X -h àx, / + A/, Z -h AZ

Ce volume , équivalent dans le cas des coordonnées rectangles au produit AxAjAz, s'évanouira dans tous les cas avec ce produit , et pourra être représenté par une expression de la forme

\w ± i)ix\y\z:

w désignant la limite vers laquelle converge , pour des valeurs décroissantes de Ar, Ay, Az , le rapport du volume ci-dessus mentionné au produit en Question , et le nombre e étant assujetti à décroître indéfiniment avec ce même produit. Dans chaque système de coordonnées, la quantité w ne pourra être qu'une quantité constante, ou une fonction déterminée des variables #, jp, z. De plus, après avoir trouvé la valeur constante ou variable de cette quantité iv, on en déduira facilement l'expression du volume renfermé dans une enveloppe quelconque.

En effet, cherchons d'abord le volume v compris entre les six surfaces de première espèce qui passent pap les points dont les coordonnées sont

xt y 9 zi

x -f- Ajf , y -\- sy, z.

On pourra considérer ce volume comme l'accroissement, par rapport à x et y, d'un autre volume renfermé entre les surfaces de première espèce qui passent par les deux points dont les coordonnées sont respectivement

^o» Xot s0, Xy y, z.

Désignons par <p(x, y, z) ce dernier volume, et supposons que les caractéristiques Ax, Ar, A, indiquent les ac-

croissements que reçoiveut des fonctions de x, y, z , m quand on y fait croître x de Ax , ou y de Ay, ou z de As, le volume cherché sera

t> = \TiA[x> y , *).

et de plus on aura évidemment

En divisant par At les deux membres de l'équation précédente, puis faisant converger As vers la limite o, on obtiendra la formule suivante

puis en intégrant par rapport à z, à partir de s = z0 , et observant que Ton a, quels que soient x ety,

4,(*, jr, »o) = O»

on obtiendra

ou, ce qui revient au même,

P = ArAx4(x, jr,*) = (l -+-«) AJTAJT / «wfe,

s désignant un nombre qui aura des valeurs différentes dans les diverses formules, mais toujours des valeurs très-petites quand Ax et Ajr seront eux-mêmes trèspetits.

Si Ton voulait obtenir le volume compris d'une part entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

x, x -f- Ax; y, y -h A^,

de l'autre entre les surfaces de première espèce qui ont

1^8 CALCUL IHTÉGRAL.

pour équations z = *0, z = Z, il suffirait de remplacer x

par Z dans le deuxième membre de la formule; on trou- .

verait ainsi , pour représenter le volume cherché , une

expression de la forme

/•Z (i H- i)bxày 1 tvdz>

t désignant toujours une quantité infiniment petite.

99. Concevons maintenant que, x, X désignant deux quantités constantes, jr, JFdeux fonctions de la variable x, z et Z deviennent des fonctions des deux variables x etr, et cherchons le volume compris d'une part entre les surfaces de première et de deuxième espèce, qui ont pour équations

de l'autre entre les surfaces de troisième espèce qui ont pour équations

Ce volume croîtra ou décroîtra en même temps que Taire comprise entre les quatre bases des surfaces de première et de deuxième espèce ; et si Ton désigne par (/<+*) Aj?4t l'élément auquel se réduit ce volume dans le cas où Ton remplace les surfaces x==X, y=Ypar les deux surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

X, x -f- A*, y, y H- Sy,

on obtiendra , pour l'expression du volume cherche , /»X nY

Il reste à trouver la valeur de u, ou, ce qui revient au même , celle du volume élémentaire

compris d'une part entre les surfaces de première espèce

SEIZIEME LECOX*. IJJO,

qui correspondent aux coordonnées

de l'autre entre les surfaces de troisième espèce qui ont pour équations z = <z, z = Z.

Or, sans changer ce volume élémentaire, on pourra évidemment remplacer, i° la petite portion de surface de troisième espèce qui prend son origine au point dont les coordonnées sont x, y, z, et qui se termine à celui dont les coordonnées sont

x -f- ax, y 4- AT» z -+■ *tj*i

par une portion correspondante de surface de première espèce dont l'équation serait de la forme z = z + s', «' étant une quantité infiniment petite en même temps que ûx, Ay; a° la petite portion de surface da troisième espèce qui s'étend depuis le point correspondant aux coordonnées je, y, Z, jusqu'à celui dont les coordonnées sont

x H- ix, y -f- A/, Z -+■ \\jZ,

par une partie correspondante de surface de première espèce dont l'équation soit de la forme z = Z -+- e", e" désignant encore une quantité infiniment petite. De plus, pour obtenir le volume compris , d'une part entre les surfaces de première espèce qui sont représentées par les équations

de l'autre entre les surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées

x, x -f- ax, /, y -f- *y9

il suffira évidemment de remplacer dans la formule

v = (i -+- 1 ) ^x^)■ f ivdz,

*0 par z 4- e' et'Z par Z + «". On trouvera en conséquence, pour représenter ce volume , une expression de la forme

wdzy

e" étant une quantité infiniment petite. En égalant cette expression à (u + e)AxAy, on trouvera « '

puis, en passant aux limites,

wdz.

La yaleur de u étant ainsi déterminée , la formule qui

exprime le volume compris entre les surfaces données

deviendra

rX rY rZ lit wdxdydz, J x0 Jy J s

On aura donc, en désignant par V le volume cherché et supposant les intégrations faites, i° par rapport à z entre les limites variables 3, Z; 20 par rapport à y entre les limites variables yy Y; 3° par rapport àx, entre les limites constantes x0, X,

V= /' f ( wdxdydz

J x0 J y Je

Scolie. Il est essentiel d'observer que la méthode précédente peut servir à déterminer non-seulement le volume compris entre les surfaces dont il s'agit, mais encore toute autre quantité assujettie à croître ou à décroître avec ce même volume. Une semblable quantité se trouverait encore exprimée par l'intégrale qui forme le deuxième membre de la formule ci-dessus, si Ton dési-

gnait par

(w -h i) teàjrbz,

non plus l'élément du volume V, mais F élément correspondant de la quantité cherchée.

Ajoutons que si le volume donné se trouvait terminé , non parties surfaces données, mais par un contour quelconque , il serait facile de le décomposer en plusieurs parties, de manière que chacune de ces parties , ou la partie correspondante , pût être facilement calculée par la méthode que nous venons d'exposer.

100. On peut remarquer que si Ton divise par AxAyAz les deux membres de l'équation

Ax V Vj, (x, y> *) = (w ± i) àxàjrto ,

on en conclura, en passant aux limites,

de plus , il est permis de prendre pour ^(x, y, z) le volume compris entre les six surfaces de première espèce qui correspondent aux coordonnées o, x \ o, y\ o, z ; il suffit donc de connaître ce dernier volume pour en déduire la valeur de w.

Pour donner une première application des formules précédentes, supposons d'abord les coordonnées x, y^ z rectangulaires. Dans cette hypothèse, le volume ty(x,y, z) compris entre les six plans de première espèce qui passent par l'origine et le point dont les coordonnées sont xyy, Zj se trouve déterminé par l'équation

• tfa f> *) =*y*> de laquelle on tire

dxdydz

202 CALCUL INTÉ0AAL.

On aurait pu encore arriver au même résultat, en observant que le volume renfermé entre des plans rectangulaires qui passent par les points dont les coordonnées sont

x, y, z, x -h Ax, y -h Aj, z -+■ à*,

se réduit à un parallélipipède rectangle, dont le»dimen- » sions sont respectivement égales à Ax, Ay, As , eu sorte qu'on a

et par suite

lim. «> (i ± i) = i, a> == i .

Cela posé , on aura

flL nY i* pX pY

V= / / / dxdydz= I ! (Z — z)dxdy.

Si Ton considère des coordonnées obliques mais toujours rectilignes , en désignant par a le volume du parallélipipède qui aurait pour arêtes trois droites respectivement parallèles aux axes des coordonnées, et de plus égales à l'unité de longueur , ou trouvera

et par suite tv = «,

pX pY pZ fX pY /

V = a f I I dxdydz = a J I (Z-z)dxdy. J Xo J y J * J*o Jy

Concevons maintenant que la position du point dans l'espace se trouve déterminée par le moyen des coordonnées polaires '

r désignant le rayon vecteur mené du point que Ton considère à un point fixe pris pour origine ; u l'angle que

SEIZIEME LEÇOff. 3o3

forme ce rayon vecteur avec un axe fixe , on plutôt avec un demi-axe passant par l'origine 5 et 0 l'angle formé par on plan fixe qui renferme ce demi-axe , avec le plan qui passe par le même demi-axe et le rayon vecteur.' Les surfaces de première espèce, c'«st-a-dire les surfaces représentées par des équations de la forme

h = c, ou 6 = c', ou r = c",

seront évidemment ou des surfaces coniques droites à bases circulaires qui auront pour axe Taxe fixe, ou des plans passant par Taxe fixe, ou des surfaces sphériques qui auront pour centre l'origine.

Les équations u = o, 9 =0, r = o appartiendront en particulier, la première au plan fixe , la deuxième à Taxe fixe, la troisième au point unique pris pour origine.

Cela posé, le volume représenté par $(u, 6, r) se trouve terminé, i°par deux plans qui renfermeront Taxe fixe , et comprendront entre eux un angle é^al à u \ 20 par une portion de surface conique dont la génératrice formera avec Taxe fixe l'angle u; 3° par uue portion de zone sphérique dont la hauteur est équivalente à

r[\ — cosm), et l'aire , au produit

2*r[r(i — cosu)] = 2arr*(i — coSit).

Le volume sera donc une partie de secteur sphérique qui a pour base cette zone et dont le volume est en conséquence

jr.2»ra(i — cosw) = |*r3(i — cosu).

Ajoutons que le volume t|*(u, 0, r) sera au secteur sphérique dans le rapport de 0 à an , d'où Ton conclura

Wu> ô> n = — -j r3(| — <**«)>

ou , ce qui revient au même ,

M", ô, r) = — (i — cos«)*; * on aura donc

et par suite

ae //* I r» sin ududQdr.

Jr

Dans ces dernières équations, r et R sont des fonction» des variables u et 0$ 0 et 6 des fonctions de la seule variable u , et u0, U des quantités constantes.

On arriverait encore à cette expression du volume V en remarquant que l'accroissement infiniment petit du volume correspondant aux accroissements simultanés du, </9, dr peut être considéré comme un parallélipipède rectangle dont les trois dimensions sont rrfu, rsiniidB, dr, et qui a pour valeur r1 sin udddr.

Réduction des intégrales multiples. Première méthode: par un changement de coordonnées.

401. La réduction des intégrales multiples a été, dans ces derniers temps, l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres, parmi lesquels nous nommerons seulement MM. Cauchy, Lejeune-Diriçhlet, Li ou ville, Lamé, Catalan, Tortolini. Nous avons pensé qu'on nous saurait bon gré d'exposer avec quelques développements la marche qu'ils ont suivie et les résultats importants auxquels ils sont arrivés.

La première méthode de réduction consiste à substituer aux anciennes coordonnées des coordonnées nouvelles dont l'emploi rendra l'intégration plus facile.

La position d'un point dans l'espace est ordinairement déterminée par trois coordonnées rectilignes a:, jr9 z, parallèles à trois axes fixes, ou par trois coordonnées polaires qui peuvent être, par exemple, le rayon vecteur r ou la distance du point à l'origine des coordonnées ; l'angle 0 que la projection du rayon vecteur sur le plan zy fait avec l'axe des j, -et l'angle u du rayon vecteur avec l'axe des x. Dans le cas où les axes sont rectangulaires les coordonnées polaires sont liées aux coordonnés rectilignes

a66 CALCUL INTÉGRAL. ' *

par les équations connues

x = rcosw, y = rcosucosdf s = rsinnsinô.

402. Dans ses intéressants Mémoires sur là théorie de la chaleur , M. Lamé a fait usage (Tun nouveau genre de coordonnées qu'il a appelées elliptiques. Un point quelconque de l'espace est alors considéré comme l'intersection de trois surfaces dépendantes chacune d'un paramètre variable. Ainsi, par exemple, un point quelconque de l'espace peut être défini comme l'intersection des trois surfaces

En supposant

ces trois surfaces seront , la première un ellipsoïde, k seconde un hyperboloïcLe à une nappe , la troisième un hyperboloïde à deux nappes. Les distances focales afr, ac, aV^c* — o* des sections principales sont un élément commun à toutes les surfaces que Ton peut obtenir en faisant varier les trois paramètres X, fx, v. Cette propriété a fait donner à ces surfaces le nom d'honiofocales.

En employant une méthode d'élimination convenable w,

.(*) M. Jacques Binet a donné , pour faire cette élimination, un moyen d'autant plus ingénieux et plus simple, qu'il s'applique à un nombre quelconque d'équations ; voici en quoi il consiste. Considérons * éqna-

DIX-SEPTIÈME LEÇOIf. 20 J

on arrivera aux trois équations

bcX = A/K»,

bj {/c* — b* = \z* — b* \Sp*—~iï* i/^nr;» ,

« l/V — b* = 1/a1 — ca V^C — ^ua l/V — >*, qui donnent x, j, z en fonction de A , ju, v ; et les valeurs

tions de la forme

ï r-= ?-r5 h etc. = I,

fi— * fi— * fi— y

Çt— * fi— s fi— •>

-+- eic. = i .

-H etc. = i ,

et cherchons les valeurs des n inconnues £, », {,... exprimées au moyen de V.- ît> ?■»••> *> C, },.... Pour cela, posons

La différence F (x) — /(x) sera un polynôme du degré n — i , el puisque

dans la fraction — v .., ( le degré du numérateur sera inférieur au

moins d'une unité au degré du dénominateur, on aura identiquement, en vertu des principes qui donnent la décomposition des fractions rationnelles,

^£Û)-3QL)-J etc.

F'fc) — > *

En faisant tour à tour, dans celle équation ,

et ayant égard aux équations

/«.) - o» /(f.) = o, /£.} - of...t on trouvera

ao8 calcul nrrÉGRÀL.

de ar% y*9 z* satisfont à une même équation du sixième degré. En effet, en ordonnant l'équation

A1 Aa— 6» Aa — C"

par rapport à A , et posant

,B = .r»(£» -h ra) 4- j'c* -f- *»£• -h *Vf

on trouve

Ae aa< ■+- Ba* — C = o.

Si , au lieu de partir de l'équation de l'ellipsoïde , on était

Fwe.-« rv)ft-« f (>)&-> • •- • /<*) i /(î)i ZM i -,

F'Wf,-« F(éjf,-6 F' (>)*,-> ■•— '■

Ces équations sont des équations identiques , vraies quels que soieui « , 6 , y, . . ., *t , {, , f , , — Or elles se réduisent aux équations proposées quand on fait

-DEL- (6-g,)(6-gt)(6-f,)

lf(C)~"~ (6-«) (€->)... '

Donc cet dernières valeurs rendront aussi identiques les équations propotées , et sont les valeurs cherchées des inconn ues | , », £,....

Pour revenir ou cas des trois équations que nous avons d'abord considérées, il suffit évidemment de poser, dans les formules qui précèdent,

parti des équations des hyperboloïdes , on serait arrivé à la même équation du sixième degré , et par conséquent 1% (x1, v* étant à la fois racines de cette équation, Ton aura

A1 -4- (* •+- »a = A, A>a -+- A1»' 4- /«*a»a = B, A>aF* = C.

Or si entre ces trois équations jointes à l'équation du sixième degré on élimine tour à tour A, ou (x, ou v, on retombera sur les équations des surfaces homofocales.

103. Ces surfaces, qui ont entre elles huit points de commun, jouissent de propriétés relatives fort remarquables. Leurs plans tangents au point (x, y, z).ont pour équations

À" Àa — £* À* — C»

j^ yi zÇ __

et sont perpendiculaires l'un à l'autre; car en appelant a, 6, y; a , 6', /; a", 6", y" les angles que les perpendiculaires à ces trois plans font avec les axes , on a

coS'Jt cos£ cas y

cos*'

cos«"

A1 — b% cos£'

cosy'

cosC"

cosy"

0r les équations qui donnent a:, yy X en fonction de A, p, V, conduisent aux identités

rr-l-/vl A;w . jl,» — /:, -,w , -t=cos« cos*' -î-cosoeosS' H-etc. =

t~ — rT"CVÂS — Tx + n — TTT1 — rr=cos«/cos«"-hcosC/cos*"4-ctc. =

En vertu de ces identités, les cosinus des angles que font entre eux les plans tangents étant nuls, ces plans sont perpendiculaires entre eux. Il en résulte qu'une surface homofocale coupe normalement toutes les surfaces des deux autres systèmes.

Considérons en particulier un des ellipsoïdes représenté

par l'équation

En un quelconque M de ses points passent deux hyperboloïdes, l'un à une nappe', l'autre à deux nappes, ayant les mêmes foyers que cet ellipsoïde , tels que leurs plans tangents étant toujours perpendiculaires au plan tangent de l'ellipsoïde , ils se coupent suivant une courbe à double courbure, dont le plan osculateur soit toujours normal à l'ellipsoïde proposé. Soit M' un point de cette intersection voisin de M et situé sur un second ellipsoïde qui, infiniment voisin du premier, ait pour paramètre X -+- rft ; appelbns dxs l'élément MM', et dkx, d^y, dxx ses trois projections sur les axes. Il est évident qu'en passant de M à M', p et v restent constants, et que X est la seule coordonnée elliptique qui varie. On aura donc, en

diiférentiant par rapport à X les trois équations qui donnent x, y, z en fonction de X, fx, v,

bcdyX = ffifdx,

bthrVc*— b* = ^-^—y^.T.-z. — <fr,

et par suite, toute réduction faite,

Pareillement si Ton désignait par J^s, ^T5 les éléments des courbes d'intersection de l'ellipsoïde avec l'hyperboloïde à deux nappes, ou de rhyperbolôïde à une nappe avec l'ellipsoïde, on trouverait

duS = = :- » ' .

V/a* — >al/*a — f*

V hx — »a |/c' — >*

Toutes les courbes dont d^s, d,s sont les éléments, et suivant lesquelles un même ellipsoïde est coupé par tous les hyperboloïdes homofocaux , ne sont autres que les lignes de courbure de sa surface. En efiet (Calcul différentiel, n° 198), l'équation des lignes de courbure de l'ellipsoïde dont les axes sont Xf, X* — ft1, X1 — cf, est

x (ca — b*)dydz — c^ydzdx -h b*zdzdy = o,

ou, en divisant par dxdydz^

ai?

ou

\dz dx) \dy dxj

Quand on chemine sur une des courbes dont d^s est l'élément , A et v sont constants, p- varie seul, et Ton a

(tdu

dz dfiz

pdf*

Or ces valeurs substituées dans l'équation des lignes de courbure la rendent identique, donc les courbes dont d^s est l'élément , forment un système de lignes de courbure de l'ellipsoïde ; il en est de même des courbes dfS, pour lesquelles on a

dx dfx di'' dy dfy

dz df z fd*

expressions qui rendent encore identique l'équation

r*JL

' dx dy

z dz

Il reste donc prouvé , en vertu de ce qui précède, que toutes les surfaces homofocales de deux quelconques des trois systèmes rencontrent normalement une surface courbe quelconque du troisième système et tracent sur elle toutes ses lignes de courbure.

\ 04. Quelquefois, aux trois surfaces que nous avons considérées on substitue des variétés de ces surfaces, la sphère,

DIX-SEPTIEME LEÇON. 2l3

par exemple, à Fellipsoïde ; les deux cônes obliques à base elliptique aux deux hyperboloïdes. Dans ce cas, en appelant rie rayon de la sphère, ou son paramètre , b et c>i

deux constantes, p^ et v < & < c deux autres paramètres variables , on aura les trois équations

dont les deux dernières représentent les cônes asymptotiquesdes hyperboloïdes à une ou à deux nappes. Les deux cônes et la sphère formant un ensemble de surfaces orthogonales , les coordonnées x, y, z sont liées aux coordonnées r, /tz, v par les équations

bcx = rpt,

by\/c* — b2 = ri/ p* — b* [/b%— >», * cz \/c% — b% = r\/c* — /«» \/c* — »a.

Nous montrerons bientôt le parti que l'on peut tirer de la transformation des coordonnées pour la réduction de certaines intégrales multiples.

Mais auparavant rappelons en peu de mots les formules générales qui , dans le calcul intégral , servent au changement des variables indépendantes.

ai4 CALCUL INTÉGRAL.

Continuation de la leçon précédente. — Formule générale pour la transformation des variables dans les intégrales multiples.