COST
vtÈMîMî)"'
on aura donc, en substituant, rX çY
XqJï
A=/x / d*djrV/p% + q%+i9
QUATORZIÈME LEÇOK. l49
OU
diï\*
v'GMïHI
Au moyen de l'équation de la surface qui donnera z en fonction dex?ty, on ramènera \Zp* + 91 + 1, ou
v/ÏIRIH^
à la forme F (x, y) \ une première intégration faite par rapport à y entre les limites y = (f(x), .K = xOO» donnera
f\{xyy)dx = F(x)9
et Taire curviligne cherchée sera enfin exprimée par l'intégrale f F(x)dx.
76. On peut encore démontrer, comme il suit, et plus rigoureusement peut-être , la formule fondamentale
/ sécrdxdjr.
xqJ r
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'évaluer la portion de surface courbe comprise entre les quatre plans x = xOJ x = x,y = y0,y =y. Cette aire A sera une fonction de x et de y et l'on peut poser
A = ?(*, r); elle a de plus, pour projection sur le plan xy, le rectangle (x — x0) (y — y0), et comme elle devra s'évanouir en même temps que sa projection, c'est-à-dire pour x = x0, quel que soitj^, et pour^ =yQ quel que
l5o CALCUL INTÉGRAL.
soit x, on aura '
*(*o,.r) = °> *(*> Xo) = o.
Enfin l'élément ou l'accroissement A^AX (ffejjr) correspondant à des accroissements très petits Ar, Ap, aura pour projection sur le plan xy> le rectangle Axùgr, et Ton aura, en appelant t l'inclinaison du plan tangent en un point de l'élément,
AT Ax = (cos r -h i) Ar A. f (x, /); on en conclut
àX I
6jr cosr -|- g puis en faisant décroître indéfiniment la valeur de Ay,
*/>' Ax cost-Ki"
et en faisant aussi Ax == o,
rfyrfr cosr ' ou
dy dx
sec t.
eatre
En intégrant l'équation ~ *** (*> x) = ï
^ dy aj? cost -h i
les limites y9 Y, on aurait
pour la valeur de Taire qui a pour projection sur le plan xy le rectangle déterminé par les quatre lignes x = x,
X = X + àx, y = y, jr = -T.
QUATORZIÈME LEÇON. l5l
Multiplions par dy l'équation ,' ' = sécT, cl intégrons à partir de y0, il viendra
mais <f(x, yQ) = o, donc par suite
* (x> x) — * (x«> y)=\ I séc T dy**\
et enfin, puisque <f(pc<»y) = o,
I sécrdrdy.
*0Jyo
Concevons maintenant que Taire à évaluer soit comprise entre deux plans x = xw x = x, et deux surfaces cylindriques jk =<f(x), Y = x(x)y elle sera une certaine fonction de l'abscisse x et Ton pourra poser
l'accroissement de cette aire Af(x) correspondant à Ax sera une petite surface dont la projection sur le plan xy est renfermée entre deux plans x = x, x = x + Ax, et deux petites portions de lignes courbes appartenant aux courbes y = <p (x), Y = ^ (x). Cette projection est comprise entre deux rectangles , l'un inscrit , l'autre circonscrit, correspondant à la plus petite et à la plus grande des valeurs de la différence Y — y entre les limites x et x 4- Ax; la plus grande et la plus petite valeur de la différence Y — y, seront d'ailleurs deux quantités de la forme
l5a CALCUL INTÉGRAL.
0 et 0' désignant deux nombres plus petits que l'unité. Les* rectangles inscrit et circonscrit seront les projections de deux nouvelles aires dont Tune est inférieure 9 l'autre supérieure à Taire &f(x). Déplus, chacune de ces nouvelles aires étant comprise entre quatre plans
sera mesurée, en vertu de ce qui précède , par une expression de la forme
Y dy __ rx[*+9à*) dy
tY dy PX{
A-r / - = àx I
Jy COSr-f-i J $>(*
»(x-h6'Ar) COST-f-f .
il en sera donc aussi de même de Taire A f(x), et Ton aura
&f(x).=zbx I -- ,
J y(T + &'Ax) COSr-f- i
*/(•*)__ f Xi*****) dy ** J *(•*•-»-'/ A* ) COSr -+- f '
et en passant à la limite
«*/(*) /'XM dy
dx J f{*) ' COST '
on en tirera , en intégrant à partir de x0 , et remarquant que Taire f(x) s'évanouit quand on y fait x = x0,
% J x0 J ffâ* COST ./.r0 Jy COST
ce qu'il fallait démontrer.
. 77. Corollaire ier. On a .
sécr dy =r (Y — y) séc /, r
1 désignant une quantité moyenne entre les diverses valeurs que reçoit l'angle r, tandis que y varie entre les li-
mites j , ï\ on aura donc
A= I (F— x) sèctdx = sccT f (Y— y)dx =zJ>sècT.
P désignant la projection f (1~ — y)dx de la surface
courbe À sur le plan xy\ T une moyenne, entre les diverses valeurs de *, qui correspondent aux diverses valeurs de x, et par conséquent une moyenne entre les diverses inclinaisons de la surface A par rapport au plan
xy. Comme ce plan xy est d'ailleurs quelconque, il s'ensuit que le rapport entre une surface courbe et sa projection sur un plan quelconque, est une moyenne entre les sécantes des diverses inclinaisons de la surface,
par rapport au plan dont il s'agit.
Corollaire ame. Si l'inclinaison r devient constante et
égale à T, on aura
A = sec: T I / dxdy — P scer, J r0 J y
ft l'on en conclut que lorsqu'une; surface a dans tous ses points la même inclinaison par rapport au plan xr, •ne 'aire, mesurée sur cette surface, est équivalente au produit de sa projection sur le plan xy par la sécante fo l'inclinaison.
Cette proposition permet de calculer directement Taire «certaines surfaces courbes. Supposons, par exemple, <pon veuille calculer la surface d'un tronc de cône droit , Çuapour base des cercles dont les rayons sont 11 et r, ona
P = w(R» — r"), À = *r(R -f- r) (R — r) secr. ^»« l'on désigne par/ l'apothème du tronc de ouïe
l54 CALCUL IHTteftAL.
on a
R. — r R — r = lcosr, = (R — r)sécr = I,
__ 3irR 4- airr , A — 1,
la surface d'un tronc de cône droit est donc égale au produit de son apothème par la demi-somme des circonférences des bases.
.78. Lorsque l'équation de la surface se réduit kz—f(x)t c'est-à-dire lorsque la surface devient un cylindre dont la génératrice est parallèle à Taxe des j% on a
dz dz r
A = fX Ç dxdyVx + [/'(*)]',
J x0J y K=(Xdx V/T+îfW j'Ydy
= fXdx(Y-y) V/7TT7W=fV-r)Ȏcrǣr.
Alors si Ton veut calculer Taire comprise entre deux génératrices et deux courbes planes parallèles à la base, il faudra supposer que Y etjr sont deux quantités constantes dont la différence est la distance D des «deux plans ou l'épaisseur de la tranche cylindrique ; donc
séc rcLc.
Mais dans le même cas, r ou l'inclinaison de la surface par rapport au plan xy, est aussi l'inclinaison par rapport à l'axe des x de la courbe qui sert de base au cylindre dans le plan zx, et par conséquent l'intégrale
QUATORZIÈME LEÇON. l55
Jsécrdx représente évidemment l'arc s compté sur
cette courbe entre les génératrices données ; il en résulte que Taire d'une portion de surface cylindrique comprise entre deux génératrices et deux courbes renfermées dans deux plans parallèles à la base, est égale au produit de la distance de ces deux plans par Tare compris sur Tune des courbes entre les deux génératrices, et par conséquent Taire d'une surface cylindrique droite est égale au produit de la hauteur par le périmètre de sa base.
Gomme exemple de calcul on peut déterminer la portion de surface du cylindre x* — Rx + z% = o , renfermée dans la sphère x* +y* + z% = R*, la portion de la surface cherchée est terminée sur le plan xj, par la parabole y* == R(R — x), projection sur ce plan de l'intersection du cylindre et de la sphère ; on aura par conséquent
on a de plus
Les limites xQ , X seront d'ailleurs x0 = o, X = Rj on aura donc, pour Taire mesurée du côté des z positives, en remarquant que séct ne dépend que de #,
â /x rY r* /,R «. dx
A= I / $écrdf<ix=z ! sécrdx(r—x) = J R*— — = 2R%
et pour la surface totale interceptée par la sphère
Si Ton cherchait la portion de la surface de la sphère
l56 CALCUL INTÉGRAL.
comprise dans l'intérieur du cylindre du côté des y positives et du côté des z positives, on trouverait
^ = 0, X=R, 7= VR(R — x), r=l/R»—*-,
sécr =
on a d'ailleurs
f—7==L= = arcsin y ^ 4- 6, J l/R*— x*— j* I/rT—jT»
I , - ■ =- — arcsin 1/ = arccos 1/17-1
J \/W-rï v/r*— x> — y2 2 V R +x Y R+*
donc
rR /"~R~~
A = R I dx arccos 1/ .
Posons
a = arccos \/ - , x = Rtang *u9
il vient
far arccos V/~ = ludx=ux — txtiu=ux — R/[ 1 Jiflr
V R-hx J J J Vcos*a )
= (x -+• R)a — R tanga + C et par suite
En doublant cette dernière quantité , on obtiendra la portion de la surface sphérique interceptée par le cylindre du côté des j positives, et correspondante à des valeurs •
QUATORZIÈME LEÇON. l5j ~
soit positives, soit négatives de l'ordonnée z. En désignant cette portion par A, l'on aura
79. Concevons qu'après avoir tracé dans le plan xy une courbe représentée par l'équation y = f (#), on fasse tourner cette courbe autour de Taxe des xy elle engendrera une surface de révolution dont l'équation sera
ra h- * = [/(*)p,
et la portion de cette surface située du côté des z positives entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x, sera donnée par l'équation
-X ff{x)
/ secrdydx,
*oJ-Ax\
pourvu que la fonction f(x) ne change pas de signe entre les limites x0, X. Comme on a
dz /(*)/'fr) a±__z on aura
or
/•/M <fr =<r.
2°. La valeur numérique du produit
l58 CALCUL IlIVéOftAL.
est précisément la normale N à la courbe génératrice ; on aura donc
et Taire totale de la surface de révolution sera donnée par l'équation
•X J*dx.
80. On peut arriver d'une manière directe à une formule importante qui comprend la précédente comme cas particulier. Appelons B Taire mesurée sur la surface de révolution entre deux plans fixes qui , passant par Taxe des x, comprennent entre eux un angle a et deux plans x = x0, x = x perpendiculaires à cet axe ; puis désignons par r l'inclinaison de la génératrice au point (x, y> z) ; si Ton attribue à x l'accroissement Ar, A«B sera une petite portion de surface dont l'inclinaison par rapport au plan yz restera sensiblement la même en
tous ses points et différera très-peu de - — t. Donc, en
vertu d'un théorème ci-dessus démontré, on aura, en appelant P la projection de AXB sur le planjr*,
mais P est la différence entre deux secteurs dont les rayons y et y H- ùy comprennent entre eux un angle a, on aura donc
P = ;[(/-HAr)"-r1]=-rAjr(i+^), et par suite
QUATORZIÈME LEÇON. ifk)
et en passant à la limite
«ÎB dy , (w
mais
:secr,
-£séc(- — r ]=±tangrsec[ - — r )=-r-^ = =
et d'ailleurs le produit ± y séc t est égal, en valeur absolue, à la normale N de la génératrice ; on trouvera donc
dx J xm J x.
Si on veut Taire engendrée par la révolution complète de Tare de la génératrice compris entre les limites xOJ X, il faudra supposer a = 27T-, on aura ainsi
N/fcr,
ou, ce qui revient au même ,
A == a* / / sécTctr = a* I x l^i -hjr'*dx.
J rc J x0
Exemple : i° La courbe génératrice est une droite parallèle à Taxe des #, et située à une distance R de cet axe ; on aura
la surface latérale d'un cylindre droit à base circulaire, est le produit de la hauteur du cylindre par la circonférence de sa base.
a°. La génératrice est un cercle dont le rayon est R, et dont le centre est situé sur Taxe des x : on a
la surface de la zone sphérique est donc égale an produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle- En prenant X — x0 = aR pour avoir la surface de la sphère, on trouvera qu'elle équivaut à quatre fois la surface do grand cercle.
3°. La génératrice est une ellipse
la surface engendrée est l'ellipsoïde
^ , \/a*—b> en supposant a>oet posant e = , on a
be i'\ fa*
or si Ton pose - = a', il viendra
a' Jx
A = 7F X ^ l dx\Sa'* — x*.
Tx0
-j f dx W1 — x% est Taire correspondante aux abscisses #0, X, dans l'ellipse qui aurait pour équation
Donc si l'on fait tourner une ellipse autour de son grand axe, la surface de la zone, engendrée par la révolution d'un arc de cette ellipse, sera le produit du nombre tt par la surface comprise entre les plans qui renfermeront les deux bases de la zone dans une seconde ellipse que l'on
QUATORZIÈME LEÇON. l6l
déduira de la première en faisant croître le grand axe dans le rapport de i à - , e étant l'excentricité : on trouvera, par ce moyen, que l'aire totale de l'ellipsoïde de révolution est donnée par l'équation
, z*ab ae
A = ixb* H arctang -r-,
Si Ton supposait a < b, ou si l'ellipse tournait autour
, . Vb* — a* de son petit axe , on aurait , en posant e = 7 ,
. «T b*c I a4 et par suite JN = — - \/ -=— r a% \ b*e*
b*e /** / aA
-hx* = *My
A' étant (n° 73) l'aire comprise entre les plans x = xoy
y1 b*e*jc* x=X, dans l'hyperbole"^ j— = 1, et l'on aura par
conséquent, pour l'aire totale de ce second ellipsoïde de révolution ,
1 — ej
4°. La génératrice est une hyperbole
xa ra . r* x2
les surfaces engendrées auront pour équations
j:' jr" 4- *a X2 + * **
