INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Principe» généraux. — Équations différentielle* du premier ordre. — Intégration immédiate.
139. On nomme équations différentielles celles qui établissent des relations entre une variable indépendante x , des fonctions y et z de cette variable , et les différentielles de ces fonctions ou leurs dérivées des divers ordres. L'ordre de la plus haute dérivée qui se trouve comprise dans une équation différentielle , sert à fixer ce qu'on appelle Tordre de cette même équation. Une équation différentielle du premier ordre, entre la variable x et les fonctions y, -3,..., renferme seulement avec x. y y c, . . . , les dérivées du premier ordre
> - </.r' Z - dx""
Cek posé, intégrer des équations différentielles, c'est trouver les fonctions qu'elles déterminent, ou du moins
334 CALCUL IBTÉGEAL.
des équations nouvelles qui ne renferment que la variable et les fonctions dont il s'agit. Ces équations i se nomment intégrales.
Sous la dénomination d'équation différentielle da premier ordre à deux variables, on comprend généralement toute équation de la forme
Résolue par rapport à la fonction dérivée^', ou -~ , cette équation fournit pour cette dérivée une ou plusieurs valeurs delà forme -j£= f(jc, y): si l'on suppose d'ailleurs
f(*> y) = — in-*
M et N désignant deux fonctions nouvelles de x et de /, l'équation -£ = f (x, y), multipliée par N, deviendra
N^=r — M, on Mdx+ltdy=zo.
dx
140. D importe d'abord de se faire une idée exacte delà signification d'une équation différentielle donnée, de k relation qu'une semblable équation établit entre les variables.
Analytiquement, cette équation a pour effet d'exprimer le coefficient différentiel ou les dérivées en Ibnctian des deux variables , de fournir la valeur de la dentée correspondant à des valeurs données de x et de jr9 et le problème de l'intégration consiste à chercher une fonction dey et de x qui , différentiée et résolue par rapport
à —;, reproduise l'expression donnée î(x,'y). Considérée
métriquemeiit , F équation différentielle donne la tante trigonométrique de l'angle que fait avec Taxe des x langente menée à un point quelconque d'une courbe onnue. Intégrer c'est construire la courbe ou la déterîer au moins par son équation. Nous prouverons plus 1 ànalytiquement et rigoureusement que l'intégrale* ne équation quelconque du premier ordre à deux vables existe , et qu'on peut en obtenir des valeurs aussi irochées que Ton voudra ; quelques considérations métriques mettent aussi cette existence hors de doute, snons l'équation différentielle sous la forme
regardons x et y comme deux ordonnées rectangu- ^a, en donnant à x et y deux valeurs arbitraires, a b , c'est-à-dire en prenant arbitrairement un premier nt M dont les coordonnées seront
OP = x = a, MP = y = by aura
dy
dx
\s on mènera la ligne MT qui fasse avec Taxe des x angle dont la tangente soit égale à f(a, b) ; cette >ite MT sera une première tangente à la courbe cher- 5e. Comme une courbe et la tangente coïncident sensi- :ment dans les environs du point de contact, on pourra garder le point M', situé à une très-petite distance de M ? la ligne MT, comme appartenant à la courbe, de te que Ton aura les coordonnées
x = OP' = *', y = M'P' = b,
m autre de ses points ; k l'aide de ces deux coordonnées
336 CALCUL MTiaftAL»
et de l'équation ^5= f(^,j), cm déterminer* une ie-
coude tangente , puis un troisième point, etc. On arrivera donc de cette manière i un polygone qui, i mesure qu'on multipliera ses côtés, différera d'autant mon» d'une courbe déterminée dont l'équation sera l'intégrale de l'équation différentielle proposée. Mais cette construction prouve aussi qu'une équation différentielle du premier ordre appartient à une infinité de courbes, puisqu'on peut prendre le premier point où l'on voudra. En effet , suivant la position arbitraire que Ton attribuera à ce premier point, les courbes construites seront modifiées non-seulement dans leur position , mais même en général dans leur forme, néanmoins elles auront toutes un caractère commun dont la nature est exprimée par 1 equation différentielle proposée. Ainsi cette équation différentielle exprime une propriété commune & une infinité de courbes que Ton peut concevoir tracées sur un plan ; cette propriété détermine l'inclinaison de la tangente dans un point quelconque en fonction des coordonnées de ce point, et donne le moyen de construire la courbe lorsque Ton connaît un de ses points. On peut remarquer d'ailleurs que le choix de Tune quelconque de ces lignes dépend d'une seule quantité arbitraire ; il suffira, par exemple , de fixer la valeur dey correspondant
141. On peut, en vertu de ce qui précède, concevoir ce que doit être l'équation primitive ou l'intégrale de l'équation différentielle proposée. Cette intégrale, si l'on veut qu'elle ait la même généralité que l'équation différentielle, doit convenir à l'une quelconque des courbes . que l'on peut construire à l'aide de cette équation. Dès lors il faut, i° qu'elle contienne une constante arbitraire différente des constantes qui peuvent se trouver dans l'é-
quation différentielle proposée, ou dans l'expression analytique de la propriété commune à toutes les courbes. L'indétermination de la constante donnera à l'intégrale la généralité nécessaire en permettant de la faire coïncider avec Tune quelconque des courbes en question , et de représenter par conséquent le système entier de ces courbes. a0 II faut que cette équation primitive satisfasse à réquation différentielle proposée , c'est-à-dire que les va-
leurs de y et de — , tirées de l'équation primitive et de
sa différentielle, substituées dans l'équation donnée, la rendent identique; ou, ce qui revient au même, il faut qu'en éliminant la constante arbitraire entre l'équation primitive et sa différentielle, on retrouve l'équation proposée.
De cette possibilité évidente d'éliminer une constante quelconque C entre une équation F (a;, j, C) = o, et sa différentielle
-d*-h-dJr = o,
de manière à arriver à une équation
entièrement indépendante de cette constante, on aurait pu conclure , à priori j et sans recourir à aucune considération géométrique, qu'une équation différentielle convient à une infinité d'équations primitives qui ne diffèrent les unes des autres que par les valeurs assignées à une certaine constante, et que par conséquent l'intégrale de l'équation primitive d'une équation différentielle donnée doit, pour avoir toute sa généralité, renfermer une constante arbitraire dont on puisse disposer à volonté. T. II. 22
338 CALCUL IVTtoftAL.
Cela posé , l'équation primitive qui contient tante arbitraire à laquelle on n'a pas donné de ▼«km particulières, s'appelle l'intégrale générale de l'équatioa différentielle proposée. A chaque valeur de la constante répond une intégrale nouvelle que nous nommerons intégrale particulière. Mais quelquefois il arrive qu'une équation primitive vérifie l'équation différentielle donnée, sans qu'on puisse la déduire de l'intégrale générale en attribuant à la constante une valeur numérique particulière, et qu'elle soit telle qu'on ne puisse la rattachera l'intégrale générale qu'en détournant la constante de sa signification numérique naturelle, pour lui donner une valeur variable ou pour la, remplacer par une fonction de x et dey ; oes équations primitives reçoivent alors k nom d'intégrales ou de solutions singulières. Nous nous occuperons d'abord de la recherche de l'intégrale générale en faisant connaître les principales méthodes à l'aide desquelles on y parvient dans certains cas. 142. Reprenons l'équation
Mcfcr -+- Wdy = o.
Il peut arriver que l'on reconnaisse immédiatement dans le premier membre la différentielle exacte d'une certaine fonction u = F (.r, y), de telle sorte que l'équation proposée puisse se mettre sous la forme
du = df(x, y) = o; dans ce cas il est évident que l'intégrale générale sera
Exemples :
i°. Mrfr -+- Nrfr = *ày h- x<t* =■ (i(xf) = <>> l'intégrale générale est
xy = C;
*•. M<*rH-N<(r = dy—/(x)dx = dïy — f*/(x)dxl =o, l'intégrale sera
ï-f*f(x)dx = C, ou y = ff{x)dx;
l'intégrale est
f*<p(x)dx+ Fz(y)dy=C.
Dans l'équation
<p(x)dx H- * (/)<//
les variables sont séparées , et l'on voit que, dans ce cas, l'intégration s'effectue immédiatement.
143. Mais l'expression Mdx + "Ndy peut être la différentielle exacte d'une fonction u = F (x, y) sans qu'on reconnaisse immédiatement quelle est cette fonction. L'intégration, dans ce cas, est cependant sûre et facile, parce que l'on peut toujours déterminer la fonction u; en effet, on ne peut avoir identiquement
du du
}ldx-hTidy = ç(x, y)dx + %(x, y)dy=du = — dx -f- jdy,
sans que Ton ait
du du
et par suite
dU rfp(x, jr) ==«fN == dx(x,jr) dy dy dx dx
34o CALCUL INTÉGRAL.
Or, dès que la condition
M d}* ou dfrfrr, y) = dz(x, y) dy dxy " dy dx
sera remplie, on calculera facilement la fonction u en procédant comme il suit. Puisque u a pour dérivée, ptr rapport à x , M ou <p (x, y), on devra avoir
«= /%(*, y)dx H- Y,
Y désignant une fonction arbitraire de la variable y. On tire de cette dernière équation
du d t* , VJ dY r'^krlj dï
En substituant pour — y - sa valeur ^ ^ » et pour — sa valeur x(x, y)> on aura
dx
dx
ou en effectuant l'intégration indiquée
dY
dy'
dY
, = *(*•» y), Y = f '*(*<,, y)+ C: oy Jjto
et par conséquent la valeur générale de u étant
*= /%(*> r)d*+ /'*(*<>, r)+cf
l'intégrale générale de l'équation
MJj?+% = ^(x, /)^ + ^(*, y)dy=o
VIHGT-DEUXlÈME LEÇON. 34 1
sera
fx<p(x, y)dx + frz(*o> y) = c,
ou
en désignant par la notation NXo ce que devient N quand on y fait x = x0. SU'on avait fait d'abord
on aurait trouvé pour l'intégrale générale
et Ton prouvera facilement que ces deux valeurs différen- x tiées reproduisent l'équation différentielle proposée. On prouve aussi, à l'aide du simple raisonnement, que dans le cas où le binôme Mdx + Nrfp est une différentielle exacte , l'intégrale générale de l'équation
Mdx -h Tidjr = o est
/Mdx -+- / V/> = T, ou fXdjr -h fMxdx = C, t
en désignant par N, les termes de N qui ne renferment pas a:, et par Mx les termes de M qui ne renferment pas y. En effet, tous les termes de u qui contenaient x ont donné, par la différen tiati on, des termes qui sont venus faire partie de M//x; on les retrouvera donc en intégrant /Mdx, et, pour compléter m, c'est-à-dire pour avoir les termes de u qui ne renfermaient que^, il suffira d'intégrer la partie de îidy qui ne renferme pas x , ou
CALCUL tvtfeiAL:
ce que nous ayons désigné par la notation N, dy. ht même raisonnement s'appliquerait a l'expression
fltdy + fM,dx.
Pour avoir dans tous les cas N,, il faut évidemment, de N qui est la dérivée totale de la fonction u prise par
rapport à jr9 retrancher — / Mdx, ou la partie de cette
dérivée qui provient des termes fUldx qui renfermaient x\ on arrive ainsi à la formule connue
Exemples :
ydx xdy
x*+jr* x»-hj
on a
dy "~ dx ""(J^>-hr*)»,
/» x /* * yrir x x„
Nxo^r = - I -j^ = — arctang^ + arctang-,
u=r arctang (arctang — H arctang— ) -f- arctang —r
ou , parce que
arctang h arctang — = -,
X xQ i
u = arctang- -h C\
VIÏIGT-DBOXlfeMfe LfiÇÔR. 343
l'intégrale cherchée sera par conséquent
arc tang - = C.
En employant la formule
fUdx + f Ny/j = C, on trouvera simplement pour Tintégrale cherchée
( Udx = arc tang - == C.
Toutes les fois que l'équation différentielle proposée se réduit à Tune des formules
?(*, y)dx -h x(y)dy = o, ç(x)dx -h %(*> y)dy = o,
et plus généralement toutes les fois qu'elle ne renfermera - pas de termes en x seul, ou en y seul, son intégrale se réduira A
fMdx=z fp(*9 y)dx = C, ou
fKdy = /*(*, y)dx = C;
ao# dx ! ^><afaf /«fr , (y**— xdy)Vx*+y* , ^ = Q
OU
on a
«// ~ dx ~~ P" ^v^^TT*
xV^+y**
en intégrant par parties, on trouve
/Viqr^-^P + I f.
mais en posant
\/x* -h x* = *, et en substituant x à z, on trouvera facilement que l'expression / — .^ est égale
le a
d'ailleurs
J *>y a L'intégrale générale de l'équation proposée sera donc
2Xa 2JT* 2 \ X y 2
VIJfGT-TROISIEMB LEÇON. 345
Intégration par fubttitution, — Intégration par le moyen d'un facteur.
444. L'intégration par substitution consiste à remplacer la variable y on x par une nouvelle variable z tellement choisie , que Ton obtienne, entre x et z ou y et z , une équation dont le premier membre soit une différentielle immédiate, ou qu'on puisse facilement intégrer par une autre méthode.
Exemples :
i*. dy -f- /(Ç)** = °>
posons
d'où
y =. xz% dy = xdz -\- zdx, et en substituant pour ^ et dy leurs valeurs,
cette équation se décompose en deux autres,
dz dx r /• vi
346 CALCUL MTÉfflUL.
et par conséquent oh la vérifie, soit en posant
/' dz ^
soit en attribuant à z Tune des valeurs
Z=Z Ziy Z =ZZ„ Z = 3,. . ,
zi9 ztJ z8,... désignant les diverses racines de l'équation
Si l'on remet- au lieu de z, on trouvera, pour les intégrales de l'équation proposée ,
La première de ces équations est l'intégrale générale de l'équation donnée. Quant aux valeurs de y ddnnées par les autres équations , elles seront, ou des intégrales particulières , ou des intégrales singulières.
ou
et posant on trouve
xydy -+- y%dx __ d/(y) a.» y* 4- fl4 — „> '
xy = as,
</(x/) =: adz, x = - ,
et par suite
«y* =rf/(r) f«*/(.r) «* 1
VIMOT-MOISlfcMB LEÇON. 347
équation que Toû vérifie, soit en posant/ = o> soit en
a*dx
3*. bydx = aydfy
ou
a*dx .,. v aldx
y(bdx — ady) z= — -, yd{b* — «r)= — j
en posant
ôx — «/ = «*,
l'équation qui précède devient
a3c6c &rtfe — azdz = ;
faisons encore
a*ds
zdz r= 9
il viendra
, , , fds dx\ % d.xs
\ s X J xs
ou enfin , en posant
v bdz , dv
sx = •>, -r = -, a* — =r o.
Puisque s est exprimée en fonction de z par l'équation- , «a ds
les variables z et v peuvent être censées séparées dans; cette dernière équation qui est par conséquent intégrable* 0 est du reste impossible de donner des règles générales relatives à cette substitution. Quelquefois on laisse
348 CALCUL IïfTtoUL.
indéterminées quelques-unes des nouvelles variables introduites , se réservant, dans le cours des opérations, de leur donner des valeurs particulières qui facilitent la séparation des variables ou qui simplifient les équations en faisant évanouir un ou plusieurs termes'. Exemple :
dy + y F(x)dx = f{x)dx\
posons y = zt, en substituant on aura
zdt -h tdz •+■ ztF(x)dx = f{x)dxi
nous pouvons disposer de z et de Jt de telle sorte que Ton ait
tdz -h ztf(x)dx = o, ou — 4- F{x)dx = o.
L'équation qui précède se réduit alors à
zdt De l'équation
zdt = f(x)dx, ou dt = {& dx.
— -+- F{x)dx = o, on tire
z = r/FW^i en substituant on aura
de = efïto** f(x)dxf t = C -4- fefF&dxf(x)dx, et l'intégrale cherchée sera
145. Lorsque, pour convertir le premier membre d^ l'équation Mdtr + Nflfr = o en une différentielle exacte^ il suffit de le multiplier par un facteur connu f, ou,
VIHGT-TROtSlÈME LEÇOfl. 349
d'autres termes, lorsqu'on a identiquement «
p(M*£r -+- Kdy) = du, l'équation proposée peut se mettre sous 1* forme
-rf« = o,
et l'on y satisfait, soit en prenant du = o, u = C, soit en prenant - =o. L'équation u = C est l'intégrale générale , et les valeurs dey en x, tirées de l'équation - = o,
seront des intégrales particulières ou singulières. Exempte :
i°. xdy — ydx = o,
on a
(dy dx\ xdy — ydxz=. xy f — J = xyd[ \y — \x ) = xydu.
Il suffit de multiplier l'équation proposée par — pour
rendre son premier membre une différentielle exacte; on y satisfera donc en posant, i° u = 1 y — \x == C, ,
ou, ce qui revient au même, - = C, y = Cr, et cette
dernière équation sera l'intégrale générale cherchée; a° en faisant y = o : mais cette dernière valeur ne sera qu'une intégrale particulière , car elle se déduit de l'intégrale générale lorsqu'on y fait C = o.
a*, dy V/ï — dx }/y = o,
on a
35o CALCUL ÏIfTtoftàU
L'intégrale générale sera
u = a(r*-^) = C, ou ^(C+yî)1.; la valeur y = o, que Ton obtient en épiant lofe fitetenr - =s Vxl/jr, sera une intégrale singulière parce qu'elle ne peut pas se déduire de l'intégrale générale. 3°. dy — ylydx = o.
Le" facteur propre a rendre intégrable est — r — , et l'équation se décompose en deux autres.
dy , fil y .
— f dx = -=-^ dx = o, et jr 1 jr == o.
rir 17
L'intégrale générale est
\\y = x -+- C, ou lj- = O»,
les valeurs ^ =o, y -= i , déduites de l'équation j<* 1^=0, sont des intégrales particulières.
4°. Enfin, *(x)x{y)dx + pt(x)zt(f)dy = o;
le facteur — 7-x — 7— r sépare les variables et rend intégrable. L'intégrale générale est
les valeurs j =jrt9jr% =y» etc., ^t, jr„ yt,..M élut kt diverses racines de l'équation j£ (y) = oo, seront des intégrales particulières ou singulières.
146. Quand on aura trouvé un premier facteur pqtri rend intégrable le premier membre de l'équation différentielle Mdx + Nrfp = o, de sorte qu'on ait identi-
VINGT-TROISIÈME LEgON. 35 1
quement
v(Mdx -+- N<(r) sa du,
on en pourra déduire une infinité d'autres qui seront tous de la forme v<f(u), <f désignant une fonction arbitraire quelconque. En effet, pour qu'un second facteur V jouisse delà même propriété que y, il est nécessaire et il suffit que le produit
V(M<ir -+- Nr(r) = -du
soit encore une différentielle exacte dH\ or, i* cette condition sera remplie si Ton pose
- = *(«), V = pç(u),
puisque alors on vérifiera l'équation
V(Mdx -h Nrfr) = — <*» = *(«>*« = dU9
en prenant
V = ft(u)du.
2°. Réciproquement si le nouveau facteur V rend le binôme Mdx + Ndy intégrable, il sera de la forme ^('0» car si Ton a
V(Mdx ■+■ Nrfr) = -du = rfO,
on aura, en remarquant que U, qui est une fonction de x et de y, devra être considéré comme une fonction de x et de u, que l'on peut substituer ky,
