Pour montrer une application de la formule

/Xq J J

/>X /Y V=/ / zdxdy,

Jx9 J jr

cherchons le volume V renfermé entre le plan xy, une surface cylindrique dont la génératrice soit parallèle à Taxe des z, et la surface du paraboloïde hyperbolique représenté par l'équation xy = cz , d'où z = — 5

on aura

fx,r

*=&£'*+*'=£ fr1*-*')^

Si la base de la surface cylindrique se réduit au cercle représenté par l'équation

(x - ay H- (X - *)» = R% on aura

x0=za — R, X= a+R, et par conséquent

V = 2 - / l/R»— (* — fl^XA

«Va — R

ou, en posant x — a = Rt, on a d'ailleurs évidemment

t \/i-~t* dt = o,

l84 CALCUL 1HTÉGHÀL.

taudis que l'intégrale ' /•-t-i

J'-hl j

représentant la moitié de la surface du cercle qui a pour rayon l'unité, est équivalente à -\ on aura donc

V = *rR* — .

Le volume cherché est le produit de la base ttR* par une quatrième proportionnelle aux trois longueurs a, b et c. Si Ton substituait à la surface cylindrique qui a pour base le cercle, un système de quatre plans perpendiculaires aux axes des x et des j-, x = j?0, x = X, jr = jr0J y = Y, on trouverait

= (X - *.) ( Y - Xaf°yo+*oY+-X.jro + XYf

en posant

*<>Xo *oY X/„ XT

V = (X-xc)(Y-ro)8'+'' + Z3+^.

Ajoutons que pour construire le paraboloïde hyperbolique, il suffira de tracer le quadrilatère gauche dont les sommets coïncident avec les extrémités des ordonnées zl9 zt, -z8, zkJ et de faire mouvoir sur deux côtés opposés de ce quadrilatère une droite qui reste constamment comprise dans un plan parallèle aux deux autres côtés.

On arrive ainsi à la proposition suivante. Si après avoir tracé sur les quatre faces latérales d'un prisme droit à base rectangulaire un quadrilatère gauche, on fait mou-

QUINZIÈME LEÇON. l85

voir une droite sur deux cotés opposes de ce quadrilatère, de manière qu'elle reste constamment parallèle aux plans des faces qui renferment les deux autres côtés; le volume compris entre la surface engendrée par cette droite et le rectangle qui sert de base au prisme sera le produit de ce rectangle par le quart de la somme des quatre longueurs comptées sur les arêtes du prisme entre les sommets du rectangle et ceux du quadrilatère.