GK

r est d'ailleurs déterminée par l'équation

/* =r (* — •)> 4-(r— q» -H (z — y)». Cette intégrale sert au calcul de l'attraction de l'ellipsoïde — + ^ + — = i sur un point extérieur ou intérieur.

Comme l'intégrale

i r00 sint* ^

(*)Ona;n°tfH)

sin &x — = - ; o

«Tailleurs, a désignant ainsi que b une constante positi?e, on aura

/*» dx i Z'00 <ir

I sin&rcosor — =- I [ sin (fr + a) x + sin (ft — a) a-] —

Or, !• si & > a, a + ft et 6 — a seront deux constantes positiYcs, cl chacune des intégrales du second membre sera égale a - : on aura donc

/•» dx nr

sinfrxcosax — = -; o x a?

a°. Si fc <. a , b — a sera négatif, mais a — 6 sera positif; la première

ÏJO

CALCUL llTTéûBJl*.

est égaie k l'unité on à %érù, suivant qte là sitîve k est inférieure ou supérieure a l'unité, il suite que l'intégrale S peut être considérée partie réelle d'une nouvelle intégrale

[n—i)Jo u J-a»,/-* J-

ié-

dans laquelle les intégrations par rapport aux

blés x,y, z peuvent maintenant s'étendre depuis — «o

jusqu'à + «0 . Peur obtenir l'intégrale triple relative i

ces vtfrkbks, on exprimera la fraction -^aa ■■ n t par

intégrale sera toujours égale à -, tandis que la seconde, qu'on peut mettre

sous la forme

iy7. *(„-»)£,

sera égale à ; donc

sinArcos<Mr-i- = o.

L'intégrale / sin bx cosox — est donc égale à - ou à o, suivant quel •*

plus grand on plus petit que a.

Si Ton (ait b = i, a = *, la condition b — a > o devient *< i * Pon en conclut immédiatement que le produit

sinxeos&r

est réellement égal à l'unité ou à o, suivant que la constante positif* i081 ktférteure on supérieure k l'unité.

une intégrale définie au moyen de la formule connue «nier (*)

* * t*—**lt - — L£

Dès lors, en faisant

!■• y» a ,.oo

a « 4 /•" «in « /°° — '

— iN, Jo « A

V est le produit de trois intégrales simples dont celle relative à x en vertu d'une formule connue, qui dérive de la formule d'Euler, est donnée par l'équation

E& substituant cette valeur et celles des deux autres intégrales de forme analogue, remplaçant ensuite la variable

iptrune autre 9, telle que t = -, observant que

(*) Nom donnerons dans une Leçon supplémentaire une démonstration > de cette formule.

et posant

C4XCUL Utt*€*AI.«

a»-f- Q b% -+• fl c» -+- 8*

on trouvera, après avoifr diffihrentfëpàr rapport à a, pour avoir la composante A de l'attraction de l^feJUpsoïde parallèle à Taxe des x7

^■v^iJ

Cette expression devant être réduite à sa partie rëeÛe, tout revient à avoir celle de

> — sfaït

Or cette intégrale, en y remplaçant aïiiii p*¥ dès exponentielles imaginaires, sera immédiatement donnée par la formule d'Euler, en ayant soin d'observer que le second membre de cette formule doit* étate Hemplfccé par

lorsque q a une valeur négative. On trouve ainsi qiiè là partie réelle qu'il s'agit d'obtenir est zéro ou

?[ i ]sin —

suivant que £ > 1 ou J < i«

VUIGTIÈMF. LEÇON. 2^3

Si le point (a , 6, y) est intérieur à l'ellipsoïde

on ion

"7 ■+" Âl -*- ^ < « >

I çt par conséquent aussi 5 < i ; on aura donc simplement

/»oo i i-

. vK)(-*J)Kr

Si le point est extérieur, on déterminera la racine positive unique X de l'équation

et Ton aura évidemment â > i ou £ < i , suivant que

0<1 ou 0> A. L'expression de A sera donc

Si dans cette dernière équation on écrit A + 0 au lieu M, et qu'on fasse

, an

fl'+Ara", *' = — , a

ay4 CALCUL tMTfofeÀL,

elle prendra la même tourne que lorsqu'il s'àgïâiail dW point.intérie

H est inutile d'ajouter que le procédé que noua venons d'indiquer s'applique a toute intégrale de même forme que l'intégrale proposée S, quel que soit d'ailleurs le nombre des variables qu'elle renferme.

125. M. Catalan a été conduit, par des considérations géométriques très-simples * à une méthode nouvelle oe réduction qui s'applique à un grand nombre d'intégrales, et notamment à celle qui donne l'expression analytique delà surface de l'ellipsoïde* Reprenons là formule

-/JW-dHf)*- .

A'1 r * ; * et supposons qu'il s agisse de V ellipsoïde — + j- + — = i ,

on aura

^Li

tte C* JE <& C* f

dx^ a1 z ' dy ~ b* i *

Si Ton veut calculer la huitième partie de la surface d^^^ l'ellipsoïde, il faudra étendre les intégrations i foutéa to^^^ valeurs positives de x et de y qui vérifieront la condition^*

Cela posé, admettons que les trois axes a, A, c sont —

gës par ordre de grandeur, de telle sorte que l'on ai^~ '

VINGTIEME LEÇON. 2j5

€ê > b > c, et disons

il viendra

S = abffÇdtdn:

les limites de la nouvelle intégrale seront fournies par la condition

Cette intégrale // ÇdÇdv représente un solide dont 1 elément infiniment petit a pour base le rectangle d\dr\ et pour hauteur f ; elle peut être considérée comme exprimant le volume de la portion du cylindre Ç1 + m* — i , comprise entre les parties positives des plans coordonnés et la surface

Or si, après avoir mis cette équation sous la forme

nous y regardons £ comme un paramètre variable, nous conclurons que tout plan perpendiculaire à Taxe du cylindre, et situé à une distance plus grande que l'unité de l'origine, coupe la surface suivant une ellipse dont l'équation est

Pour f = i cette projection est l'origine des coordon-

Zj6 CALCUL INTÉGRAL.

nées \ et si , à partir de cette limite inférieure, on fait croître £ indéfiniment) on obtient une série d'ellipses concentriques dont la limite répondant à £ = 00, est le cercle Ç1 + w1 = 1 . D'après cela nous prendrons pour élément du volume dont il s'agit le cylindre ayant pour hauteur £, et pour base le quart de la couronne comprise entre les deux ellipses que l'on obtient en attribuant au paramètre £ deux valeurs consécutives £ et £ + dÇ. Cette couronne est aussi l'accroissement, ou mieux la différentielle du quart de l'aire de l'ellipse

comme les axes principaux de cette ellipse sont

le quart de son aire sera

la différentielle de celte aire aura pour valeur^ r/.AB, et

l'on aura

*=Tjy ab =irf[iABc-/rAiwc]

4 Li/(p-w»)(ç»-„.) Ji l/R--«»xç» — ie)J

Les limites dte Ç sont bien Ç = 1 , f = 00, car on a réelle* ment, pour f = 1, | =x o, 7} = o, Ç1 + 17* = o ; pour £ = «S V 4- uf = 1, comme cela doit être; l'intégrale devant s'étendre à toutes les valeurs de £ et de n propres

à vérifier la condition |f + y?' 1 .

L'intégrale double S est donc ramenée à une intégrale simple qu'il s'agit d'évaluer. Pour cela posons

d'où

„ mcosu t

— (Ca— »K' f *' -A du

/l///** — n* sin *i£ i — /i* N

"~~ \ «°a« V//ïf**-/iasma*/

Par ce changement de variable , l'intégrale fonction de f se trouve décomposée en deux autres

/ilu\/m* — *asin2it , x /' rfi*

chacune de celles-ci devant être prise depuis sin m = m jusqu'à sinw = o , ou, en posant m = sin ja, depuis u=fi jusqu'à u = o 5 en renversant ces limites et posant, pour

simplifier, - = À, la différence des deux intégrales devient

/* du\/ 1 — k* sin '/«

i — ri* rt* du fi

et en intégrant par parties,

1 f' gl .. +//icoUt/»-X'sin^ + ^ f* C°S,f<^ */o V i— /ashr« ^ o i/, — fi^ni,

cot«Ki — Xasina«-f - I -^—

mjo l/i — X-' sin '«

CALCUL IWTÉGRAL.

v\/\ — ifsin*!!-!- m f'y/i— k* sin*udu-{-- — f

Jo m J q

ou, en faisant usage des notations reçues,

Vi-^m

m cot «l/i — X* sin*« -h mE(A, ^) -4-

i— wta

Il reste à calculer entre les limites relatives A chacune des variables £ et a la somme des quantités