La chaînette y = a . On aura , pour
la surface comprise entre Taxe des #, la chainette et les deux ordonnées a et y correspondantes à x = o et x = jc,
ea — e a
A = a* = aS,
S étant Tare de la courbe, comprise entre le point le plus bas et le point (x, jr).
8°. La cycloïde , représentéepar les équations
x= R (* — sin«), y = R (i — cos«),
on aura , en désignant par o>0 la valeur de o> correspondante kx = x0, et comptant les aires à partir de x0,
A= Ç* ydx = / y*d*=:R% f * (i — cos«)»</«
J XQ J W0 J »0
J» et (l — 2 COS0-+-COS **)</«,
ou parce que
i -i-cosa* . /' • . , x .
COSa* = , A=Ral (y — 2 COS« + 7COS2*)</«,
2 J eto
et en faisant x0 = o, w0 = o,
A = R* ( } « — 2 sin •» -h { 8*n 2»)- Pour avoir Taire comprise dans une branche entière de
l44 CALCUL INTÉGRAL.
cycloïde , il faut poser a> = arc, on trouve alors A = 3*R*.
Cette aire est donc équivalente au triple de la surface du cercle générateur.
9°. On demande Faire comprise dans la courbe fermée xtm -t-ty*m = i; reprenons l'équation
A = / (Y - Xo)dxy
il faudra prendre
Y=(i— *")*«, ro= — (i—*»")*m, *0 = — i, X=i; on aura donc
A=2ri (i— ar*")™£*r = 4 j* (i — x**)** dx;
si m = i , il vient A = rc, ce qui devait être.
io°. On demande Faire comprise dans l'intérieur de la courbe
am im
on aura
(am \ aw-t-i / am \ ait-H
considérons le cas où m = i , et faisons
x = sin*"***1^, il viendra
A=4(a/f-*-i) /acos"+a^sin1,,^=(8»-»-4) / cos*"+^(i— cosV
TREIZIÈME LEÇON. ,l45
puis en développant (i — cos *<}>)" et intégrant,
p. 3.5.. .(2* -M) j»i.3.5..,(gm+3) w(»-i)i.3.5...(aji4-5)
Si Ton suppose à la fois m = 1 , n = 1 , l'équation de la courbe se réduit à x* 4- y1 = 1 ? et Ton a
et en ayant égard au deuxième corollaire (n° 72) , on en conclurait que Taire de la développée de l'ellipse, représentée par l'équation
dans laquelle
a'éunt le grand axe, et b le petit axe de l'ellipse, a pour mesure
8*ab-8""ïâ — •
T. it. 10
l46 CALCUL IMTÉniML.
Applications géométriques. — TroUième application h la quadrature < surfaces courbes.
74. Lemme. Si Ton projette sur un plan uu élément a de surface courbe dont les deux dimensions sont très petites, et si Ton prolonge, quand il sera nécessaire, les arêtes du cylindre projetant jusqu'à ce qu'elles rencontrent le plan tangent mené à l'élément a par un de ces points, le rapport de l'élément a à la petite aire a ainsi déterminée sur le plan tangent, aura pour limite l'unité -, de sorte que la projection a de l'élément a sera sensiblement égale à a cost X (i •+• i) = a (cosr -+- fc), t étant l'angle que forme le plan tangent avec le plan de projection, et i, e, des quantités très petites.
Démonstration. Par le point de contact C du plan tangent avec l'élément a, je fais passer un troisième plan , il coupera les aires a et a\ suivant deux lignes AB, A'B' qui seront deux dimensions correspondantes mais quelconques de ces aires; or, de ce que nous avons dit sur un arc de courbe, on conclura facilement que le rapport de l'arc AB à la portion de tangente A'B' a pour limite l'unité. D'ailleurs deux surfaces dont les dimensions correspondantes sont sensiblement égales, ne peuvent différer elles-mêmes que de quantités très petites; donc Faire a de la surface courbe est sensiblement égale à la portion a du plan langent, et Fon aura
QUATORZIÈME LEÇON. l4j
tf'==a(i-t-i), lim— = i;
ar
si maintenant on appelle a la projection commune des aires a, a\ et r l'angle du plan tangent avec le plan de projection, on aura
a" = ar cost = a costX(i -+- i) = a (cosr -f- i), lim-r = .
75. Considérons maintenant une portion d'aire curviligne située sur la surface z = F(.r, y) et terminée d'une part par deux plans AB, DC oux = x0, .r = X, et de l'autre par deux portions de cylindres AD, BC dont les équations soient
et proposons-nous de déterminer cette aire qui sera évidemment une certaine fonction de x.
Pour cela coupons Taire dont il s'agit par deux plans perpendiculaires à Taxe des x et séparés par un intervalle infiniment petit Ax ou dx. Ces plans détermineront une bande abcd qui sera l'accroissement AA de l'aire ABCD correspondant à A#, accroissement dont on pourra déduire la différentielle
dK = 4(x)dx
de Taire A, et par suite cette aire elle-même,
A = / 4(<r)dr.
Reste à évaluer la fonction ty (x) ou la différentielle ty (x) dx, au moyen des données de la question. Pour cela partageons la bande abcd = B en éléments infiniment petits dans deux dimensions, par des plans perpendiculaires à Taxe des y et séparés Tun de l'autre par un intervalle Ay = dy : Télément mnpq qui a pour projection mnpq' = ArAjest l'accroissement ArB de
ï48 CALCUL IKTÈQKÂL.
la bande B correspondant à l'accroissement ùty. On a d'ailleurs , en vertu du lemme déjà démontra, et en désignant par r l'angle du plan tangent avec le plan xjry
^ m'n'p'q' AxAr •
mnpq = aJB = — - — =r — ,
" 7 cost -h i cost -f- •
donc
Aj3
AT
dx
Aj COSr + l ÇOST-hi
dB dx ^ ' . /«r' rfr
&UB=r— = , B = dxl
ify cost Jrl
1 y\ COST
et par conséquent
«/x0 J/ COST Jx0Jjr COST J x.J J
f ou l'angle du plan tangent avec le plan xy est en
même temps l'angle de la normale à la surface avec l'axe
, -, dz dz
des z; on aura donc , en posant —=p, — = q,
cosr =
, sécT=l/>»-h^-hi,
Si l'équation de la surface avait été donnée sous la forme
u = T(x,jr,z) = o, on aurait eu
du dz
