Il est enfin une autre formule très-généraledémon

348 CALCUL UTtolAL*

trée Aussi par M. Cauchy, et qu'il importe de rappeler en finissant. Désignons par * une variable imaginaire dontr soit le module et * l'argument; par F(z) une fonction qui reste finie et continue ainsi que sa dérivée F' (s) pour toute valeur du module r inférieure k une certaine limite donnée R. Supposons de plus que r, restant constant, la fonction F (z) soit une fonction périodique qui reprenne pour t = a -f- arc la valeur qu'elle avait pour t = a.. On aura

z =r(cos*-h \/ — i sinf), DrF(z)=zF,(z)Drz=:F,(z)e^\^^, • D,F(s) =F'(z) D,« =F' (z)re< l/^l

et par suite

DrF(z) = — -—J>tr(*).

Les deux membres de cette dernière équation ayant chacun une valeur finie et déterminée pour toute valeur der plus petite que R, si on les multiplie par drdt et qu'on intègre entre les limites o et r, a et a -f- arc, on trouvera

dt / dr¥(z) = / ^= / rf,F(«)

fordrF(z) = *•(,) - F(o),

et, en vertu de l'hypothèse admise,

Ï* ~***dtF(z)=zF{re(* + aïOl/^ï) p^v^^T) = d.

donc

j'^2ndt[F(z) - F(o)] = o,

F(o) / de = teF(o) = J^ F(s)rfr;

et enfin

F(o) = — / F(z)dtz=— I Yint/^dt.

v ' te./», v ' zwj«

Si Ton fait a = o, on trouvera

(a) F(o) = — r*F(re'\/=ï)df,

2* Jo

si a = — 27T, il viendra

F(o) = — /° F(,*v'=ïW=-L Pf^-'ï/";^

v ' te ./-a.. ' tejo v

te Jo La formule (a) subsiste donc quand on y change * en — t. Si dans cette même formule on pose F (z) =f(x -f- z) , x étant une nouvelle variahle indépendante de z , on aura F(o) = f(x)j et par suite

Il résulte de cette dernière formule que toute fonction qui reste continue . ainsi que sa dérivée , entre certaines limites, peut être représentée entre ces limites par une intégrale définie , renfermant , sous le signe J la même fonction.

Exemple: i°. F (s) = ; pour toute valeur du module r plus petite que l'unité , on aura

teJo i-n?«V/— î tejo i-rcosr-rsin/K--i

__ î j**dt(i — rcosf -f-rsin/\/ — i) 2sr t/o i — arcosf -f- z*1 '