Passons à l'intégrale triple
V = fffdxdydz.
On sait par la transformation des intégrales que, si «r, fx, v sont trois nouvelles coordonnées, liées aux anciennes x, y, z, par les équations
dx =r « dr -+- C dp. -+- y dv9 dy = a! dr + •' dp -+- y' dv, dz = a"dr -+- C'dfi -f- y"r/,,
F intégrale triple devient
Dans le cas particulier qui nous occupe, en vertu des
DIX-NEUVIÈME LEÇON. ïf*)
équations qui lient ar, y, z à r, p, v, on aura fndr-\- ndu -+- rfid*
bc
dy = (mndr-\ rpdp, — — r»rf, ]
<fc = — ■ ( pqdr — - rftdp — ^ ndf ) ,
cv* — b*xH p . ^ ;■
et en comparant ces valeurs à celles qui précèdent,
* - bc' C ~ Te' y ~ Kf
on aura , par suite ,
y>'ff«S') =
mqc*(c* — £*)#
En faisant la somme de ces trois expressions et réduisant , on trouvera définitivement
— f f fît* — •*) **dntpd9
mnpq
Une première intégration, faite par rapport à r entre les limites o et r, donne
(p* — >*)r*dftd* mnpq
Dans le cas d'une sphère , r est constant, et, pour obtenir son volume entier, il faut effectuer les intégrations entre les limites b et c pour p, o et b pour v, et multiplier par 8 ; on trouve, de cette manière ,
h fc {(? — **) dp d*
mnpq
/'b ne (p> — f^dfidf .«•
o Jb \Zf^ — b* \/b% — >a \/c% — p* \/<? — »a *%
Ce mode de transformation s'étend avec facilité au cas où Ton conserverait les trois coordonnées elliptiques X, p, y* liées àx,/, z par les équations
fcV/r' — £a 1/a* — r*\/>— ^al/ca— »
En posant, dans ce cas,
dx = r
]/^— b* = /, l/V— p* = Âr, V/'/>a~ra = /, \/V — >a = m>
fiuix -H Ay^c -h *pd*
bc
dy
__ I / ilkd?i glpdp gjpdt \
dz =
/ kmxdx hmfulf», hk » d*
DIX-MKUVIEMB LEÇOH. «47
et par suite
ch\/c' — b* ckYSc% — b* cmVcx — b
m [* W- c*{c*-b*)hiC
h t*(\* — t*)hmi
Ç(y«-*y) = cX{c%h%)gkf
la somme de ces trois expressions, ordonnée par rapport
à À4, /x4, v*, sera
A<fc» — ,») 4- ,«<(>» — A») H- >* (a*— f»») et en remarquant que
A V — »a) -+-/U4(»a — A*) 4- >*(Aa — ,<>) = ( A* — ^) (,** — >>) (A* — >»),
on trouvera définitivement , pour le volume V,
On obtiendra le volume entier de l'ellipsoïde x* y* s»
A2 A* — b* A* — Ca
en intégrant entre les limites o, b pour v; b9 c pour p; c, 1 pour y, et multipliant par 8 j ce qui donne
v=8 f Ie p£-^,->,)(A'->,W*.
Jo Jb Je ghiklm
Ce volume d'ailleurs est égal à ^XW—b* \/U^7\ on aura donc
TJ.
Telle est la valeur que M. Lamé assigna le premier à l'intégrale triple du premier membre. M. Poisson, a vérifié depuis l'équation qui précède.
118. Nous avons pensé que Ton verrait avec plaisir la démonstration géométrique que MM. Chasles et Ter- \ quem ont donnée de l'équation
o Jb y/(p*— &»)(<:»— /«*)(&* — »*)(** — >*) ~~ 2 *""
Si, comme nous l'avons vu(n° 103), après avoir fait croître X de dlj de manière à donner naissance à un second ellipsoïde infiniment peu différent du premier, on prend à chaque point M de la surface du premier ellipsoïde, l'épaisseur dxs de la couche comprise entre cette surface et celle du second ellipsoïde, puisqu'on multiplie le rap-
port — par l'élément superficiel (fo> = d^sd^s du premier
ellipsoïde, la somme f -r-àtù de tous ces produits, étendue à la huitième partie de la surface de l'ellipsoïde, sera donnée (n° 103) par l'équation
Ix j > rbfc (ft* — >*)dudf
Or, en exprimant — en coordonnées rectangulaires, a
l'aide de cette observation bien simple que dks est l'élément infiniment petit de la normale à l'ellipsoïde , <et que
quand ^ varie seul — = — , on trouve
* V Â* "*" (v— *»)» + (a*— c>); N étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan • tangent à l'ellipsoïde; donc
J dks A J
Mais lïïdtù ejt évidemment le triple du volume de l'ellipsoïde et ce volume est égal à
ja-aVa*— b* I/a*— c,
J^^=^NflW = 4*l/(A» — ^)V/(a»— c»)
et par conséquent
119. Il est un système de coordonnées qui renferme, comme cas particulier , le système ordinaire de coordonnées polaires, ainsi que les coordonnées elliptiques de M. Lamé , et dont l'emploi conduit à quelques transformations remarquables. Désignons par r le rayon vecteur mené de l'origine au point (a:, y, z), par u et 9 deux angles variables, par m et n deux constantes positives assujetties à vérifier l'équation
//ia -H /ia = i ; on pourra poser
rsinai/i — m'sin'o, y = rcosacosfi, z = rsiu&V/i — /i1 sin *«,
»5o CALCUL IHTÊGRlL.
on aura
et les trois coordonnées x, y, z détermineront complètement la position du point dans l'espace. En substituant dans l'équation x* •+- y% + z* = r1 pour or, y9 z leurs valeurs, et ayant égard à la relation m1 ■+- n* = i, on trouvera
sin'a (i — iîitsin18)-4-cos,acos*9-hsînaô(i — /isansa)= i.
Pour calculer à l'aide de ces coordonnées une étendue symétrique par rapport aux plans coordonnés, et circonscrite par une surface que les plans coordonnés divisent en
huit parties égales, on donnerait o et- pour limites aux
angles u et 0. L'hypothèse de r constant ramènerait au cas ou la surface donnée est une sphère. Si cette surface devait être un ellipsoïde
et si le point (x, y, z) devait se trouver sur cette surface, on devrait poser
x =r as\nu\/i — wasinau»
Y = b cosa cos£,
z =. csmOy/t — n% sin*#t.
Si l'une des quantités rc, m s'annulle, l'autre devra être égale à l'unité $ si par exemple on fait m = o, on aura n = i, et par suite
x=rsin«, y = rcosucosO, z = r sin u sin Ô;
c'est le cas des coordonnées polaires plus communément employées.
Cette même hypothèse dem=o, n = o, donnerait, dans le cas d'un ellipsoïde ,
x = a sinu, y = b cosu cos0, % = c sinô cosu.
Nous ayons dit que ce système de coordonnées, dans le-* quel x, yy z sont exprimées au moyen de r7 u, 6j m et n, peut se ramener au système de coordonnées elliptiques. En effet, désignons par p une quantité comprise entre & et c, par v une quantité plus petite que b < c, et posons
- = cot1 ::, 9 = b sin u9 b = nc> cx — b% = ca/«a ;
comme on aura
ca — 6» 6»
met/i vérifieront la condition voulue. En substituant les
valeurs de jtx* et de vf dans les équations bcx = rfity by \/c* — b* = rl/V — &"l/&* — f», cz \/c* — 6* = rl/ca— #«al/c* — f%
©n retrouvera, après des réductions faciles, les équations x = rsinaV^i — //iasin*ô,
y =r rcOSKCOs6,
z = r sin 0 W^ i — /ia sin a*i.
S'il s agit encore d'un ellipsoïde dont les trois axes a, fÇk), f (i) soient tels que Ton ait
il sera représenté , dans le système de coordonnées r, m,. 0, m et n, par les équations
x = xmul/i — /wasinad, /=/(à)cos« cosô, z = f (a) sin 0 l/i — «* sina«;
en posant dans ces équations
et remplaçant, comme nous, venons de le faire, u et 0 par (x et v, on retrouverait les équations
bcx = *f**, bf\/c* — b* = Vx% — - *al/V — £*l/>.— »', cz l/c* — 6» = I/a» — ^VV — *H/c" — »*.
120. Cela fx>sé, employons le système de coordonnées déterminées par les formules
x = rsiniiV^i — iwasin*0> 7 = rcostf cosô, z = rsinÔ V^i — «*sin>M, à la transformation de l'intégrale
Si Ton désigne par x'u, yl, z'u, x'^ y\, z'e les dérivées
partielles des variables x,y, z prises par rapport à u et 8, et qu'on pose
= Xez u—*eT*7 Y=x0z» — xuze, Z=zxByu-^xmfB7
l'intégrale transformée, si Ton suppose r constant, deviendra
= ffaurioy/x* + Y, + Z1
on a d'ailleurs
%s . . , , rm% sinit sinô cosô
^zrrcosaK i — /w1smaa, xA = T
V\ — m'unl
j^i = — r sina cosô,
, résina cosw sinô
V/i — vi*sin*«
Xq = — r cos a sin9,
cos 6 V'i — /i2sinaa>
et par conséquent, en ayant égard à l'équation identique
i — m* ân*0 — n% sinaa == m% cosaA •+- »aco&*«, et réduisant ,
__ r*fànu(mz cos*9 -f- /ia cosaa) Vi — w»*sin*0
1/ 1 — m*sm*6 \/\ — «asin *u
r»(m* cosa ô -4- n* cos %u) cosw cos0 . Y = — v — '
l/i- /w»sin*ôl/i — /iasin*« *
rasin0(macosa0-t-«a cos'tfJV^i — n* sin*â
\/i — /nasina0l/i — »asina«
*/*/ J/i — tfiasina0l/i— -#ta sin*»
Comme nous avons supposé r constant , S représente nécessairement une portion de la surface de la sphère; on
obtiendra la huitième partie de cette surface — en prenant l'intégrale entre les limites o et -; on aura donc
Jf"> /-i /w'cos1!*-*- n* cosa« ^ %
I duAQ = - ;
o «/o i/^i— masinaôW/i — /iasinaa *
cette équation peut encore se mettre sous la forme
r«a /■•» f — m* sina0 — n* sin*«
I I - du di = - ,
»/o i/o \/^i — /wasina0K i — /?asinaa *
et renferme le célèbre théorème de Legendre sur les fonctions elliptiques.
En posant en effet, suivant les notations de l'illustre
a54 géomètre >
CALCUL IMTÉOfclX.
F (m, 0) = f J d° E(iw,0) = fdO\/i—m*m%
Y (m) == f * , dQ 5=,,E(/it)= /*<ttl/i— /w*sin*e,
on aura
/sin'aatt i r„, * -./ %-,
,y = 5 [F(if, «) - E(#i, «)],
l/'i— /t'sin»/* *
r sin*ôrfi î r. • x ,, ,,,
«/ V^i— m,sina0 m
Cela posé, l'intégrale dont il 6'agit se décomposera dans les suivantes
l/i — m*sina6V/i — /t* sin 'it
= Fi/w)E(/i),
J o J o \f i — m* sin *0K i — ** sin 2w
/ia sin 3udud6
J o ./ o ^ i — /h» sin *6 V i — /ia sin1**
et en substituant, on aura définitivement
F (m) E(/i) -h F(/ï) E(iw) — F (m) F («) = -.
Telle est précisément la formule donnée par Legendre. On aurait pu ne pas recourir à l'expression connue de la surface de la sphère ; car la surface S devant être indépendante de m et de n , on pourra faire m = o, ce qui
DlX-ftEUVlfeME LEÇON. a55
lonnen = i,
= r* 1/ * — —===dudbz=r2llc(»udud09
J J V \ —mxéxL%*\/ \ — «••in1!! ;•/•/
et en intégrant entre les limites o et -,
mr*f* macosa0 -h**cos"« /'* / * *
/'»/*« macosa0-h /l'cos'n y
o^o t/i — /wasin'0l/i — ./i*sinaw~ »"
Diverses autres méthodes pour la rédaction ou la transformation des intégrales multiples.
121 . Parmi les méthodes qui peuvent être employées à la détermination des intégrales multiples, une des plus fécondes a été indiquée par M. Cauchy , et consiste à remplacer, dans l'intégrale donnée , un facteur de la fonction sous le signe f par une intégrale définie tellement choisie, qu'après ce remplacement les intégrations successives puissent être facilement effectuées ; entrons à ce sujet dans quelques détails. Considérons une intégrale multiple S de la forme
s = fjj ■■!;***
P, Q étant des fonctions réelles ou imaginaires des variables x, y, z, ... ., et p. une constante positive, ou même une constante imaginaire dont la partie réelle soit positive. Désignons d'ailleurs, comme nous l'avons déjà fait, par T(^) l'intégrale eulérienne de première espèce, on aura (n° 56)
Q/* rW Jo et par suite
vitfCTikME Lsçoar. a57
s =-mfJH- • •""****+*• - •*•
Concevons maintenant que Px, Qx étaut des fonctions de la seule variable x\ P^, Q^ des fonctions de la seule variable y \ Pa, Qa des fonctions de la seule variable z, . . . ,,
on ait
alors en posant, pour abréger,
v = / P, <r-<t*dx, v = J Vje-^t'dr, w = /P, c^-'***,
on aura
/ . f r/*"~,«vw...«/f.
Donc alors si Ton peut obtenir en termes finis les valeurs de u, v, vc>..., considérées comme fonctions dé f, la détertnination de l'intégrale multiple S se trouvera réduite k la détermination de l'intégrale simple
Si, au lieu d'avoir Q = Qx + Q, + Q„ . . . , on avait Q = 1 -f- Qx -f- Q r -f- Q„ . . . , on trouverait
r(t*)Jo
ire application. Supposons
P = xlymz*. . .(Te***. . . ,
Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, les intégrations relatives aux variables x, y, *,..., effectuées respectivement à partir de certaines origines ou limites
fixes x == Ç, y = », * = f , Concevons enfin que la
fonction
i -f- *x -f- fy 4- y*...
T. ii. i7*
a58 C4LCUL INTtaftAL."
offre toujours une partie réelle positive, ee tfm arrivera, par exempte , si les deux limites de chaque intégration étant des quantités positives, chacune des constante» a, 6, y,,., a on une valeur positive, ou une valeur imaginaire dont la partie réelle soit positive, on trouvera
( Vf a — mt
r (*) * * c Jo a — mi b — Ci
On se trouve ainsi amené à cette conclusion remarquable que la fonction S de ar, jr, *, . . . , représentée par l'intégrale multiple proposée, peut être réduite à une intégrale définie simple relative à une nouvelle variable I, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées au* premières variables x9 y, z, ... , ou à leurs origines. '
Si, en attribuant aux constantes a, i, c, . . . des valeurs dont la partie réelle fût négative, on supposait chaque intégration effectuée entre les limites o et oo, on trouverait
et, par suite,
r(/-f-i)r(jw-+-t)r(n+i)... / • t^^e^dt ■
s~ r(/u) Jo (mi-Y+'iCi—by+'bt—cr-*."
Si dans cette dernière équation on remplace J, m, »,. . . par Z — i, m — i, n — i,. . ., et a, i, c, . . . par — fl* — bj — £*•••» e^e donnera
VINGTIEME LEÇON. ïSg
/, GO p 00 p OC jj-t y«-i3«-t ,.-■*, .-*r,j-c» I I ... ' : — dxttydz . .
rf/)P(jii)r(/i) r * t^c-'dt
Cette dernière formule subsistera toujours, d'après ce qu'on vient de dire , quand /, m, n étant des nombres entiers , a, &,<?,....,«, 6, 7, ... . désigneront des constantes positives, ou même des constantes imaginaires dont les parties réelles seront positives.
a"1* Application. Supposons
P r= jr/-« j*-> **-« . . !•-« e"*/ «?""*», et
Q = 1 -+- «* 4- Sx -+• yz •+- . . . ,
/, m, n, . . . désignant des constantes positives, ou même des constantes imaginaires dont les parties réelles sont positives ; et prenons d'ailleurs pour limites des intégrations relatives à chacune des variables #, y, z, . . . les deux quantités o et 00 , on trouvera
c r(/)r(/yi)r(/i)... /" tP-^-dt
' Jola + *tY(b
C'est la même formule que précédemment, mais étendue à des valeurs réelles ou imaginaires des constantes
pourvu toutefois que ces constantes ou leurs parties réelles soient positives.
Si, dans l'équation qui précède, on réduit les variables x, y, z, . . . à une seule, et si Ton pose de plus a = i,
CALCUL MTÉGRAL.
dans laquelle les variables x, y, z, . . . doivent tontes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité
6;+®r+Gy+... <■'■■
a, 6, c, .... ; /, m, n, . . . ^ p, q, i\. . ,y étant des constantes positives.
En effet, remplaçons d'abord f - j par #> ( j ) P*r Ji l-j par *% . . . . , et par conséqiiejit dx9 dy^ dz^ .... par
»* rfr, -y1 dy, -s </«>...,
on aura alb*c
5= ///... iT rv r ...dxdydz=z 8,.
pqr... JJJ pqr...
H reste à déterminer S,, qui est une intégrale de même forme que la proposée , mais dans laquelle x, /,*>••• doivent prendre toutes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité
en posant
il viendra
S, = fff...x*-\rh->z*-...dxdydz....
Quand le nombre des variables x, y, r,... se réduit à Tu-
VINGTIÈME LEÇON. a6l
tégrale
/»qo/.oo^oo dxdych
o Jo Jo '"(i -h*« + 7'-*- «• + ...)*'
Si, dans l'équation qui précède, on réduisait les variables x, jr, z à une seule, et si Ton remplaçait /par a, p par &, on retrouverait la formule connue
/• °° afldx r(a)r(b — a) o {TT*?- r(b)
en faisant b = i et remarquant que Ton a (n° 56)
/^afldx o l 4-x
s^lflîr,
on aurait
ou
r(l) sinav'
sinasr !
et cette équation, en vertu de ce qui précède, s'étend au cas même où a est imaginaire, pourvu que sa partie réelle soit positive.
Si Ton y fait en particulier a = b\/— - 1 , a désignant une quantité réelle , elle donnera
[flc~' °°^a] x) *** J+ [/</"* *™{ahc) ^ï" é"^-** '
122. Par un procédé analogue à celui que nous venons d'employer, on arrive facilement à la détermination de l'intégrale
26a CALCUL IHTÉORÂL.
dans laquelle les variables x, y9 s, . . . doivent prendre tontes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité
GMîMtf
a, 4, c, . . . . ; /, m, n, . . . ; j>, ^, #•, . . . , étant des constantes positives.
En effet, remplaçons d'abordf-J par;?, (jj parjs f - J par *% . . « . , et par conseillent dfo àf^ dis, . ... par
on aura
= fil— * r * ...dxdydz= i
pqr... JJJ ' pqr...
H reste à déterminer S19 qui est une intégrale de même forme que la proposée , mais dans laquelle x, y, z, . . . doivent prendre toutes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité
en posant
il viendra
S» = fff...x*-\rh-lz'-,...dx(fydz....
Quand le nombre des variables x, y, r,... se réduit à Tu-
VINGTIÈME LEÇOA. 26 S
site, on a
Si = jy.,^ = a = r>) a.(.;;
si le nombre des variables se réduit à deux, il vient
S, = r'*»-V£r f '~ "xh-'tfy = r f '.«•"' (1 — *Pdx : nuis (n° 57)
Jo V ' r(i+a + b)'
donc
1 br(i-4-a-+-b) r(i-ha-hb)'
Supposons maintenant que S, soit une intégrale triple ; on pourra l'écrire ainsi
(*) Cette dernière transformation repose sur le théorème bien connu n plis généralement
r(,u -4-n) = (u(/x -f- i)...(^-t-„- i)r(u), qw Ton déduit immédiatement de l'équation fn° 56 )
lOC
•a h dUrtrentiant « fois de suite par rapport à la quantité a. On trou?e • etst de cette manière
/>V-4-ii~lj:..,d!r r(/x-H*')^^(/x-M) (p + n-l)T
(/*)clc.
#»68 CALCUL LNTÊr.ItÀL.
et en ayant égard h Y équation
r(/)r(i— 0=-tV.
et remplaçant m par sa valeur i — /,
Soit/? un paramètre plus petit que p, et faisons k =p— /?; supposons de plus que la fonction F étant une fonction de la somme de deux variables, on ait
l'équation qui précède deviendra
En posant dans cette équation p = oo , et supposant • que la fonction <p (p) s'évanouit pour p = oo , on trouvera
