j prend la
forme indéterminée o°; mais, pour avoir sa véritable valeur, il suffit (Calcul différentiel, n° 25), en faisant
DOUZIÈME LEÇON. l3l
de calculer la valeur de l'exprjession a '"correspondante im=o. On trouve de cette manière que la véritable valeur de q est égale à p.,
Si au contraire on avait fait à la fois n = i,w=iv a* = pi, la développée serait la cycloïde
« =^ (20 -h sin20), i =| (1 — cos20),
on aurait
«•=-sin0,
et la développante serait déterminée par les deux équations
y = £(a0 — sinafl), * = — ^ (1 — cos20),
qui représentent évidemment une cycloïde égale à la première *, la cycloïde est donc à elle-même sa développante, ce que Ton savait déjà.
Supposons encore n = 1, m = 2, a8 = p^\ la développée a pour équation
(iMi/--
et Ton aura
/ =-?(i — cos30) — 9 tin *0 00*6, * = — | q sin30,
s = 7 jAn^dô = | (20 — sin*0).
3mc Exemple: La développée est la courbe dont l'arc est lié à l'abscisse par l'équation d'une hyperbole
il •*
l32 % CALCUL INTÉGRAL.
et qui est déterminée par les équations
co$*6d0
\/a% — £*sina0 ./ (**— &*sinm0F
ô»sin*ô
~~ l/«a— **«n»V on trouvera pour la développante
cos*0</0 6asin0cos0
. /* cos*0</0
J (a* —b* %in*0)*
(a2 —b* sin*0)* \Za%— ^sinV x= W — b* sin *0.
Pour connaître la forme de l'intégrale qui donne la valeur de j*, différentions la première des deux équations qui précèdent , et posons , pour abréger ,
il vient ainsi
b* sinJ
r =ra(r f — — ^ — frf0l/i — c»sin»0Jr
et en désignant, comme l'a fait Legendre , les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce
{ , y ==-» fde[/i — c»sina0,
par les notations F (c, 4), E(c, 6), on aura définitivement
r =a[¥(cy6) E(c,*)]; on a d'ailleurs
x ■=. VV— £asina0.
L'ensemble de ces deux équations représentera la déve-
DOUZIEME LEÇON. l33
loppante delà courbe dont les arcs sont égaux aux ordonnées d'une hyperbole. Si a = A, l'hyperbole devenant équilatère, la développée donnée est la chaînette
i=ïC- + . •).
SI
on aura
y/a* — x* x = a cos 0, sin 0 = ,
. i -h sin0
r + « sin 9 =a\ — ,
cos0 '
Telle est donc l'équation de la développante de la chainette. - 0
4mc Exemple : Les arcs de la développée sont les coor-
* données de la logarithmique a = e"; cette développée a, comme on Ta vu, pour équation
y c * — a* = a tang :
on trouvera pour la développante
a sin 0
et en posant 0 = 0',
et enfin
cosfl
— 7 = a sec< .
cos^=ir '
TEBIIIÈME LEÇON. l35
Applications géométriques. Deuxième application à la quadrature des surfaces planes.
72. Considérons deux courbes planes dont les gprdonnées correspondantes soient yy Y, puis un segment A compris entre ces deux courbes CM, cm , et deux lignes Mo/îio, Mm, ou x=x0, x=X, perpendiculaires à Taxe des x, l'accroissement de ce segment
a A = Miwin'M',
correspondant à l'accroissement Ax de la variable indépendante, est évidemment égal au produit de Ax par une valeur de la différence Y — - y moyenne entre la plus grande et la plus petite des valeurs que prend cette même différence dans l'intervalle Ax, moyenne qu'on pourra représenter par Y — y + e, e désignant une quantité très petite qui s'évanouira avec Ax : on aura donc
AA = A*(Y-r+i), — = Y-r, dA=(Y-y)dx.
Si Ton substitue à Y et y leurs valeurs en x , cette expression prendra la forme f(x)dx, et en intégrant entre lés limites x0, X, on aura
Si Ton avait compté les segments à partir d'une certaine droite fixe C0c0, on aurait trouvé, en* appelant A* la valeur initiale G0c0m0M0 de ce segment, ou sa valeur 'correspondante kx = x0, et À la valeur correspondante kx = je,
- a0 = /tx(Y-r)
Corollaire ier. Pour calculer le segment compris entre la courbe CM et Taxe des x, il suffit, dans l 'expression qui précède, de faire yQ = o; on trouve de cette manière
Ydx9 ou A — A0= I Ydx,
TQ J XQ
ou enfin , en comptant le segment à partir de x = x0, A0 = o, A = i Yrfcr.
Corollaire 2m€. Pour un autre segment renfermé enfre deux courbes dont les ordonnées seraient Y',jr' , on jurait
et si Ton a
c'est-à-dire si les sections linéaires, faites dans les deux segments par des lignes perpendiculaires à Taxe des x9 sont entre elles dans un rapport constant , on aura aussi
A' = m f (Y — y)dx = m A,
et par conséquent les deux aires seront entre elles dans le même rapport. C'est ce qui arrivera , par exemple , si l'équation d'une des courbes étant f(x,jr) = o, l'équa-
TREIZIÈME LEÇOK. l3j
tion de l'autre est
Si en effet de la première équation on tire '
Y = *(*), y = *(*), on tirera de la seconde
Y' = **(*), y = bx{x\ et par suite
on aura donc , dans ce cas ,
A' = bk.
Si Y et y, Y' et y sont respectivement les deux branches inférieures et supérieures de deux courbes fermées, A et A' seront les aires de ces courbes.
En raisonnant comme on vient de le faire, mais échangeant Tune contre l'autre les deux ordonnées x, y-, on prouverait (pie les aires des courbes fermées représentées par les équations
/(*, y) = o, /fjf y j = o,
ou par les équations
sont entre elles dans le rapport de l'unité à la constante a, et Ton en conclurait que les aires des deux courbes fermées/ (x,y) = o, f [ -, * j = o, sont entre elles dans
le rapport de l'unité au produit ab. De sorte que pour déterminer Taire d'une courbe plane fermée de toutes parts
>lS8 CALCUL IHTÉGAAL.
et représentée par une équation de la forme
il suffit de mesurer Taire de la courbe dont l'équatio) serait /(x, j) = o, et de multiplier cette dernière pa ' le produit ab.
Lorsque dans l'équation/ f -, j-j = o, on suppôt
b = a, cette équation, réduite à la forme
représente une courbe semblable à la courbe f(x,jr)=i et dont les dimensions sont à celles de cette secoue courbe comme le nombre a est à l'unité. Cela posé , il n suite de ce qui précède que les aires comprises dans dei courbes semblables sont entre elles comme les carrés d dimensions des deux courbes.
Corollaire 3me. Comme on a
A= f*(Y— r)dfc = (* — *.)D,
A'=rX(Y'-/) = (*-*0)D',
D et D' étant des valeurs moyennes des différences Y — t
Y' — y\ on en conclura —, = g;, c'est-à-dire que le ra
port de deux surfaces planes est toujours une quanti moyenne entre les diverses valeurs que peut acquérir rapport des sections linéaires faites dans ces deux surfin par des plans perpendiculaires à Taxe des .r, qui p< être d'ailleurs une droite quelconque menée dans le pi de la courbe.
TREIZIEME LEÇON. l'5t)
Enfin l1 équation
À = (x — xc)D donne
ce qui prouve que le rapport d'une surface plane à sa projection sur un axe quelconque tracé dans le plan qui la renferme, est toujours une moyenne entre les diverses longueurs qui représentent les sections faites dans cette surface par des plans perpendiculaires à Taxe dont il s^agit.
73. applications. i°. Le cercle x* + y* = r% > = k r* — x*i posons
1//*"^- a?» = txy on aura
doù
=7^ — T^arctangf-f-Cr^x |/V — x2 — ^arctang h ^
Si maintenant, pour plus de simplicité, on fait x0 = o, il viendra
= |xV/ra -,r, + y/J air tanc -. - ' — : .
OU
A = ,- xv H- j r2 arc ta n^ -.
•l4<> CALCUL INTÉGRAL.
Il serait facile de vérifier directement cette équation ai
remarquant que le segment se compose d'un triangle et
d'un secteur. Si Ton suppose x = r et y = o, on aura,
pour Taire du cercle , Trr*.
x* r* 20. L'ellipse— + t: = i ; on aura a* b*
= h- trvrsr
et en supposant
xD=o, A = y-.rl/V — jra+i^arctang
ou
u = { xy -f- \ab arctang — ,
la surface de l'ellipse entière est itab.
3». L'hyperbole £ - £ = i, ou £ - 1 =i,
A = - / dxVxxZTLa%\ aj x0 ^
posons
on en tirera
V/x*qpa2 = rx,
fdi i/o?» q= a» = ftxdx = ±tx* — ij^dt==z\ix^qzaxj y—^
TREIZIÈME LEÇON. l4l
x* y* Pour l'hyperbole — — ~ = i,on aura, en prenant ar0=o,
A = \-x \Sx% — a* — \ab 1 1 . ),
ou, ce qui revient au même ,
A=^^,( pM=i,r-^i(f +f).
Telle est la valeur de l'aire comprise entre Taxe des abscisses, l'ordonnée y et l'arc d'hyperbole qui joint le sommet au point (pc<>y). Si l'on retranche cette aire de la surface ^ar^du triangle rectangle construit avec les ordonnées;?, r, le reste \ab\l -+*r ) ou kab\- rc-
présentera le secteur hyperbolique compris entre l'axe des x, l'arc de l'hyperbole et le rayon mené du centre au point (x, y). Si ce dernier point s'éloigne à l'infini, la surface du secteur devient elle-même infinie. En désignant par £, m les coordonnées de l'asymptote qui s'approche indéfiniment de l'hyperbole prolongée du côté des x et des y positives , on aura
b-aJ '
et en supposant m = y, "V = -, t = —, l'aire du
LK u b a a b a
secteur hyperbolique sera
Si rhyperbole était équilatère, on aurait b = a, et
l4a CALCUL iNTÉOmAL.
Faire du secteur serait
Si la même hyperbole était rapportée, non plus à ses axes, mais à ses asymptotes , son équation deviendrait
xy = *«■,
et Ton trouverait
Jx0X \x0J
L'aire du segment ou du secteur hyperbolique est donc exprimée à l'aide des logarithmes pris dans le système dont la base est le nombre e= 2,71828. . . et que Ton a désigné pour cela sous le nom de logarithmes hyperboliques. 4°. La parabole y1 = %px : en supposant, pour abréger, xQ = o, on trouvera
de sorte que Taire comprise entre Taxe de la parabole, un arc de cette courbe qui a le sommet pour origine et une ordonnée perpendiculaire à Taxe, est égal aux deux tiers de la surface du rectangle circonscrit.
5°. La courbe y = Axa : on trouve, en prenant x0=o,
6°. La logarithmique/ = a 1 x : a désignant une constante positive, l'on aura , en supposant xn = 1 , x> 1,
Ixdx-y
-en intégrant par parties , on trouve
Jdx \x = x\x — f dx^zxix — x-+-C,
TREIZIÈME LEÇON. ifà
et par suite
On verra que Taire comprise entre le demi-axe des y négatives, la partie de la logarithmique qui a ce demi-axe pour asymptote, et Taxe des x est égale à a et n'est par conséquent pas infinie.
