La formule fondamentale A = / / dxdy sécr

J r0 J Jo

suppose que la projection de la surface sur le plan xy n'est coupée qu'en deux points par un plan perpendiculaire à l'axe des x\ s'il en était autrement , alors , pour déterminer Taire A, il faudrait la partager en plusieurs parties, dont chacune put être calculée à l'aide de la for-

l66 CALCUL IHTÉGKAL.

mule qui précède. Supposons, pour fixer les idées, que les quantités

y<» Xi* y** • -+9 y*i

rangées par ordre de grandeur , soient des fonctions de X propres à représenter, entre les limites x = x0, x = x, les ordonnées des diverses lignes qui comprennent entre elles les différentes parties de la projection de Taire A , on partagera l'aire À en autant de parties correspondantes qui seront mesurées par les intégrales doubles

// 'aécrdjrdx, I f 'tècrdjrdx, etc.;

en ajoutant toutes ces intégrales, on obtiendra la valeur de A. On aura donc

A = / f sécrdydx -f- I I ' sê.crdydx etc. . • = 1 ( f lSQCrdy-i-f * sec rdy 4- etc. .. \dx.

Dans la même hypothèse , la projection de l'aire A sera représentée par l'expression

I dy+ f dj -+- etc. )dx

= / (/« — r«+ /3 — r.-r-etc...)^-

i/Xo

Si la surface A était rencontrée en plusieurs points par des droites parallèles à Taxe des s, c'est-à-dire si à une même valeur de x correspondaient plusieurs valeurs de sécT, on ne pourrait pas la déterminer à l'aide des équations ci-dessus établies, mais il sera possible, dans tous les cas, de la décomposer en plusieurs parties dont chacune puisse être calculée par les méthodes indiquées.

«..1INZIÈMF. LP.VON. 167

Applications géométriques. — Troisième application à la cuba turc des

solides.

83. Le problème de la cuba turc des solides consiste à déterminer le volume compris sous une enveloppe donnée. Il est d'abord facile de prouver que le volume V d'un cylindre droit à base quelconque B, est égal au produit de sa base B par la hauteur H, en sorte qu'on ait V=BH.

Démonstration. Plaçons le cylindre de manière que la génératrice étant parallèle à l'axe des x, le plan de la base coïncide avec le plan zy. Désignons par /"(s) la section linéaire , faite dans la base par un plan perpendiculaire à Taxe des z , par b et v la portion de la base B et du volume V comprise au-dessous du plan sécant ; si nous donnons à z un accroissement As, b et e prendront des accroissements Ai, Ae: de plus on aura évidemment

ab = àz [/(») + !], aV = Ha*[/(«) + i' ],

e, € désignant des quantités qui s'évanouissent avec Az, et par conséquent

«»ii intégrant depuis z = zu jusqu'à z = Z, z = ~0.

l68 CALCUL INTÉGRAL.

etz = Z étant les équations des plans qui terminent le volume cylindrique V, on aura

B = f f(z)dz, V = H /' f(z)dz = B X H;

ce qu'il fallait prouver.

Si la section /*(*)' fa*te dans ^a Dase B Par un P^an P61*pendiculaire à Taxe des z, se transformait en un système de plusieurs longueurs distinctes, représentées par fx (z), f% (z)'*f*(z)'> • • • > on diviserait la base B et le volume V en parties Bt, Bs, . . . , V,, V„ correspondantes à ces longueurs; on trouverait ainsi

V, = HBX, V, = HB„ V3 = HB3,..., V =VX + V, -+- Vs. . . = H (B, -+- B, -h B3. . .) =BH.

Supposons à présent (pie Ton cherche le volume V, terminé par une enveloppe quelconque comprise entre deux plansx=x0, x=X. Soit F(.r) Faire delà section faite dans le volume V par un plan perpendiculaire à Faxe des j: et correspondant à Fabscisse x, et nommons fia portion du volume compris entre les deux plans x = x0, jr= x. Si Fon attribue à x un accroissement Aar, le volume V recevra un accroissement AF = Ax[F(x) + e], c désignant une quantité qui s'évanouit avec &x : en effet, le volume très-petit Afsera compris entre deux cylindres, Fun inscrit au volume, l'autre circonscrit, ayant tous deux pour hauteur Ax, et pour bases des aires très-peu différentes de F (x). De Féquation qui précède , on tire

^=F(*), dF= Y{x)<lx, et en intégrant entre les limites xQ et .r, ou x0 et X,

v= fXF(x)<tx, Vn /' ' V(x)dx.

Cette formule subsiste dans le cas même où Taire F (x) de la section faite dans le volume V par un plan perpendiculaire à Taxe des x, se change en une somme de plusieurs aires Ft(j:), F,(:r), F8(x), . . . terminées par divers contours. Alors le volume V est la somme de plusieurs volumes représentés par les équations

f Yt(x)dx9 f l\(x)dx, f Fi(x)dx,...,

*' X0 .'Xo J J"o

et Ton a

\(x)dx-hf F«(*Vfa+ete. =f [FI(*)+F>(*)-hetc...]dfc=f I

Jx0 Jx0 Jx0

84. Corollaire icr. Si la section F(x) est constante , et égale à B, ce qui arrivera si le volume ^rest une portion de surface cylindrique , on aura

V= B / dx — B(X — r0) = BH,

en désignant par H la distance des deux plans. On en conclut que le volume compris dans un cylindre oblique dont B représente la base , et H la hauteur , est équivalent au produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire 2mc. Si la section F (x) est toujours semblable à elle-même, ce qui arrivera, par exemple, si le volume ^t im- portion de cône dont le sommet coïncide \",ec Forigine et dont la base soit dans un plan perpendiculaire à Taxe des x\ Taire de la section F(r) sera proportionnelle au carré de la-distance au sommet, et en appelant B la base du cône, et H sa hauteur, on aura

F{x) x- , * Bf"

Le volume d'un cône à base quelconque est le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Le volume du tronc de cône compris entre les plans x0 = A, x = H, serait donné par l'équation

B rH , » /H3 — A3\ WJh H'V 3 /*

en désignant par b la petite base du tronc de cône, par /1, sa hauteur, on aura

b h* h II . u .

B = ÎT» h = Vb' A-=h"^

et parce que

H3 — /<3 = (H — /«)(H» -h H/r -h /**), on trouvera

c'est-à-dire que le volume d'un tronc de cône est le tiers du produit qu'on obtient en multipliant sa hauteur parla somme de trois surfaces respectivement équivalentes aux deux bases du tronc de cône et à une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Si l'on ne voulait pas emprunter à la géométrie ce théorème que les sections faites dans un cône par des plans parallèles sont proportionnelles aux ca,7£u<Tla di*" tance de ces plans aux sommets, on le démontrerait en procédant comme il suit. Supposons que / (rh f) = 0 soit l'intersection du cône par un plan perpendiculaire k 1 axe des x et situé à une distance 1 de l'origine. La génératrice qui passera par le point r„ f de cette courbe sera représentée par les deux équations

et si entre les trois équations qui précèdent on élimine

», £, F équation résultante/ ( -, - J = osera vérifiée pour

tous les points de toutes les génératrices et représentera , par conséquent, la surface conique en question. Cela posé , les sections faites dans cette surface par les plans x = A, x = H, auront pour équations

et leurs surfaces a, A, d'après un théorème démontré (n° 72), auront pour expression AjA*, AjH8, At étant Taire de la courbe/^, z) = o; donc

a //' À ~~ ÎP?

ce qu'il fallait démontrer.