Si Ton faisait tourner autour de Taxe des x, non

l8o CALCUL INTÉGRAL.

plus une seule courbe représentée par l'équation j' =f(x), mais deux courbes^ = y, y = Y\ jr, Y étant deux fonctions de la variable x dont les valeurs sont toujours positives entre les limites x = xQ9 x = X ; le volume engendré par leur révolution aurait évidemment pour mesure la différence des intégrales

et Ton aurait

V=*J^ (F* — y*)dx=*wj^ J ydydx.

On arriverait très-simplement À cette même équation en remarquant que la section F (x) faite dans le volume V est la différence de deux cercles dont les rayons sont y et Y. De sorte que Ton a

F(x) = fP — *y* = * ( r* — y*), etc.

80. Si les ordonnées y, Y croissent toutes d'une même quantité b , ou si Taxe de révolution s'éloigne de tous les points des deux courbes d'une même quantité i, le nouveau solide engendré sera donné par l'équation

v'=,r /'* [(r+by - (r + ày]dx

= irf (P- /)•& +8f*f (7— jjdfc;

mais / (1^ — y)dx est Taire A de la surface plane

renfermée entre les deux courbes y = y, y = Y;

7T I (J"1 — y*)dx est le volume déjà calculé V; on a donc

QUINZIÈME LEÇON. l8l

On en conclut que si Ton fait tourner une surface plane , i* autour d'un axe situé dans le plan de cette surface, mais qui ne la traverse pas ; 2° autour d'un axe parallèle plus éloigné de la surface dont il s'agit, et situé à la distance b du premier , les valeurs des solides engendrés par la révolution de la surface autour du second et du premier axe , donneront pour différence un volume égal au produit de cette même surface par la circonférence du cercle dont le rayon coïncide avec la distance entre les deux axes.

Si la surface plane A est divisible en deux parties symétriques par une droite menée parallèlement à Taxe des x et à la distance b de cet, axe , on devra avoir

jr = b - /(*), Y = b + /(*), et Ton aura

v=»rx{[*4-/(*)i»-[6-/w]"}^===4»*rx/(*)*5

' Xq t/ X0

mais on a aussi

donc V = 27rftA, et par conséquent lorsqu'une surface plane est divisible par un axe en deux parties symétriques , le solide engendré par la révolution de cette surface autour d'un second axe parallèle au premier et tracé dans le plan de la surface, mais de manière qu'il ne la traverse pas, est équivalent au produit de la même surface par la circonférence du cercle qui a pour rayon la distance entre les deux axes. Ainsi, par exemple , le solide

V qu'engendre la révolution de l'ellipse — +4^ = i autour de la tangente menée par l'une des extrémités de

Taxe %b est équivalent an produit de la surface de l'ellipse nab par la circonférence que décrit le centre de cette courbe ; donc V = 2it*ab*.