J -OD

Démonstration. Pour établir ce théorème, nom cher» > cherons d'abord la valeur de l'intégrale

On a généralement

D7F(x 4- r V/=r0 = V^^ DJF (x -h y |/=7) :

et si Ton intègre les deux membres de l'équation précédente, par rapport à X et à j, entre les limites,

ar=— X, x = 4-X; /=o, / = oo,

on en tirera

— X «/ O i'Oj-A

puis, en ayant égard à la condition F(ar+ ooV^ — i )=o,

+ F(*)<£r =-1/=^" / [FlX-hrl/^-FC-X-h/V^

Si maintenant on attribue à la quantité X une valeur très-grande , on aura successivement

-rl/^)F(x+/v/^)=(-X4-rV/^^)F(~x-hrV/::

et par suite

F(x-i-jri/r7) =

F(-X-hr»/Z7)=:

F -X+rV/^Z'

VINGT-UNIÈME LEÇON. 3lî

d'où

i/o XH ra

Cette dernière équation deviendra rigoureuse si Fou pose X = oo, et Ton aura

/°° V(x)dx = — »F V/— i.

-oo

Observons, toutefois, que si l'intégrale définie / F(x)rfr

est du nombre de celles dont la valeur générale est indéterminée, la formule qui précède fournira seulement celle des valeurs particulières de l'intégrale que nous avons désignée sous le nom de valeur principale.

Corollaire Ier. Lorsque la quantité désignée par F s'évanouit, l'intégrale proposée n'admet qu'une seule valeur qui se réduit à zéro, en sorte qu'on a

! Y(x)dx=o.