TABLB DES MATIERES. XVII

grale singulière renferme nécessairement moins de n constantes. — Conditions d'intégrabilité d'une semblable équation.

— Pour que l'expression F[x, yy y', y' ',..., jC-1)] soit une différentielle exacte , il faut et il suffit que Ton ait

D,F— D,DyF -h DJD^F— ...= o.

— Démonstration de M. J. Binet. — Procédé d'intégration quand cette condition est remplie. — Conditions à remplir pour que la fonction F soit intégrable un certain nombre de fois. — Extension de cette méthode à une fonction différentielle d'ordre quelconque et d'un nombre quelconque de variables. — Corollaires remarquables déduits par Euler.

TRENTE-SIXIÈME LEÇON Pages 564 à 583

Propriétés générales et intégration des équations linéaires de l'ordre n à coefficients constants ou variables, avec ou sans second membre. — Première propriété. L'intégration de l'équation avec second membre peut toujours être ramenée à l'intégration de cette même équation sans second membre. — Deuxième propriété. \J\nté%rz\e générale de l'équation linéaire avec second membre se déduit, au moyen d'une intégrale multiple, des intégrales de n équations linéaires sans second membre. — Troisième propriété. L'intégrale générale de l'équation avec second membre se déduit, au moyen d'une intégrale multiple, des n intégrales particulières de l'équation sans second membre. — Quatrième propriété. Si l'on connaît m intégrales particulières de l'équation sans second membre, on pourra toujours ramener l'intégration de l'équation avec second membre à l'intégration d'une nouvelle équation linéaire de l'ordre n — m. — Gnquième propriété. Si Y/, Y„ . . . , Yn sont n intégrales particulières de l'équation sans second membre, et yx une intégrale particulière de l'équation avec second membre, les intégrales générales des équations avec ou sans second membre seront respectivement

x = C1YI-f-C2Y,-f- C3Y3-h...-hC„Yl44-.rt, Y = fJ,-hCJ1 + C3Y3+...+ CJn.

— Analogie entre les équations différentielles linéaires et les T. ii. b

XVIII TABLE DBS JfATISftBS.

équations algébriques. — Théorème énoncé par M. Libri et démontré par M. Liouville. — Exemple de l'abaissement des équations linéaires.

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON Pages 584 a 629

Intégration de l'équation linéaire de Tordre n à coefficients constants , avec ou sans dernier terme variable. — Première méthode. Réduction de l'équation différentielle linéaire de Tordre « à un système de n équations linéaires du premier ordre. — Deuxième méthode. Par l'abaissement progressif de Tordre de l'équation proposée. — Troisième méthode. Par le passage de l'équation sans second membre à T équation avec second membre. — Cas où Ton connaît n — m intégrales de cette dernière équation. — Cas où l'équation caractéristique a des racines égales : procédés divers à l'aide desquels on rend à l'intégrale toute sa généralité. — Cas où l'équation caractéristique a des racines imaginaires. — Applications diverses : équations sans 'second membre, avec second membre constant ou variable.

TRENTE-HUITIÈME LEÇON 63o à 681

Intégration de quelques équations linéaires, de Tordre n , à coefficients variables. — Équation

a + bx (a-hbx)n

— Cas où Téquation caractéristique a des racines égales. — Intégration, parle moyen d'une intégrale définie, de Téquation

Di z =r ax" z.

— Cas où Ton obtient en termes finis l'intégrale générale de Téquation

— Procédé d'intégration de ty. Lobatto pour les deux équations

D" y — *T = °, T>ly + abx*y = o.

— Applications diverses : I. Équations dans lesquelles une

TilLB DBS MATIÈRES. XIX

dérivée d'ordre quelconque est exprimée en fonction de la dérivée qui la précède d'un ou de deux rangs. II . Équations du second ordre dans lesquelles une des variables x ou y manque, m. Équations homogènes. IV. Équation qui devient homogène quand on y considère y comme ayant n dimensions. V. Équation dans laquelle la variable y et ses différentielles dy7 d*y ont partout la même dimension. VI. Intégration, àFaide d'un (acteur indéterminé, de l'équation

artfr»

J (by* -h c -+- adr-f- ex%f

—Intégration des équations

DJ y -h /(x) J>xy + F ( y ) Dx y* = o. zD7/-f- D,*Dr/-»- DJzDj»/ . . . + d;*D;W/= o.

— Intégration des équations simultanées D?x=DxR, D?j=DrR, D?z = DJL,

— Méthode d'élimination applicable aux deux équations M.DT'r -+- M,!)?» y -+- M3D?V +. . = TX,

TRENTE-NEUVIÈME LEÇON Pages 682 à 721

Réduction d'un système de n équations simultanées du premier ordre à une seule équation de l'ordre /?. — Intégration par séries, à l'aide des formules deTaylor ou de Maclaurin; par la méthode des coefficients indéterminés. — Application à l'équation de Riccati. — Transformation des séries obtenues en intégrales définies. — Cas où l'intégration s'achève. — Méthode particulièrement applicable à l'équation

Bly -hX^Dxj +Xa/ =0.

— Expression de l'intégrale à l'aide d'une suite d'intégrales multiples. — Procédé particulier applicable à l'équation

Dxa=X».