V . dV ^ dV

— du = -7- dx -+- -r- du.

v dx du

Or cette dernière équation se partage en deux autres,

l'autre

et Ton tire de cette dernière

Il est ordinairement très-difficile de découvrir lei teur propre à rendre intégrante l'expression MJx+i toutefois, pour établir l'existence d'un semblable fac il suffit d'admettre qu'il existe pour l'équation

Mdx -+- ïïdy = o,

une intégrale générale de la forme

Admettons en effet cette intégrale , on en tirera C = u, \ u désignant une fonction des seules quantités x, y, puis, 1 en différentiant, on trouvera

d u du .

--dx -f- — dy = o.

dx dy

U en résulte que la valeur de -f- est donnée à la fois par

les deux équations du premier degré

dy du dudy

dx ' dx dy dx '

et si Ton élimine -~- entre ces deux équations , on eu

tirera

du du

Or cette dernière équation ne pourra être qu'une équation identique et non pas une équation qui détermine y en fonction de x et d'où l'on puisse tirer y = f (x) 5 en effet elle doit être vérifiée , ainsi que les deux équations

du du

dx dy

MdLc-4- N<// = o, — dx -\-~rdy = o,

pour y = / (x, C)7 et l'on devrait avoir, quelque soit C,

dx ce qui est absurde. Donc si Ton pose — = f, on aura

identiquement

dy __ du du

du du

v ( M<£r -f- Ndfy) =: — dx -f- --dy = du,

et par conséquent il existe un facteur e qui , multiplié par l'expression Mdx -\- Ndy = o, transforme cette expression en une différentielle exacte.

M. Paul Binet démontre rigoureusement cette proposition en procédant comme il suit.

Puisque la valeur y = f (x, C) vérifie l'équation

<p{xy y)dx -f- %(xf y)dy = o,

on aura identiquement

?(x,f)dx -+- x(x,f)df= o, T. 11. 23

354 CALCUL IMTÉGUL.

en représentant, pour abréger, la fonction f(x^C) par/.

Si dans cette fonction on remplace la constante C par * une valeur variable ou fonction de x et àey9 l'équation qui précède ne sera plus vérifiée, mais on aura identiquement

l(x9f)dx+x{*9f)df=f(*9f)dx+x(x9f)£4* H- *(*,/)#

D'ailleurs la première partie

p(x,f)'dx + *(*, /)^Ar

du second membre de cette dernière équation est nulle parce que c'est le résultat de la substitution de la valeur y = f (x, C) dans l'équation

p(x9 y)dx -+- z(x, y)dy = o;

quand ou y considère C comme constant, on aura donc identiquement , et quel que soit C,

• f(x, f)dx -h *(■*, f)4f= *(*,/) %*C.

Donnons à C, dans cette équation, sa valeur m=F(x, y), déduite de l'équation y = /(x, C), et remarquons que l'expression /(X, u) est identiquement égale à y, puisque si , après avoir tiré de l'équation y = f (x, C) la valeur u de 6\ on l'y substitue ensuite, l'équation résultante y = f (x, m) doit être identique, de telle sorte que le second membre , comme le premier, se réduise à y ; on trouvera ainsi

p{s, y)dx + X(x, y)dy = X(x, y) & du = x(x, y: *J&

VINGT-TROISIÈME LEÇOlf. 355

ite

[?(*, jr)dx -h %(x, y)dy] = du, [p(*9y)dx -f- z(*fjr)4r) = 4>(*)du = </U.

facteur v = — - ou plus générale-

facteur V = ^(w), jouit de la propriété de trans- Pexpression différentielle Mdx + TUtty en une ielle exacte.

lie facteur e , en vertu même de sa définition , i tel que l'expression v(Mdx + Nrfp) devienne erentielle exacte, et vérifie par conséquent Fé-

d Mc rf.No dy ~~~ dx y

\ tire , en développant ,

ernière équation , qui renferme les deux dérivées ;sdu facteur e, est presque toujours plus difficile à .* que l'équation proposée elle-même, de sorte ne peut conduire à la connaissance de ce facteur is quelques cas particuliers. Supposons , par exeme dans cette équation mise sous la forme

ï\dx"~~Û dy)~~Û \dy ~dx~)y

tid membre soit une fonction X de x seul , il en

devra être ainsi du premier. Or c'est ce qui aura lieu si, après avoir supposé le facteur p fonction de x seul, on pose

= Xor, p = eJ ;

tel est donc , dans ce cas , le facteur qui rendra l'expression Mdx -+- Ndy une différentielle exacte \ on trouverait de même pour v la valeur eJ , si l'expression

' M \dx dy )

était une fonction Y de y seul.

Quelquefois aussi l'on parwent à déterminer le facteur v en partageant l'expression Mdx + Ndy en deux autres (Mtdv + N,rfy) + (Mj*/x + N*r(f), tellement choisies, que l'on puisse connaître immédiatement deux facteurs *>j et t', propres à les rendre des différentielles exactes en vérifiant les équations

p,(M,i£r -h N,«<r) = ete, , ?, (Madr + N,rfr) = rf«, ;

alors en effet les facteurs

Vt = Ct?, («,), Va = Pafa(ifa)

rendront encore ces expressions intégrables , et il suffira évidemment de choisir les fonctions <pt (i/,), .<f% (u%) àt telle sorte que l'on ait

pour obtenir le facteur p propre à rendre l'express» * proposée Mdx+lStfy une différentielle exacte.

Exemple :

aydx -4- bxdy +■ je"y {kydx -f- hxdy) = o ;

• YIBGT-TftOIAlfelfE LEÇOZT. Z5j

faisons

M,=«r, N, = bx, M, = hx*y+', N, = kx*+'y% Mtdx -+- N,<(r = <*ydx -f- bxdy ,

on pourra prendre

xy% x "" «-+«/-+-' on trouve en effet alors

— (aydx -f- bxdy) = a \- b — =i d\. x*y*$

ut = 1.x- /*,

tt2 = 1 x* r*, et les expressions

deviendront égales si, après avoir posé

on a

a* — i = Qh — m — i , b& — i = Ck — // — i ,

d'où

nh — mk an — mb

* — ak — bh% âà~bh*

nh — kut

448. Appliquons les principes précédents à Vé linéaire et à l'équation homogène du premier ordre.

L'équation différentielle linéaire du premier on dre est celle dans laquelle la variable dépendante /, et sa dérivée^' ne sont ni multipliées Tune par l'autre, ni élevées à des puissances supérieures & la première; on celle qui a pour premier membre une fonction linéaire

des quantités y et y = ^. La forme la plus générale

de cette équation est

jr'Q{*) -H X X (*) 4- *{*) = o, ou

p{x)djr -4- OsM + +(*)!<** = o.

Si Ton pose

elle deviendra

dy -h y¥(x)dx = f(x)dx.

Nous Pavons déjà intégrée sous cette forme, en posaui y = zt. On y parvient plus simplement peut-être en supposant d'abord que l'on ait f (x) = o ; l'équation réduilc alors à dy -\-yF(x)dx = o, se décompose en deux autres

et a pour intégrale générale

lr + f¥(x)dx==C,

y = o est une intégrale particulière que l'on obtient en posant C = o.

Faisons 6^ = i et désignons par yt l'expression

<•"" J vTJ ? l'intégrale générale sera alors y = Cyx.

VIHGT-TROISlfcME LEÇON. 359

Pour revenir au cas où f{x) n'est pas nul, remplaçons la constante C par une nouvelle variable x que Ton choisira de telle sorte que la valeur

, = *,, =**-/*(*>* vérifie l'équation donnée

<T + yT(x)dx = f{x)dx.

Or si dans cette équation on substitue pour y la valeur zyu et si Ton remarque que

dfx 4- r, T(x)dx = o, puisque yt est une intégrale particulière de l'équation •

dy 4- yF(x)dx = o, on trouvera

ytdz =z f(x)dx,

d'où

et par suite

l'intégrale générale de l'équation linéaire est donc

y=e~f n*)**[c+fef *(*)** f(x)dx':, comme nous l'avions déjà vu, ou simplement

Exemples : Les équations différentielles

dy — ydx = c*dx, dy 4- ydx = e*dx, ont respectivement pour intégrales générales

On pourra intégrer cette même équation linéaire en déterminant le facteur qui rende les deux membres des différentielles exactes. Si Ton considère d'abord l'équation

dy -h yF(x)dx = o,

comme on la rend intégrable a l'aide du facteur v = - ,

qui renferme la seule variable jr, on trouve alors

u = \y +fF(x)dx = \[yéf *(***]- '

En conséquence, les divers facteurs propres à rendre le premier membre de l'équation dy + y F(x)dx = a une différentielle exacte, seront de la forme

<*?(«) = %[\y -+- f¥(x)dx].

Il est essentiel d'observer que parmi ces facteurs, il e& existe un qui renferme la seule variable ;r; savoir, celui que Ton obtient en posant

ç(u) = e»=yefFMd*,

et qui se réduit à c.J ^ .Ce facteur, indépendant de/, rend aussi intégrable l'équation linéaire complète

dy + yF(x)dx=f(xd.v.

En effet, si l'on multiplie ses deux membres pare*/ F(x)dr^ on trouvera

, efFWrdr + yF{x)ef* ^dx = cfTWd*f{x)dx,

4,yr/f(*] = cSV^f[x)dx,

VIRGT-TROIS1EMK LEÇON. 36 1

Exemples :