II
l64 CALCUL INTÉGRAL.
et en faisant xQ = o, on aura
9°. La génératrice est la cycloïde
x = R (• — sin *), j = R (i — cos*),
ou
rfa?l/T+p»== {/elx* -hdy* = Rdm\/z V\ — cos#, A = 2'xR» /(i — cos*)*<fc = 8jrR* | sin3- A»;
on a d'ailleurs
donc , en supposant w0 = o,
A=4,rR^5-3cosî+Icos^J.
L'aire de la surface de révolution, engendrée par la demicycloïde entière , s'obtiendra en faisant &> = arc , et sers
81 . Si Ton faisait tourner autour de Taxe des x, noi* plus la courbe y =f(x), mais celle qui est représentée par F équation
X = *,+ /(x), b désignant une constante positive , on aurait
N = y VT+7* = [b +/(*)] x l/n-[/'(.)]s
QUATORZIÈME LEÇON. l65
en désignant par A' la portion de surface engendrée par la courbe y = f(pc) ? et par 5 Tare compris sur la courbe y = f(x) entre les points correspondants aux abscisses x x l
Si Ton remplaçait b par — />, mais en supposant/ (x)<i; A' — iTtbs représenterait, non plus Taire A, mais cette aire prise avec le signe — *, on aurait
A -h A' = 2*bs.
On conclura de ce qui précède que si Ton fait tourner successivement un arc de courbe, i° autour d'un axe choisi arbitrairement, 2° autour d'un axe parallèle séparé du premier par la distance b -, la différence entre les deux surfaces engendrées, si les deux axes sont situés du même côté par rapport à Tare générateur, ou leur somme, si les axes de révolution sont situés de différents côtés de Tare générateur, sera égale au produit de ce même arc par la circonférence que décrirait un point du second axe tournant autour du premier.
A l'aide de ce théorème , que Ton peut étendre au cas même où Tare de courbe sera rencontré en plusieurs points par des plans perpendiculaires à l'axe de rotation , on prouvera sans peine que toute courbe qui a un centre, en tournant autour d'un axe qui ne le rencontre pas , engendre une surface équivalente au produit de son périmètre par la circonférence que décrit le centre autour de cet axe.
