C'-OC
, mcolu\/ï — Xa sin ***.
En exprimant la première en fonction de u, il s'agira de chercher, entre les limites u = o, sinu = /n, la différence
tV ,. . , m* — sin'« (i — m1 — ii*cos**)sifl
smacos«V//wa — *aain*w cosiik ma — j^sk*!
Cette valeur devenant nulle à la première limite, il faudra seulement y substituer sin u = m , ce qui la changera en
De tout ce qui précède on conclut enfin que la surface . totale de l'ellipsoïde est donnée par l'équation
S = airai |Vr=^V/7^T-|- mE{k, p) + ^F(Ml
OU
;[("' - «') »(*.*•) + **(k9 HJ.
VINGTIÈME LEÇOïl. 2jg
Cette valeur diffère, par les Doutions seulement , de celle qui a été donnée d'abord pat Legendre (t. Ier des Exercices de Calcul intégral 3 p. 109); pour l'appliquer U faut se rappeler que
\Za* — c* c
sinp = m = » cos/* — y
196. Si Ton avait voulu ramener simplement l'intégrale S à une intégrale simple sans descendre jusqu'aux fonctions elliptiques, comme nous venons de le faire avec M. Lobatto, on aurait pu procéder un peu différemment. Revenons à l'équation
s = "jfad*
qui nous montre que S est un solide dont l'élément est un parallélipipède ayant le rectangle d\dr\ pour base , et £ pour hauteur. Appelons À une surface qui ait d\dr\ pour élément ou qui soit déterminée par l'équation
on pourra écrire
S = /ÇrfA.
Comme £, m sont assujettis à vérifier constamment l'équation
(Ç* — ***)? H- (Ca - *")»' = S1 - i, et à satisfaire à la condition
les limites correspondantes de £ seront i et oo; et de plus
— m*dU
i~n*taj i — p*dU dm n dn p dp
128. Les résultats que nous venons d'obtenir ont été déduits de considérations géométriques qui ne peuvent pas s'étendre au cas d'un nombre de variables supérieur à 3, Mais il devait être évident à priori, que toutes ces considérations détournées sont l'expression d'un seul et même fait analytique; c'est ce dont il est facile de s'assurer. Considérons en effet l'intégrale multiple d'ordre n
s = ///...^rfrrf»-V<-^-7.-:^ . ....•
dans laquelle zw, n, p, . . . , sont des constantes positives moindres que l'unité, et jc, y, z, . . . des variables positives liées entre elles par la condition
Posons
i — m aj?a — n* r* — n%z% — ...
i — x% — ra — z1 — . '
et calculons l'intégrale mvlûiplefffdxdydz dan»
laquelle a:, /, z, . . . prennent toutes les valeurs propre» a satisfaire à la condition
-xa
qui n'est pas contradictoire avec la première
i i f1 — /n* attendu que les rapports —%
sont toi
VINGTIÈME LEÇON. a8l
dOQ
t* — m1 F — - ri
et appelons V un volume qui, ayant pour élément dxdydz, est déterminé par l'équation
V = SJSdxdjdz,
S pourra se mettre sous la forme ftdV ; et comme les limites de t sont
1 correspondant à
x* -f- jf* -f- *a = o, x = o, 7 = o, « = o ;
» correspondant à
on aura
dV est une fonction de t facile à évaluer ; en effet, puisque *<» variables positives a:, j, z sont assujetties à vérifier constamment l'équation d'un ellipsoïde dont les axes sont
v ne peut être que le quart ^ ABC du volume de cet ellip- ^ïde, et l'on trouvera en conséquence 2 ^ tdtj/r — 1 / 1 — m* t ~ n% 1 — p*\
^ )/(? — j*>)(f — /!»)(*» —p*) \P — »" + ««-JI«+C- />■/
^t, en posant
^84 CALCUL IBTÉGKÀL.
les limites étant déterminées par l'équation
on aura
les limites de l'intégrale multiple étant données par la condition
Comme on a
fM.F(t) = tV(t)-fF(t)dt9
on peut mettre l'intégrale définie proposée sous une forme plus simple, où il n'y a plus même de diflerentiations à effectuer. Pour déterminer la fonction F Çt) restée jusqu'ici inconnue , il suffit de recourir à la formule remarquable de M. Dirïchlet
JJJ..**-ly*-%z*-l...dxdjr<h... =
pqr.,
mi)-
dans laquelle , comme nous l'avons vu , toutes les constantes étant positives, les variables x, y9 z,...., aussi positives, doivent satisfaire à la condition
(:Mï)'-GK-<-
Pour appliquer cette formule au calcul de la fonction
F(f), a suffit de faire
V t* T-//I* Vf*—*»'' '
on obtient ainsi immédiatement, à cause de et en appelant v le nombre des variables,
et par conséquent
sJ^i fW'— •-—••••'
en effectuant la différentiation indiquée, on aura
Le cas où les quantités ni, m, />,.•• sont égales entre elles doit être remarqué ; on a alors
JJJ J Vi-(j;î4-(r,+z,+...)
iî^j /•"*■(*•- i)*""'*
■NI4--1 /.. ....ir-^"
IV1 f
2 y (*» — /lt>>
En posant
r» ~ i = (*» — m*)m*u9 il vient successivement
* „ t — m*sm*u t — m*
0OS*« CÛt**
, ,sin*« , # , un tutu
v ' ces *ir * ' cos*a
. . • . sinudu\/rV—
rf/t = (i —m*) r
m» sm*«c
