B + C)»- 4AB

donnerait BC — AD = o, et Ton en conclurait

k désignant une nouvelle constante. Par suite, l'équation proposée deviendrait

(C* -h J)y)(dy + *<fe) = o,

•et se décomposerait en deux autres , savoir ,

dy -h kdx = o, Cr -h Dr = o.

Qn-trouverait alors pour l'intégrale générale

y -h kx r= C,

et la valeur^ = — - # serait une intégrale singulière ,

à moins que Ton n'eût identiquement

150. Si Ton prenait pour M et N deux fonctions linéaires quelconques des variables je, y% telles que

kx -h By 4- E, «t

Car H- Dr -h F,

l'équation différentielle serait

(Ajt + B/ + E)rfj: + (Cr + D/ + ¥)dy = o, qui sera ramenée à la forme

(AÇ -h B,)rf{ + (Ci + D«)4 = o,

si Ton pose

CàlCX I IMÉcHiL

£, » design ut deux nouvelles variables, et a, 6 deux constantes déterminées par les équations

A« -h BC + E = o, Cm H- D* -h F = o.

Or il est toujours possible de satisfaire à ces deux dernière*

équations par des valeurs finies des constantes a, 6, à moin*

que les quantités A , B, G , D ne remplissent la condition

- = - = h. Dans ce cas particulier, l'équation proposée

se réduirait à

(Car -f- Dy)(dx -+- kdy) -h Edxt + Fdy = o,

et il suffirait de substituer z à Cx -+- Dp pour obtenir la transformée

[(D— kC)z -f-DE — CF]dx + (kz -+- F)dz = o,

dans laquelle on peut séparer les variables , en divisant le premier membre par le polynôme

(D — AC)z -+- DE — CF.

La même substitution permet d'opérer la séparation des variables dans toute équation de la forme

dy=f(Cx + Dy)dx.

Exemples :