Passons à l'intégrale triple

fffUdxdydz = fff¥(xfy,z)dxdydz.

Aux variables x9 y, z on veut substituer trois nouvelles variables £, m, *>, liées aux premières par des équations données. En désignant encore par xn jci, x*m9y[9yu9y^

z'n z'mJ z'¥ les dérivées partielles — , —, . . . , on aura

dx = x\dt -+- xudu -f- x¥ do, dy =y'tdt-h y'udu-\- yldv, dzm-=*Zxdt -h zldu -f- «J dlp.

Pour obtenir la valeur du produit dx dydz, dans lequel x9 y, z sont considérés comme des variables indépendantes, on calcule d'abord la valeur de dx en supposant y etz constants, c'est-à-dire en faisant dy-=o, dz=oy on détermine ainsi dx en fonction de dt au moyen des trois

équations

dx = x[dt -+- x'udu -f- x',dv,

o =: jrj'dr + jriiùi -\-y'9dv,

ortre lesquelles on élimine facilement du et du. On trônve de cette manière

9g I 9 I l\ . I à I 1 I t\ If I I 1 /%

Cette valeur ramenant le produit dxdydz aux variables t, j% *, on trouvera Jp en faisant dt = o, Jz = o, ce qui donne

dy = ji/fo -h /^; o = zu du -+* sC dv.

Mettant dans la valeur de dy celle de dv qui est ^7-,

il Tiendra

Hl II

d jr»*.-y**u du

Eafin les variables actuelles étant f , u et 2, pour obtenir dzf il faudra faire dt = o, du = o, et Pon aura

Maltipliant entre elles les valeurs de dx, dy, dz, on \ l'intégrale triple JJJ V dxdydz en

8 Y était égal à 1, ou si l'intégrale triple donnée était tient fff dx dy dz, elle deviendrait

jffdÊdM+[x't(xLzi-y: *:) -hr;(*>;- z, xu) -h zt(x:sr-*:su)i

107. Ces formules de transformation ont été employées d'abord par Euler, en 1769, puis par Lagrange en 1773. U démonstration que nous venons d'en donner d'après

2l8 CALCUL IHTÉG&AL.

M. Lacroix laisse beaucoup À désirer. On n'avait d'ailleart étudié jusqu'ici ce changement de variable» que dans 1* «as d'une intégrale double ou triple, il restait encore à donner et à démontrer rigoureusement la formule générale de transformation. Cette lacune a été remplie tout récemment par M. Jacobi d'abord, puis par M. Catalan* M. Cauchy, à ma prière, s'est aussi occupé du même sujet j et, comme toujours, la méthode qu'il a suivie est remarquable par sa précision et son élégance. Pour bien comprendre ce qui va suivre, rappelons-nous quela valeur de l'une quelconque des n inconnues déterminées par les n équations du premier degré

a0x -\-Ky -+-Co» -h...-t-Aof =*<,, atx -\-bty -f-c,2 -f-.. .-f-/i,r =*„

a^ x -+- bn-ty -+- cn x * -h h h*-i t = **-*,

celle de l'inconnue je, par exemple, est donnée par la formule symbolique

x-(*--fl)(c<i)...(A — *)(c — b)...(h — b) (A— g)'

dans laquelle, après le développement, on doit remplacer les exposants o, i, 2,..., n par des indices. La seule inspection de cette formule prouve, i° que le dénominateur commun des valeurs des inconnues est indépendant des termes constants hoy Arl9..., &»; a° que le numérateur de chaque inconnue se déduit du dénominateur commun en remplaçant les coefficients de cette inconnue par les quantités constantes &0, &,, &s,....

Si l'on représente parla notation

*(a*bxc%.. .gn-*hn„t)

la somme qu'on obtient quand au produit aQbxct. . .£„»#„, pris avec le signe 4-, on ajoute tous ceux qu'on en peut déduire à l'aide des échanges opérés entre les indices o, 1, a, 3,..., n — 2, n — i , chacun des nouveaux produits étant pris avec le signe -+- ou le signe — , suivant qu'on le déduit du premier à l'aide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'échanges successifs , le dénominateur commun D sera égal à la somme

et l'on aura

jç — — x m

2 (±«o£i t'a". tfn-A-.r

Si les constantes &,,&,,..., /»„, étaient nulles , on aurait évidemment

"" l{±aQbl ca. ...#„, hnmml)m