OC I

les expressions K — HV^ — i, K, — Hjl/ — i...., devant être réduites à moitié quand la quantité k devient nulle. Ainsi, par exemple, a, £, r désignant toujours des quantités positives, h -f- k V — i une des racines inégales de l'équation

w el p ce que nous avons déjà vu, on aura

(-, i^T)->(*)& = - a»[(K-H^) (*- A l/ZT)-1 +...], ^^^(x)rfx--!iir[(K— H l/^)*-^(cosM-hV/^sinM) + . . .)],

Chacune de ces formules se décomposera en deux équations réelles, lorsqu'on égalera séparément à o et les parties réelles des deux membres , et les parties multipliées par \/ — i . En opérant ainsi, et prenant pour y (a) une fonction réelle, on obtiendra une multitude de formules parmi lesquelles nous citerons les suivantes :

ai . .

1 cosùxç(x)dx = — ^[(KcosM-f- IlsinM)*-" -h . . . . ], I sin^jr^(x)i£r = — ** [(Ksinb/t — H cosM)*-** 4- ].

Si maintenant on attribue aux fonctions F(x), f(jr), ç(x), ou bien aux constantes a, 6, r, . . . . des valeurs particulières, on déduira des formules générales la plupart des intégrales définies connues , et une infinité d'autres nouvelles. En voici seulement quelques-unes :

* x«~xdx

= a-cot/ï»,

aw

/Tr£? <">■*=

*/wséc 1 dan

f , rd* x , /' °° . f xtlx x L

I cos bx = - c~,,r, J sm bx = - r~*\

xtlx

xtlx

i'w rdx x . / . t •*«■* «r

I cos&.r = sin £>/•, I sin for = -

a sin bx r*dx x ,

= Tri— r-^'

137. Nous avons vu que lorsque la fonction F(x-f^> l/ — 1) s'évanouit pour x = ± 00, quel que soit ^, et pour

vihgt-unième leçon. 3a5

Y = ± oo, quel que soit jr, on a A = o* Jflors si l'équa-

lion-. N = o a une infinité de racines, la formule

À = o renferme un nombre infini de termes , et peut être appliquée à la sommation des séries. Ainsi , par exemple , si Ton prend successivement

v ' x ' %m*x v ' ■ 'suive

r désignant un nombre entier inférieur à*ir, etf (x) une fraction rationnelle dans laquelle le numérateur soit d'un degré plus petit que le dénominateur, on déterminera immédiatement , k l'aide de l'équation A== o, les sommes des séries

7*(°) — - 'cosr-*- — - 'cosar — etc.,

i i £ smr + -*-*■ - sin 2r — etc.

Si Ton fait d'ailleurs

m étant un nombre entier quelconque, Tare s restera entièrement arbitraire, et ces séries deviendront

7f (o) -h v ' v ; cosj H- V ; l 'cosa*4-et«.t

^-^ — 2-i ' sinx -h ^-i — ^ ' ainaz-hetc.

Enfin si Ton pose s = o, la première de ces séries sera réduite à

^(o),4.»(^(-') + 'W + »(-a)4.ete.i

3a6 calcul ihtAgkàl.

en attribuant a <f(x) la valeur particulière

a» — - 4P* on obtiendra la formule connue

XXI i i v

- -z-h-z h— 7 -h— h... = — cot«.

a aa aa — i «* — 4 a — 9 2*

Si après avoir multiplié les deux membres de cette dernière équation par audbt, on l'intègre par rapport à u, et à partir de u = q9 on trouvera

ou 9 ce qui revient an même ,

et par suite

sin9r<* = s-i*(i — **)( 1 — -jj (1 — — J

Si Ton pose maintenant u = \> , on obtiendra la formule de Wallis

On peut démontrer cette dernière formule comme il suit : nous avons trouvé (n° 4$)

mn^xdxsz