J —CD
Ainsi, par exemple, si l'on prend
on trouvera
/,flD cosajr-f-V/ — i smax , /'a dx
| dx — c'" f = o,
et par suite
CÀLCLI. INTÉGRAL.
cosax
— oo l-f-x1
dx
dx
sinor ,
rix= o.
Corollaire 2mc. Si Ton désigne par F(x), ^P(x) deux fonctions qui , considérées isolément , ne vérifient pas le* conditions énoncées dans le théorème , mais dont la différence F(x) — F(x) satisfasse aux conditions dont il s'agit -, alors, en représentant par F et F les limites vers lesquelles convergent les produits x F (x), xF{x)^ tandis que la valeur numérique de la variable x croit de plus en plus , on aura évidemment
f [F(x)~ F(x]\dx = *{F — Y)\/ ~7,
et par suite
l<*l{x)dx = |'%(x)ir + f(f-F)l/-i.
Les intégrales comprises dans cette dernière formule, doivent encore être réduites à leurs valeurs principales. Si la quantité F s'évanouit , on aura simplement
, OC / » ^C y
/ Y(x)dx=f F\x)dx + xFV — \.
Corollaire 3mc. Supposons que l'expression
s'évanouisse toujours, i° pour x= ±i oo, quel que soit/j a° pour y = oo, quel que soit x, mais devienne infinie pour un ou plusieurs systèmes de valeurs positives ou
V1NGT-UMÈME LEÇON. 3l5
négatives de x et de valeurs nulles ou positives de y. Alors, pour déterminer l'intégrale / Y(x)dx, à l'aide
de la formule donnée , il suffira de trouver une fraction rationnelle de x telle que la différence F (x) —F(x) remplisse les conditions énoncées dans le théorèmeT Considérons d'abord le cas où l'expression F (x -+- y V — i ) devient infinie pour x = a, y = b , h représentant une quantité positive ou nulle. Faisons, pour abréger,
et désignons par F, la limite vers laquelle converge le produit (x — x,)F(.r), tandis que le facteur x = xx converge vers zéro : la différence
F (x) - Fi - = (*-*-)*>; - F*
x — xx x — .r,
obtiendra en général une valeur finie pour x = X\ \ et si
entre les racines de l'équation — — - = o, la racine xt est
la seule dans laquelle le coefficient de V" — i soit positif, cette différence remplira les conditions énoncées dans le théorème. On pourra donc prendre
Cela posé, on trouve, i° F = F, \ 2°. Si b est nul ,
/' %(*>& =F, lim pX *!*L = Fi ,im ;. , ( '|zify =
et si ft est positif,
3l6 CALCUL INTÉGRAL.
on aura donc, si b est nul ,
si b es^positif ,
f ^ F{x)dx = %F\/^l\
f F(x)dx = i*Ft\/— ~i
Si b devenait négatif, on devrait prendre F(x) = o, et Ton aurait, en conséquence,
J F(x)dx = o.
134. Pour établir les formules qui précèdent, nous avons supposé que le produit (a: — xt) F (x) convergeait vers une limite finie F, , tandis que le facteur a: — xt s'approchait indéfiniment de o. Supposons maintenant que ce produit ait une limite infinie, et que dans la suite
(* — *,) F (*), (* — xJ-Ff*),..., (x — x^F(x)f
le terme (x — jCi)wF(x) soit le premier qui ait une limite finie ; alors , si Ton pose
(x-xiy*F(x)=f(x)=f(xl) + J^^r (*,)+--.
la fonction <p(x) conservera , en général, une valeur finie pour x = xt et remplira la condition énoncée dans le théorème. Comme on aura d'ailleurs
c (x — xt)m~l 1.2 (x — x,)""1
i ,2.3. . .(m — i)x — xx*
VINGT-UHIEME LEÇON. 3 tj
il est clair qu'on pourra prendre
'W— i (x — x,)"-' i.a (*— xO"
En adoptant cette valeur de F(x) , on trouvera
/(-'(x,) ,-i.a.3...(flt- i)'
et par conséquent l'équation
f J(x)dx = f^F(x)dx + w(F, — F,)\/^, continuera de subsister pourvu que Ton suppose
Ft = ^")(x,) v = lim =-L : D^>-*,)-F(*).
On trouvera encore dans cette hypothèse , i° lorsque b
étant nul, les expressions
se réduiront toutes à zéro,
/ F(x)dx=zo', J — oc
a° lorsque, b étant nul, quelques-unes des mêmes expressions obtiendront des valeurs différentes de zéro,
I ¥{x)dx = ± oc ; «/ — -oo '
3° lorsque A sera positif,
/ f(jr) <£r = îir *\ l/— 7.
*/ — oo
Par suite , les formules f ¥(x)dx = nF.l/— 7 ou
J — oc
;. oo F(x)<*r= wF,V<=7
subsisteront si la racine de l'équation =7-7- = o est une racine imaginaire dans laquelle le coefficient de V — 1 soit positif, ou une racine réelle pour laquelle les expressions /('»-*> (X), / <— 4> (jr), /<— •> (x)9... s'évanouissent.
Si dans la racine xu le coefficient de V- — 1 était négatif, on retrouverait la formule
r oc
I Y(x)dx = o.
Si l'équation — - — = o admettait plusieurs racines .r,,
jrt, x9, . • . , alors, pour obtenir la valeur de F(x) propre à remplir les conditions prescrites, il suffirait d'ajouter ensemble les valeurs de F(x) correspondantes à ces diverses racines.
135. Les formules qui précèdent réduisent la détermination des intégrales qu'elles renferment à la recherche
des racines de l'équation — — = o.
La formule
/ F(x)dx = A
peut d'ailleurs, si Ton veut, être remplacée par la suivante
f'00 F(x)-hF(-*)^ -a 2
!dx :
Supposons , pour fixer Jes idées , qu'on ait
VINGT-UNIÈME LEÇON. iig
9 00 » X (y) » ^ (1V)> désignant des fonctions rationnelles des variables it, p, tv, . • • , et m, p, w, . . . , /Tx) représentant des fonctions de x qui restent complètement déterminées dans le cas même où , après avoir remplacé x par x -r-J" l/ — i , on attribue à x une valeur réelle quelconque, et à y une valeur réelle positive. Concevons d'ailleurs que la fonction /"(x) ne devienne jamais infinie pour aucune valeur finie , réelle ou imaginaire , de la variable x \ pour obtenir les racines de l'équation =y? = o , il faudra d'abord chercher celles des équations
dans lesquelles les fonctions <p (a), x(p), ^ (iv), . • . sont, par hypothèse , rationnelles. Supposons ces mêmes équations résolues, et soit h + k V — i une de leurs racines, on n'aura plus à résoudre que des équations de la forme
chacune d'elles fournira une seule racine , dont il sera facile de fixer la valeur, si Ton a pris pour u, p, u>,... quelques-unes des fonctions
____, l(,xl/-,), i^ + .i^z-.j,
1 [r sind -+- (r cosO — x) \/— i] ,
r et 5 étant des quantités positives et 0 un arc compris entre les limites o et tt. En effet , en posant , pour abréger,
f = (A» + **)■, * = arctang7,
3aO CALCUL INTÉGRAL.
on trouvera pour
i-f-XK — I 1 — x\f — I
pour
-ii x
2f> cos# 4-(i — f)\S--î.
pour
1 (r x y/=ï) = â + * V^— i, * = — <y*sin*-h(e*cos* — r) \/ — i; %
** sin* — (d* cos* — i) V — i
et ainsi du reste.
Si Ton prenait pour u , *>, w, . . . quelques-unes des fonctions
sinkr, cos**, e*9 e^^^1, *(• + * V^)*, lO+^'V^I), l(i-«**/=:ï),...,
a , & désignant des quantités quelconques , et r un nombre inférieur à l'unité, chacune des équations
ëW = °' PW==0,•'•
aurait une infinité de racines. Ainsi , par exemple , en représentant par n un nombre entier quelconque, on trouverait, pour sin bx = o ,
x = 0, x=ZÎ2-j-,.. ., -* = :£-£-;
pour cos ix = o ,
, y j 3jt .. (2/1 -f- 1
VINGT-UNIEME LEÇON. 3a I
pour ebr = h + k l/^i ,
pour e(« -+- *> l/^T)* = h H- A l/^Tï,
Alors la somme désignée par A se composerait, en général, d'une infinité de termes, et par conséquent l'intégrale / — — dx se trouverait représentée
par la somme d'une série infinie.
136. En ayant égard aux diverses remarques que Ton vient de faire, on déduira des équations fondamentales une multitude de formules générales propres à la détermination des intégrales définies : nous nous contenterons d'en citer quelques-unes. En désignant par r une quantité positive, et par m un nombre entier, on établira sans difficulté les formules générales
J o * xa-hr»a \ '
,ÎDFfj)-F[-j:) xdx
a*-+-rJ
: = =F(rl/=7),
T. ii.
ai
— oo r x\/—
dx =. o,
dx = a»F \j\/ — i ),
— dx = o,
-cd(m-*i/^i)" V r(«)
rfr""4
Soit maintenant <p(x) une fonction rationnelle de la variable #, et concevons qu'après avoir calculé les diverses
racines de l'équation — pr = o, on représente par
Tune quelconque de celles dans lesquelles le coefficient de \/ — î est positif. Soient de plus n le nombre des racines égales à h -+- k V — i, c une quantité infiniment petite, et H„, Kn deux quantités réelles déterminées par la formule
H. 4- K, \/=[ = x 2 J nT>] [.»*(* + k v/=7 + ^
qui deviendra simplement
si une seule racine est égale à h -f- k \/ — i . Soit enfin f (x) une fonction telle que l'équation
n'admette point de racines dans lesquelles le coefficient de v— ï soit positif, ou du moins qui ne produise dans
VINGT-UNIEME LEÇON. 3a3
la valeur de A que des termes dont la somme se réduise à o;on tirera de l'équation
^(x)f(xVic=(K»I-H.,)f (A-l-/l/=7) + (K.1- H,,)f^/<+*t/ED...
