Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une intégrale double
f/Vdxdy =ff¥ [x, y)dxdy,
et qu'aux variables indépendantes x, y on veuille substituer deux nouvelles variables t et m, dont x et y soient des fonctions déterminées. On commencera d'abord par voir ce que devient la fonction U= F (x, y), puis on calculera le produit dxdy de la manière suivante, x, y étant des fonctions déterininées de t et de «, en représen-
, t , / 1 i , • * . „ dx dx dy dy
tantparXoX^yM^lesdériveespartielles^-, ^-, gpjr»
on aura
dx = x\dt -h x'udu, dy = y\dt -+- y'udu.
On se tromperait évidemment si , pour obtenir le produit flx dy, on multipliait entre elles ces deux valeurs, car dans l'intégrale double donnée les deux variables x et y étant indépendantes, y doit rester constant quand on différence par rapport à x ; la différentielle dx suppose y constant, et pour l'obtenir il faut nécessairement faire
dy = o } on a ainsi
dx = x'tdt-hx'mdu, o = y*dt -+-y'mdu;
en éliminant da entre ces deux équations, on trouve
Si Ton substituait eette valeur dans l'intégrale double et qu'on éliminât à la fois x et u, ce qui est toujours possible, elle deviendrait fonction seulement de y et de U Dès lors ces deux variables devraient être indépendantes, l'existence de dy supposerait de nul , et l'équation
djr = y'tdt -\- y^dm 9
réduite momentanément à dy =y'udu9 donnerait la valeur de dy, et par suite de dxdy. Par cette transformation, l'intégrale double deviendrait
S S <P (*> u) fax'» — y\ x'u) dtd*.
Prenons pour exemple l'intégrale
le produit dxdy est déjà calculé en vertu de ce qui précède ; reste à déterminer — et -7- en ioitction de t et de u, 7 dx dy
z fonction de x et de y est, par rapport à t et u, une fonction de fonction ; on aura donc
dz dzdx dz dy
7t~~dx'dt'*~ïtydt9
dz , dz ,
dz dit
dz dx dz dy drdu dy du
9l6 CALCUL LNTÉOIUL.
OU
dz , dz ,
De ces deux équations on tire facilement les valeurs de dz dz #
-, -, qu, sont
dz __r**t—rt** dz *«'.—.**%
dx *ir.— /«*» dy *#*—?%*»
En substituant ces valeurs ainsi que celles de dxdy dans l'intégrale double, on la ramène immédiatement k h forme
jjdida \/{x y:^x:X[)^{z[x^z:x\Y^{ytz: ->;*>
