Corollaire 3me. On a
V=/,XF(*)rfJr = (X-x.)F(Ç),
par conséquent le volume d'un corps est égal au produit de la distance entre les deux plans parallèles qui le terminent par une valeur moyenne entre les aires des sections que déterminent, dans ce volume, des plans intermédiaires et parallèles aux premiers. Il en résulte que le rapport entre un volume donné et sa projection sur un axe quelconque est une moyenne entre les aires des différentes sections faites dans le volume par des plans perpendiculaires à Taxe. On prouverait encore que le rapport entre un volume et sa projection sur un plan est une moyenne entre les diverses valeurs que peut acquérir le rapport des longueurs interceptées par l'enveloppe de ce volume sur une sécante constamment parallèle au plan.
Corollaire 4me. Pour un second volume V, on aura
V' = / F(x)dx,
et par suite
/ Y(x)dx
Jr'IL F(x)
mais si dans l'équation connue,
f f(x)dx = f t(x)z(x)d* = t(S) f %{*)<**>
J XQ J X0 J *0
on fait
/(*) = F(x), x(x) = ft*), *(*) = j^,
ou en tirera
/ F{x)dx
On en conclut que le rapport entre les deux volumes V et V est une quantité moyenne entre les diverses valeurs que peut acquérir le rapport des deux sections faites dans ces deux volumes par un plan constamment parallèle à un plan donné -, et parce que (n° 72) le rapport des deux sections est lui-même une moyenne entre les diverses valeurs du rapport des longueurs interceptées par ces deux sections sur une droite mobile constamment parallèle à un axe donné , il sera vrai que le rapport entre les volumes renfermés dans deux enveloppes est une moyenne entre les valeurs du rapport des longueurs in-
terceptées par ces enveloppes sur une droite constamment parallèle à un axe donné.
Corollaire 5me. Il résulte du corollaire 4m% i° que si les sections faites dans deux volumes par un système de plans parallèles les uns aux autres sont entre elles dans un rapport constant, les deux volumes seront entre eux dans le même rapport ;
i°. Que si les longueurs interceptées par deux enveloppes sur une droite constamment parallèle à un certain axe, sont entre elles dans un rapport constant, les deux volumes terminés par ces enveloppes seront entre eux dans le même rapport : c'est ce qui arrivera, par exemple, si l'un de ces volumes V étant terminé par la surface fermée qui aurait pour équation >
l'autre V ' était compris dans une des surfaces En effet, si de la première équation on tire
* = <p(r> »)> y = z(*f *)> * = +(*> y), on tirera des autres
x = a<p(x,jr,z), ou
y = **(*» y> *)> ou
ce <pu prouve que les longueurs interceptées par les deux enveloppes sur des droites parallèlesàun des axes sont dans le rapport constant «, ou A, ou c, et par suite le volume
1^8 CALCUL IATfeAAL.
a^ La génératrice coïncide avec la parabole^œapr; on aura, en posant x0 = o,
= *P ! *xdx = «/Mf* = 7*/**.
Le solide, engendré par la révolution d'une portion de parabole comprise entre le sommet et un plan x = x, t pour mesure la moitié du produit du volume du cylindre circonscrit.
3°. La génératrice est. la courbe y = Ax* ; en posant x0 = o, on trouvera
/•x x**+' 1 s**dx = *À> = try*x.
o a« -H 1 ia 4- 1
Le volume du solide de révolution est au volume du cylindre circonscrit comme 1 esta ia + 1.
4°. La génératrice est la logarithmique j- = olx^ on aura, en posant x0 = o,
Si l'équation de la logarithmique était mise sous la ferme y = c*, on trouverait, en posant toujours x0 = o,
5°. La génératrice est la chaînette «
QUINZIÈME LEÇON. iyg
on aura, en posant x. = o,
/ w: or\ r / ar ax\ ~\
=t/:(<t— ~>=#n('T-rT)}
#6°. Quelquefois on facilite l'évaluation du volume en remplaçant la variable x par une autre variable.
Prenons pour exemple le cas où la génératrice est la cycloïde
x = R (m -r- sin«), y = R (i — oas*),
on a
<£r = y dm, y%dx = j3^ = R3(i — cos«)\fe,
V = ,rR3 r*(i— cos*)3^
et en supposant x0 = o, w0 = o,
V = *R3 f *(» ~ cosmfdê,;
d'ailleurs
= |(io— i5ces«-f*6co52«— cos3â»), et par suite
V = -t-(io# — i5sin# 4- 3siû2# — jsin3#).
Il suffit de faire dans cette équation o> = 27T pour avoir le volume du solide engendré par la révolution de la première branche de la cycloïde qui se trouve ainsi donné par l'équation
