II. (i — x*)dy -\- xydx-=.adx\ y = ax -+- C\/ i — x

L'équation

♦ -I- /F(jr)rfr = f(x)y«+*dx

se ramène immédiatement à une équation linéaire, il suffit pour cela de poser

on obtient en effet de celle manière

— ndr , dy dz

y*-x y nz

nz K J z

dz — tiT(x)zd.v = — nfx)d.ry s = — = — t J K J Je J K ' f[x)dx.

149. 1/équation différentielle du premier ordre M</.r -|- Xdy = o

st homogène lorsque les fonctions d(# variables x, j , représentées pav M et N, sont homogènes et du même

36a calcul orrteUL.

•degré, ai sorte qu'on Ail

■dans cette hypothèse, l'équation devient

•et il suffit de la diviser par le produit 3?% ( - } pour k mener à la formule

que nous avons intégrée à l'aide de la substitution j=jk, On peut , au reste, appliquer directement cette substitution à r équation

qui se décompose alors en deux autres , savoir ,

de ces deux dernières, Tune s'intègre immédiatement, et fournit l'intégrale générale

i,+ /\*g* c; ou i*+f 2!g = Ci

de l'autre on déduit des intégrales particulières ou 4» intégrales singulières de la forme z • = m ou/ = m£j en étant une racine de l'équation

VINCT-TftOISlÈMB LEÇON. 363

Exemple : Supposons que M et N se réduisent à des fonctions homogènes du premier degré, en sorte qu'on - ' ait

M = Ax 4- Br, N = Cx 4- Dj.

L'équation différentielle sera

(A* 4- By)dx 4- (Car 4- Dr) = °-

Si Ton fait y = xz9 elle deviendra

x» j [A 4- (B 4- C)z -+- Dz*] ^ 4- (C 4- Bt») A j = o;

et se partagera eu deux autres,

dx (C 4- toz)dz __

x~ "*" A4-(B 4- Cjz 4- Ds» ~~ °'

Soient maintenant

ii=^[—B — G4- l/(B4-C)*— 4AD],

les deux racines de l'équation

et concevons que la traction C\s 4- Ds»? elant

décomposée en fractions simples , on trouve C4-D2 m n

364 CALCUL IHTÉGftAL..

les quantités m et n seront déterminées par les formules

m -h n = i, m6-t-mi = — — ,

dont la seconde peut être remplacée par Tune des suivantes :

C — B i/(B + C)»- 4ad' BC— ÀD

L'équation

sera réduite à