On peut déduire de la formule V = / F(x)dx un

théorème remarquable dont voici l'énoncé. Étant donnés deux plans parallèles à un axe ..avec un contour fermé dans l'un de ces deux plans, si l'on fait mouvoir une droite de manière qu'elle passe successivement par les différents points de ce contour, et forme toujours un angle droit avec l'axe que l'on considère , le volume V du solide compris entre la surface courbe engendrée par la droite , et les deux plans donnés, sera le produit de sa hauteur par la demi-somme des surfaces planes qui lui servent de bases.

Démonstration. Prenons Taxe donné pour axe des Xj et soit b la distance des deux plans parallèles à cet axe \ si Ton coupe le volume V par un plan perpendiculaire au même axe et correspondant à l'abscisse x, la section F(ar) qui çn résultera sera évidemment un trapèze dans lequel les côtés parallèles se réduiront aux sections linéaires faites par le plan coupant dans les deux bases du volume V. Si l'on désigne par f (x) et f (x) les deux sections linéaires dont il s'agit , on aura

F(*)= -{/{*) + f (»)], V=b ^ jJiS .

Mais en appelant A et A' les deux bases , on a aussi k=Ç"f(x)dx, A'=f'((x)dx,

J Xo J XQ

donc

QUINZIÈME LEÇON. l83