La formule \ = I F (x) dx prouve aussi que

pour déterminer le volume Y compris sous une enveloppe donnée , il suffit de mener un axe quelconque et de tracer dans un plan fixe passant par cet axe une courbe auxiliaire telle que la section faite dans le volume par un flan mobile perpendiculaire à Taxe soit toujours équivalente au rectangle construit sur une ligne donnée b et nr la section linéaire faite par le plan mobile dans Taire renfermée entre la courbe auxiliaire et Taxe. Si Ton suppose cette aire limitée dans le sens de Taxe par les deux droites suivant lesquelles le plan mobile , parvenu aux deux positions extrêmes qu'il peut prendre, coupe le plan fixe, et si on la multiplie par la longueur ft, le produit obtenu sera précisément la mesure du volume proposé.

En effet, si Taxe que Ton considère est pris pour axe des x, et si F (a:) est la section faite dans le volume par

on plan perpendiculaire à cet axe, -j— sera l'ordonnée

delà courbe auxiliaire ou la section linéaire faite dans lairç comprise entre la courbe et Taxe ; donc cette aire

et si Ton multiplie cette intégrale par la longueur 6, on

l86 CALCUL IWTÉOIAL.

obtiendra évidemment le volume

: I ¥(x)dx.

Jx9

Exemples: i°. Si le volume V se trouve renfermé dans un cône ou dans une pyramide à base quelconque, dont le sommet coïncide avec l'origine , et si Ton prend pour axe des x une droite perpendiculaire à la base , la section F(x) sera proportionnelle à #*, et par suite la courbe auxiliaire sera une parabole qui aura l'origine pour sommet et pour axe Taxe des x; et puisque Taire comprise entre une parabole , son axe et une ordonnée est le tiers du rectangle circonscrit , on en conclura que le volume compris dans un cône ou dans une pyramide à base quelconque est le tiers du volume du cylindre ayant même base et même hauteur-, donc, etc.

2°. Si la section F(jt) se réduit à un trapèze dont les côtés parallèles représentent les sections linéaires faites dans deux surfaces planes dont les plans soient parallèles à Taxe donné , et si Ton suppose que la longueur b représente la distance des deux plans, l'ordonnée de la courbe auxiliaire sera précisément la demi-somme des sections linéaires dont nous venons de parler, et Ton en conclura sans peine que Taire comprise entre Taxe desx et kucourbe auxiliaire , est la demi-somme des deux surfaces planes. On déduira immédiatement de ce qui précède le théorème n° 90.

On déterminerait avec la même facilité, à Taide du dernier théorème , le volume compris entre deux plans dans une sphère, dans une hyperboloïde , dans un ellipsoïde, etc.

Antre méthode pour arriver aux formules qui résolvent le problème de la quadrature des aires planes et de la cabature des solides.

93. Comme le problème de la quadrature des surfaces et de la cubature des solides est très-important , il ne serapas inutile de présenter sa solution sous un nouveau point de vue plus général et de résumer ainsi les leçons qui précèdent.

Si Ton considéra une surface plane ou courbe , mais entièrement fixe, la position d'un point sur cette surface se trouvera déterminée par le moyen de deux coordonnées rectangulaires ou obliques, rectilignes ou curvilignes, etc., que nous désignerons dans tous les cas possibles par les lettres

x et xi

et une ligne quelconque , tracée sur cette surface , pourra être représentée par une équation dont le premier membre renferme les deux variables x et y , ou au moins l'une d'entre elles. Dans le dernier cas, c'est-à-dire lorsque l'équation donnée renfermera une seule des variables x et y , nous dirons que la ligne correspondante est de première espèce. Ainsi les lignes de première espèce sont

l88 CALCUL INTÉGRAL.

celles qui auront des équations de la forme

f{x) = o, ou /(y) = o,

par conséquent celles dont les équations résolues ptr rapport à Tune des variables se réduiront à

x = const., ou y = const.

Au contraire, nous appellerons lignes de deuxième espèce toutes celles dont les équations seront de la forme

ou, ce qui revient au même,

94. Ces définitions étant admises, il est clair qui chaque valeur donnée de x ou dey correspondra toujours une ligne de première espèce , et que par un point donné on pourra toujours faire passer deux de ces lignes. Nous appellerons lignes coordonnées des x et des y les deux lignes de première espèce qui ont respectivement pour équations

Il origine des coordonnées sera le point d'intersection de ces deux lignes, c'est-à-dire, en d'autres termes, le point dont les coordonnées se réduisent à zéro.

Soient maintenant M le point qui a pour coordonnées xety, N un deuxième point qui ait pour coordonnées x + Axj y + by\ Ax, Ay étant deux accroissements très-petits attribués aux variables x et y *, et désignons par a la petite aire MNPQ comprise entre les quatre lignes de première espèce qui passent par les points M et N. L'aire a dépendra en général des quatre quantités

x, y y ax, <ay,

el s'évanouira toujours en même temps que le produit àxùgr\ car il suffira, pour la rendre nulle, d'égaler à iho un des facteurs de ce produit. Mais si Ton fait décroître indéfiniment Ax et Ay, le rapport convergera vers une limite qui ne pourra plus dépendre que des variables x et y, et qui , dans plusieurs systèmes de coordonnées, se réduira simplement à une quantité constante. Ainsi , par exemple , on aura pour un système de coordonnées rectangulaires tracées sur une surface plane

c = Axùty \ et par suite = i .

Pour un système de coordonnées obliques tracées sur km surface plane et comprenant entre elles l'angle a> ,

a = AxA/sin*,

a ------ =r sin«> etc.

Donc, si Ton fait en général lim. = h, on aura h =i

dans le cas des coordonnées rectangulaires, u = sina> dans le cas des coordonnées obliques, etc. D'autres systèmes de coordonnées pourront fournir pour la quantité a, au lieu d'une valeur constante , une valeur variable , c'est-à-dire une fonction de x et de y. J'ajoute qu'après iroir trouvé la valeur de u, on en déduira sans peine Taire comprise dans un contour quelconque : c'est ce que nous allons faire voir

95. Considérons d'abord un contour formé par quatre lignes de première espèce, savoir : celles qui passent par le point fixe, dont les coordonnées sont x0,y0, et celles qui passent par le point mobile, dont les coordonnées variables sont x,j.

L'aire , dans ce contour , sera variable elle-même , et nous la représenterons en conséquence par x(x,y).

Cela posé, si Von désigne par la caractéristique A, 1'** croissement que reçoit une fonction de x dans laquelle du fait croître x de Ar, et par la caractéristique A, Taecroissement que reçoit une fonction de y dans laquelle on fait croître^ de A^, on aura a =Ar. Ax^(r, jr), et parce

que le rapport - a pour limite l'unité

e étant un nombre très-petit.

En divisant les deux membres de l'équation précédente par Ar, Ay, et passant aux limites, on conclura

-dxdy ou, en d'autres termes ,

T5n intégrant cette dernière équation par rapport à y, k partir de^=70, et ayant égard à la condition %(x,yo)=:0 qui doit être vérifiée, quel que soit x, on trouvera

D*S (*» r) = / tt4r-

Intégrant de nouveau par rapport à x, à partir de ar =x0, et ayant égard à la condition x(xwy) =0, qui doit être vérifiée, quel que soit y, on obtient la formule

%(*> y) = ; <**[ udr = / / udxdy.

H est essentiel d'observer que de l'équation

on tire

***(*> y) = a*(i h- •) ÇJ » 4r ;

par conséquent Axx(x, j), c'est-à-dire Taire comprised'une put entre les lignes de première espèce qui correspondent aux abscisses x et x + Ax , de l'autre entre les lignes de première espèce qui correspondent aux ordonnées yw y,

est représenté par un produit de la forme

AJr(i-hi)/ udjr,

s étant un nombre très-petit.

Si l'on fait/ = Y, Y désignant une quantité constante , le produit précédent deviendra

A*(i -+-•)/ udy,

et représentera Taire comprise entre les lignes de première espèce qui répondent d'une part aux abscisses x, x 4- Ax, de Tautre aux ordonnées y0 et Y.

96. Concevons maintenant que, x0 désignant toujours une quantité constante, on représente par y, Y, non plus deux valeurs constantes de y, mais deux fonctions de la variable x, et cherchons Taire comprise d'une part entre les lignes de deuxième espèce qui ont pour équation

de Tautre entre les lignes de première espèce qui correspondent aux abscisses x0 et x ; cette aire sera variable avec x, et si on la représente par <f(x), elle recevra pour accroissement A<p(x), quand on fera croître x de Ax. Soit PQRS l'accroissement dont il s'agit, renfermé d'une part entre les lignes de première espèce PR et QS correspondantes aux abscisses x, x + Ax, de l'autre entre les portions PQ , RS des lignes de deuxième espèce qui ont pour ordonnées aux points P et R, y et Y\ il est clair qu'on pourra, sans changer la valeur de Taire PQRS,

remplacer séparément on simultanémem , i° la ligne de deuxième espèce PQ, dont l'ordonnée au point P est Y, par une ligne de première espèce FQ ; 20 la ligne de deuxième espèce RS, dont l'ordonnée au point R est j, par une ligne de première espèce RS'; on aura donc encore

Axf(x) = FQ'R'S'.

De plus , la ligne R'S' coupera évidemment la ligne RS, et par suite aura une équation de la forme

î désignant un certain accroissement que reçoit y considéré comme fonction de x, lorsqu'on fait croître X d'une certaine quantité plus petite que Ax. De même la ligne P' Q' aura une équation de la forme

e" étant l'ordonnée d'un point de la ligne PQ correspondant à une abscisse comprise entre xet 1 + Ax \ cela posé, on trouvera , en vertu de ce qui précède(n° 95),

P'Q'R'S' = (1 -h •)**/ , udXy

et par conséquent aussi

A«^(j;):=r(i-hi)Ax I udy*

e' et e" étant des nombres qui décroîtront indéfiniment avec Ax. Si l'on divise par Ax les deux membres de l'équation précédente, on en conclura, en passant aux limites,

D,f (*) = j udy, puis en intégrant à partir de x = x0, et ayant égard à

a condition 9(^0) = o ,

Mais il faut se rappeler alors que la première intégration ioit être faite par rapport à /, dans les limites y et Y qui dépendent de la variable x , et la deuxième par rapport à x9 à partir de la limite x0 qui est une quantité constante.

Si , en désignant par y, JT, deux fonctions de x, et par r# , X , deux quantités constantes , on cherchait Faire comprise , d'une part entre les lignes de deuxième espèce qui ont pour équations y=y et y= JT, de l'autre entre les deux lignes de première espèce qui ont pour équations x = x© et x = X, on trouverait pour la valeur de cette rire que j'appellerai A ,

À= I / udxdy; J x0Jy

dans le cas particulier où y, Y deviennent constants , la valeur précédente de A se réduit, comme on pouvait le prévoir, à la valeur précédemment obtenue.

Scolie. Il est essentiel d'observer que la méthode cidessus exposée peut servir à déterminer non-seulement la surface comprise entre les lignes que représentent les équations ci-dessus, mais aussi toute autre quantité assujettie à croître ou à décroître avec cette même surface. Une semblable quantité se trouverait encore exprimée

nX pY par l'intégrale I f udxdy, si l'on désignait par

(u±Lt) AxAy, non plus l'élément de la surface, mais l'élément correspondant de fa quantité cherchée.

Si la surface donnée se trouvait terminée par un contour quelconque, il serait facile de la décomposer en T. h. i3*

plusieurs parties à chacune desquelles on pourrait appliquer la méthode précédente.

97. Après avoir établi les principes généraux relatifs aux quadratures des surfaces , passons au problème des . cubatures.

La position d'un point dans l'espace se trouve complètement déterminée par le moyen de trois coordonnées rectangulaires ou oblique^, rectilignes ou curvilignes, polaires, etc., que nous désignerons, dans tous les 4u, par les trois lettres x, y, z. Cette notation étant adoptée, une surface quelconque pourra être représentée par une équation dont le premier membre renfermera les trois variables x, y, z, ou deux de ces variables, ou au moins Tune d'elles. Pour distinguer ces trois cas l'un, de l'autre, nous dirons qu'une surface est de première* de deuxième, de troisième espèce, suivant que son équation renferme une , ou deux , ou trois variables. En conséquence , l'équation d'une surface de première espèce aura l'une des trois formes

/(*) = °> Aï) = °> /(») = °> ou, ce qui revient au même, l'une des suivantes

L'équation d'une surface de deuxième espèce aura Tune des trois formes

ou, si Ton veut, l'une des trois formes

Enfin l'équation d'une surface de troisième espèce sera de la forme

SEIZIÈME LEÇON. ig5

à laquelle on peut substituer la suivante

Gela posé , il est clair qu'à chaque valeur donnée de x, y ou z correspondra toujours une surface de première espèce, et que par un point donné on pourra toujours faire passer trois semblables surfaces. Nous appellerons surfaces coordonnées desyz, des-zx et des ay, les trois surfaces de première espèce qui auront pour équations respectives

Ces surfaces.se couperont suivant trois lignes que nous appellerons lignes coordonnées des .r, des y et des z \ et ces lignes, en un point qui sera Y origine des coordonnées-, par suite, l'origine sera le point dont les trois coordonnées se réduisent à zéro.

Une ligne pouvant être considérée comme l'intersection de deux surfaces , sera naturellement représentée par deux équations; si ces équations sont de la forme

la ligne se trouvera située dans la surface coordonnée des xj-, et ne sera autre chose que l'intersection de cette surface coordonnée avec la surface de deuxième espèce à laquelle appartient l'équation f{x^y) = o.

En général, il est clair que toute surface de deuxième espèce, représentée par une équation entre deux variables, coupera l'une des trois surfaces coordonnées suivant une ligne de deuxième espèce à laquelle appartiendra l'équation dont il s'agit. INous dirons que cette ligne est la base de la surface.

98. Considérons maintenant F élément de volume terminé par les six surfaces de première espèce, qui passent

par les deux points dont les coordonnées sont respectivement