COS*JI
; (7ï=^.- ferrer) =7^?— ,-*/'
Si v est impair, l'intégrale sera réductible aux transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce -, et si * est pair, elle pourra s'exprimer par des logaritlimes.il ne sera pas inutile de montrer comment s'opère cette réduction. On a identiquement, en posant \/i — m,sin*ïî= A,
. sin*- IiwtoA=rsin,"~3tfrf«n sm,~~*acos« x — 7m*nnua**M
d'où
n*ùn,~ludu* = f smr~\du&— -?— / A3 [(> — 4)sinf"5acos »«&— *
= / sinv~*«w/aA— ^— ^ / sinY— 5a</«A-f-^Ç^ / «■* ,/ o o/wa ,/ o 3 t/ 0
ir w
.HZ- / sin'-^wrfaA — ^- / sinv~~liulKA.
$m*Jo o Jo
vtfttotikfe LÉçèil. iS>7
!ette équation donné, en posant, pour abréger,.
i°. Si v est impair, on a
en partant de ces valeurs, on calculera facilement A4, a°. S v est pair, les termes initiaux de la éérie seront
A, = / shiM/«V^i — w*sin,«>
^3 = 1 sin'tu&Vi — m% rin* u !
Pour déterminer ces deux intégrales, posons
C0SB = f.
La première se change immédiatement en
en faisant "~ = n*. Or, on a m*
28S donc
CALCUL IJfTÉClUL.
Jo y, a a \ n J
La seconde intégrale se transforme successivement en
1=1 sin«(i — cos*«)^a\/i — /»*sîn*w=Ax — m I JÇ*djc\/â^-
Jo " «/o
mais l'intégration par parties donne
et enfin
" 8ro* "+" "^ cW
Les deux premiers termes de la série étant connus , on» calculera facilement les suivants.
Dans le cas particulier où m = o, on aura
et par suite
J.U" v/i— *>— r*— 5*-. w /f+ix1
rl~J
Dans cette intégrale les variables sont positives et satisfont à la condition
129. La méthode de réduction qui précède peut être présentée sous la forme générale suivante. Supposons, i° que l'intégrale proposée soit
S = ///. . . dxdy dz. . F(x9y, z,...)F[/(-r, r, *,...)];
2? que les v variables «r, j , z, . . . , positives, pour plus de «implicite, doivent toujours satisfaire à la condition
3° que la fonction f(x, yy z>. . .) soit de telle nature qu'elle prenne dos valeurs déterminées et connues f0, T, quand on fera
4° que de plus l'intégrale
///... dxdydz...F(x,jr, ;...), prise entre les limites
soit connue et égale à f (/) :
T. ii. iy ,
- ago calcul i*TÉG*àL.
5° qu'enfin la seconde condition
n'étant pas contradictoire avec la première
en faisant varier / depuis t0 jusqu'à T, on reproduise tous les systèmes de valeurs x, y, z, . . . , satisfaisant à la première , on aura
Jt0 K' dt
Ce théorème deviendra évident si on répète, sur ce cas général , les raisonnements déjà développés sur un exemple particulier.
Pour premier exemple , considérons l'intégrale
S = ///. • dxdydz . . *p-«j</-
dans laquelle les quantités />, ^, r,..., a, 6, 7,... sont des constantes positives quelconques ; a, &, c, . . . des constantes moindres que l'unité; m une constante positive plus grande que 1 ; et x, y, . . . des variables qui peuvent recevoir toutes les valeurs positives compatibles avec la condition
Sx+y£ + z> +.,
Si Ton fait
î — ax — ùjr^ — cz> — ...
VINGTIÈME LBÇOH* agi
les limitas étant déterminées par la condition
-ou
vviS/ \\/Sj
on aura
puis, par le théorème de M. Dirichlet,
0 — ^rr. r(.+W+..J .
,=tï;
<fr(?)-
./>[(sf(s)!,-4
Si les «onstantwa, ft, c.., sont égaies entre elles, on trouvera, en posant, pour abréger, tm=0, -4-=H — . . . = A,
dxdydi'. . . xP~')l~' s1-'
j'i-«(r'-r-yt-Hs>^....)1"' ,
CALCUL INTÉaRAL.
Si dans cette dernière a est nul, le second réduit à
-Cy...r(v)
en posant
l'intégrale se transforme en
donc
/»r /* dxdyd*...arm%y*-xirt = y m) \*/\c) La condition aux limites est toujours
Cette dernière équation se déduit immédiatement dit théorème plus général (n° 123) démontré d'abord par* M. Liouville.
Pour donner un exemple numérique , prenons l'intégrale
dans laquelle les v variables sont positives et assujetties m
VI9CTISME LEÇON. *g3
vérifier la condition * *
On peut évidemment la mettre sous la forme
S—fiY fff dxdydz... /\-{x+y+z+..) ""U; JJJ "v l/^i" V ^(x+jr+i-K..)'
x, j% 2, . . devant satisfaire à la condition En employant la formule générale on obtient
Or en posant
t = 0\ et ayant égard à la relation
K-o-v-'-Wr
on trouve
fi — t j r» t*dt çtp dt
V i -+- / "" J0 \/T^? Jo v/i— ^
.KHHi)vKiHL) ■■
donc
KO l '(H '(H)J
De cette équation , jointe à la relation connue
p<»rw=i.;ï'
on tirera successivement
130. Pour mieux faire connaître les ressources nouvelle» que ces procédés ingénieux ont créées à l'analyse, reprenons encore, avec M. Catalan, l'intégrale d'ordre w,
S = ///... dxdydz...,
et supposons que les limites des intégrations soient déterminées par la condition
x1 ra z2 <
en supposant, i° que les variables ne reçoivent que des valeurs positives -, i° que de plus les constantes ft, a, i, c,.«.
VINGTIÈME LEÇOIf. 1$5
sont inégales et telles que Ton ait
Pour effectuer l'intégration, substituons aux variables x, yf z9 . . . , n nouvelles variables X, a, v, . . . , liées aux premières par les équations
Lorsque n = 3, ces équations sont celles qui servent à passer d'un système d'axes rectangulaires à un système de coordonnées elliptiques.
Pour déterminer les limites de ces nouvelles variables, il faudra assigner aux anciennes des valeurs arbitraires satisfaisant à la condition
x» ra z* <
puis, en désignant par A1 la valeur positive et plus petite que l'unité que prend alors le premier membre, résoudre Féquation
Les n racines de cette équation seront les valeurs de X*, jx1, v1, . . . , correspondantes aux valeurs choisies pour x1, j*-1, z1, . . . . Si , par exemple , n = 3 , et si x, y, z sont les coordonnées rectangulaires d'un point compris
3J|6 CALCUL tftTÉGlUfu
dans l'ellipsoïde représente par 1 étfiiatkm
les trois racines de l'équation en t seront les: carrés de» coordonnées elliptiques de ce point, ou les carrés des paramètres des trois surfaces orthogonales qui s'y croisent.
On prouve facilement que l'équation en t a ses racine* réelles (*) et inégales ; et Ton démontre ainsi la possibilité
(* En effet, si, comme on Ta suppoêé, les constantes «, &, c,. . . satisfont la condition m > * > c,. . ., il su Ait de poser successivement dans» ré*|oation
i=— oo, *=<!• -f-t, i = A* h- i, /=:ci+t,..., * =oo;
« désignant une quantité positive et infiniment petite; puis d'observer les signes que prend le premier membre de cette équation pour affirmer <}uo les limites des racines a*, yu*, ?",... de cette équation sont a* et e% 6* et c1. .... oo. Si a la place de h* on avait rais -h &', les limites des racine*, eussent été — oc et «*,/»* et o', .. . ft* et **.... Pour démontrer la réalitédes racines de cette équation, M. Plana a suivi une autre marche qui consiste à poser
par cette subslilutioiu^èqualion proposée se décompose da us les deux suivantes
— 6*yS-t- *S
-c»)'-f-bJ
Or la seconde exige évidemment que l'on ait 6 = o, c'est-à-dire que la racine i soit réelle. La première de ces méthodes, comme l'a fuit observer M Liouvillc, parait se prêter difficilement aux équations transcendantes , ou, ce qui revient au même, au cas où le premier membre, devenu une série convergente, renferme un nombre infini de termes ; on a en effet besoin, pour remployer, de savoir, à priori, que l'équation dont on s'occupe n'a jamais plus de n racines. II faudra donc recourir à Parti* fice ingénieux de M. Plana si le nombre h est infini ; l'équation peut alors 50 mettre sous la (orme
Vingtième lecok. 297
du système de transformations de coordonnées employé ici. On sait de plus que les racines X* , f*f , v% . . . de cette même équation satisfont à la condition
£0 faisant
(«fl ei/-i)=A%
«Ton Pon déduit
Or la seconde de ces équations est absurde, à moins que Ton n'ait 6=0, e'est-à-dire à moins que la racine 1 soit réelle. Donc l'équation proposée sa pas déracines imaginaires. Pour prouver qu'elle n'a pas non plus de fseiaet égales , il sufliru d'ailleurs d'observer que l'existence d'une racine réelle multiple entraînerait celle de l'équation absurde
Ls démonstration précédente sYlend d'elle-même au cas où l'équation donnée deviendrait
/(1) étant non plus uue simple constante, mais une fonction telle que la quotité
» ràhUse à la forme
Ait fi désignant des quantités réelles: cette équation n'aurait alors ni teiaes imaginaires ni racines égales
fa peut conclure de ce que nous venons de dire que si F (1) est une battis* algébrique ou transcendante décomposabte en facteurs simples *■» la forme
o« *, «, by c,... désignent des constantes réelles quelconques, et ni, n, /'..••
on aura
300 CALCUL IHTiGRAL.
de variables indépendantes
dxdydz. . . = **«».. .ehdpdt. . . \^\ A Af,
S=/ f ! . ..dxdpd*. . .^.•.y/a^A^A,
D'un autre côté, si Ton applique à l'intégrale S, prise sous la première forme, la formule de M. Dirichlet, on trouve
O-i/sY .
S=— Li/ïïrZ7a*)U*— b*)(A'— C).
donc
/Vf-
.XdA.ftdp.td,... \AX^A,,.
Cette formule est susceptible de simplification : en effet 9 toutes les différences telles que A* — jx1 se trouvent évï~ demment élevées au carré sous le radical du premier r membre ; on aura dès-lors , sans ambiguïté de signes ^* sans imaginaires ,
r*f'r...*fe^..*...££^l,
J aj aj b y/D^D,
P indiquant un produit de facteurs de même forme qi*-*5 celui qui suit cette caractéristique , tandis que , en dés* -~ gnant par m la constante qui dans la suite a, 6, c, . . occupe le même rang que a dans la suite i, f*, *,. . - *
VINGTIÈME LEÇON. 3oi
D«- représente le produit
h^(».^)(l--H)...(l--#»)(#»-mO(t*-ii»)(^-p%.(^--rJ.
Si la dernière constante t* était nulle', alors le facteur o* — t* de Dr, se réduisant à a*, détruit le facteur a qui se trouve hors du radical sous le signe d'intégration , et Von a
JkJmJl
. • .dXdudf. . . —
- / .-*v/(*,-«')(*,-*')-(*'-*'), r(,Hr)
ty étant égal*
En prenant dans cette formule n = 3 et calculant r(£)au moyen de l'équation bien connue
qui donne successivement
r(n-i) = r(i) = ir(i) = ii/1T,
on retombe sur l'intégrale triple donnée d'abord par ML. Lamé.
3«2 CALCUL IBTÉGKAI-,
VINGT-CNIÈME LEÇON.
Leçon supplémentaire sur le passage da réel à l'imaginaire dans la recherche des intégrales définies.— Détermination de quelques intégrales particulières.
131 . En exposant le procédé si ingénieux appliqué par M.Lejeune-Dirichlet à la réduction de certaines intégrales multiples, nous avons été forcés de recourir à une formule très-remarquable donnée d'abord par Euler, et démontrée depuis rigoureusement par Poisson. La démonstration de Poisson, longue et difficile, s'appuie sur l'intégration d'un système d'équations simultanées , ce qui est réellement un chemin détourné. Pour remédier à cet inconvénient et ne pas renvoyer à la seconde partie du Calcul intégral la recherche d'une intégrale définie, nous avons été amenés à exposer avec quelques détails , dans une leçon supplémentaire, deux des Mémoires de M* C&uchy; ce sont peut-être les plus remarquables et les moins connus. L'un, ayant pour titre .Mémoire sur les intégrales définies, fait partie des volumes de l'Académie des Sciences ; l'autre sous le titre : Recherche d'une formule générale qui fournit la valeur de la plupart des intégrales définies connues et celle d'un grand nombre d'autres, a été inséré dans les Annales de M. Gergonne. tomes XVI et* XVII. On trouvera d'ailleurs dans cette
VINGT-UNIÈME LEÇON. 3o3
ton, et les vraies bases du passage du réel à l'imaginaire , %^Jiin procédé très-ingénieux et très-général pour la déjrmination d'une multitude d'intégrales définies.
Soit F(z) une fonction quelconque de la variable z, et
«pposons que z soit lui-même une fonction de deux au-
jes variables x et y, les dérivées de l'intégrale fF(z)dz
frises tour à tour par rapport à x et à y seront respect!-
^yement
La dérivée du second ordre de cette même intégrale, prise ~ par rapport aux deux variables xety, sera ou
D,.F(s)D,s, ou
D,.F(*)Dr*,
et Ton aura par conséquent
D7.F(*)Dxz = Dx.F(z)Dfz.
On veut vérifier directement cette équation en effectuant les différentiations indiquées : elle est identique ou subsiste quelle que soit la fonction de x et de y que Ton prenne pour z ; elle subsistera si Ton suppose cette fonction en partie réelle et en partie imaginaire. Ainsi , par exemple , si u et f désignent deux fonctions réelles quelconques de x et dey, on pourra faire
"alors , si Ton suppose
F (a 4- pV^^x) =U -h Vt/^7,
3o4 CALCUL INTÉGRAL.
du dv du dp dx dx dy dy
'd» du dv du dx ilx ' dy dy
L'équation
D7.F(*)D,« = D,. ¥(z)Drz
deviendra
dy dy dx dx
et se partagera nécessairement en deux autres
sdy ~ dxy
rfR
' dx'
On peut encore vérifier immédiatement ces deux équations en différentiant ; elles renferment toute la théorie du passage du réel à l'imaginaire. Il ne reste plus qu'à indiquer la manière de s'en servir. Multiplions les deux membres par dxdy, elles deviendront
ilxdjï = dydtQ , dx dfK = dydxS.
Si maintenant on intègre par rapport à a: et ky, entre les limites r0, X, jr0, Y, Tune des intégrations s'effectuera toujours ; et si Ton désigne par P^, PY, Rra, RYl Q*o Qx> Sx0, Sx les valeurs des fonctions P, Q, R, S correspondantes à jr0, X ouj<0, Y, on aura
/'x rx /Y /Y
/ Pidx- P,odx=j QKdy-j ^dy,
rx ;»x /«y r\
/ RY^-/ KXodx= S^dy-f SXody,
en supposant toutefois qu'entre les limites des intégre»" tions les fonctions P, Q, R, S conservent toujours om^ valeur déterminée.
VINGT-UNIÈME LEÇON. 3o5
Si l'on fait
cl si Ton représente par p et r, q et s les valeurs que prennent les fonctions P et R pour y = o, Q et S pour x = o , il viendra
Jo i/o t/O i/o
i32. irc Application. u = xy v=zyï on aura
</tt du . dv dv
Si Ton fait de plus
on aura
p = tv, q=—Vy r=o, s=Uy
et par suite
Jo t/O t/O
Ces deux équations peuvent être remplacées par la seule formule
f F (x + r V— i ) à-fF (*)/& »/o i/o
^,/^[irF("^rv/=rT)rf-r-jrF(-ri/:=rr)'(r]-
3o6 CALCUL IOTÉGIAL.
Exemple: Faisons
on aura
U = e**e~* cosaxjr, V= — */1«r-*i sinaxr,
«* = *-*•, U=e?9 r=o, et par suite
^r1 I *-**cos 23y£ir — er** I e/*siii2xr<Jr =s I tr~*dxy
eJ* f er9* sin 2*^** -+- r^ f e? co$2xydy = \ei*éy. J o Jo ' i/o
Si Ton suppose infinie la seconde des limites a?, les deux, quantités
e^ / eï% sinzxydy, e—x f- eJ*CQSZxjdjr, s'évanouiront , et Ton aura simplement , en faisant y = a,
/ tr*% oo&zaxdx^e-** f ir*x dx = ±w*er—\ J o. ./ o
I e~*% sin laxdx = ^-flt / ***d!r.
2me Application. u = ax, v = xy^ a étant une quantité constante, on aura
u -+- v v/r=ri = f («+ *r y/^i),
du
dP
dx = °> di^y
du
dv
> Ty=°> ç=*'
Si Ton fait de plus
VINGT-UNIÈME LEÇON. ZûJ
on aura
p = au>, y = o, r=o, x=o, £ = o, à moins que k ne soit infini. Cela pose, on aura
Jo t/O Jo Jo
y f'vdx+a f'ydx^x l'iJdy.
Jo Jo Jo
Ces deux équations peuvent être remplacées par l'équation unique
ia-hyV/^i) f * ?(ax+xy\/^ï)dx —a \X]?(ax)dx
v ./ o Jo
= x\/~\j Y(ax-hxy)/^ï)dy;
on pourra encore donner à ces deux équations la forme
fto = — ï— - \y f'udy - a f'wdy ] + -- -£- / * ««fcr, Jo «"-h/M-t/o Jo J a* + y\lo
Si la valeur extrême de x est telle que les deux quantités xU, xS s'évanouissent quel que soit y, on aura
x Fvdy = a: /^Vrfr = °> Jo Jo
et par suite
/•x a fx
atvdx.
-y9Jo
En faisant y=b, ces deux équations pourront être rem-
3oÔ CALCUL IirriGftAL.
placées par l'équation unique
(a+b\/^ï) £Y[{a + b\/^)x]dx= f*aY{mx)d*.
Dans un grand nombre de cas, U et V s'évanouiront ptr la supposition x = oo ; on aura alors
[a + b l^)^ [{a + b\/^)x]dx = (°F(*)«fc.
Si dans ces équations on suppose
n étant un nombre réel quelconque, on aura
F [(a -+- b\/^\)x] = (a + bl/^Ty-*x^'f(ax-h bx\/^\\ et en posant
a=rcos«, b = rsinb, « -+- &V' — i = r (cos « -f- V/ — i sinC),
(tf -h b\/~\ y-* = /•■-' [cos (ii — i) « -f- l/-^7sin(/i — i)*]f et par conséquent
/ ^"'/[KcosrtH-l/^sinC)*]^
cos a* — V^ — i sro/iae . „,
On a (Tailleurs a* + 6* = /^, a = arctang -, cette nol
tion désignant toujours le plus petit des arcs qui a pour tangente $ et si Ton fait
/[r(cos* -+- W— i sino).r]=U-f- Vl/^7,
VIHGT-UIHIÈME LEÇON. 3o£
rette dernière équation équivaut aux deux suivantes
(a* -h b*)* i'r Exemple : Posons /(jc)= e~x, il viendra
I j*-« tf-« (oo^^x +. l/^T tinàr) dx
Si Ton observe que l'intégrale
/ a"-% eT'dx
est précisément celle que nous avons désignée par la notation r(n), la première de ces équations deviendra
en faisant a = o on aurait
« = arc tang oo = - , r=bf et remplaçant alors n par a, on aura
jV.^ = ^rWî c'est précisément la formule d'Euler: elle équivaut aux
3lO CALCUL ÏKTÉOaAL
deux équations
1 sin hxdt =:
En posant dans la formule d'Euler jc = (y + G)*, n = J, et ayant égard aux équations
""^^^pf r(')=,/;'
on trouvera
C'est la seconde formule employée par M. Dirichlci (n° 124).
2me Exemple: SI l'on faisak/(x)==e-fj+*'\ on aurait
V = — ****'- C« +r)« sin a^ (OT+ e},
/^.«AV-c-. + ^Miaè,^ + f)rfr=J?*!:;;j,V.^/,,*J
(a* H- &')â (~ *-*<P*-<-+*)*m*bx (ax + c)dx = *"""* ./Vw'jT^
1 33 . Nous ne pousserons pas plus loin l'application de c^** principes. Passons à la recherche de la formule génér^*^ qui fournit la valeur d'un très-grand nombre dHntégwi^^6* définies.
Supposons que la fonction
VINGT-UNIÈME LEÇON. 3ll
s'évanouisse, i° pour x = ±l oo, quelquesoit y\ a°pour y = oo, quel que soit x, et conserve une valeur unique et déterminée pour toutes les valeurs de x et de y renfermées entre les limites
x=— oc, j7 = -f-oc, y = o, jr=<X'9
si après avoir cherché les racines réelles ou imaginaires
de l'équation -— r- = o , on désigne par xu xt, xu . . . .
celles de ces racines dans lesquelles le coefficient de k—-i est positif, et par Ft, F„ F», les valeurs que reçoivent les produits
• F(*,-+-i;, iF(j,+ i), iF(r34-i),..., % lorsque e se réduit à o ; alors, comme nous l'avons vu, en
posant
a =z 2* (F, h- F, -4- F3 +...)l"/:r>"> on trouvera •
Comme cette formule fournit les valeurs d'une multitude d'intégrales déGnies , il ne sera pas inutile d'en donner une démonstration directe. Elle se déduit très-facilement d'un théorème que nous allons établir en peu de mots. Si l'on désigne par F(x) une fonction telle que l'expression F(x -\-y \S — i ) s'évanouisse , i° pour x = ± oo quel que soit y\ 2° pour y = oo quel que soit x, et demeure toujours finie et continue entre les limites
x = — oo, 4? = oo; j=o, / = oo ;
et si de plus on nomme F la limite vers laquelle converge le produit x F(x), tandis que la valeur numérique
3ia calcul inréuAL*
de x devient infiniment grande, on aura
