II. x<£r -+- ydy = xi/y — ydx

l \/xx -*ryx = C H- arc tang -.

m. jcrtf/ — r<** = dx\/x* + y*, x* = c» -+- aÇr.

Intégration par différentiation, ou par la substitution de la dérivée /a la fonction inconnue y.

151 . Lorsqu'une équation différentielledu premier ordre est résolue par rapport à y, et se présente sous la forme

alors, pour intégrer en substituant à la fonction inconnue y sa dérivée y\ il suffit de différentier cette même équation. En opérant ainsi Ton trouvera

y'dx = Bx¥(xy y') dx -h D7, F (x9 y') dy\ ou

[D,F(*, y' )- y' ] dx +DrlF (x, y ')dy' =20.

Cela posé , si par une méthode quelconque on parvient à découvrir l'intégrale générale et les intégrales singulières de cette dernière équation , il ne restera plus qu'à éliminer^' entre ces intégrales et l'équation donnée

pour obtenir l'intégrale générale de celle-ci et ses intégrales singulières.

1 52. Parmi les diiî'é rentes formes que l'on peut attribuer à la fonction F (x, j')7 il importe de distinguer celles qui

VIHGT-QUÀTMÈMB LEÇON. fôg

-endent l'équation

\D.T(x, y')- ^l^r-f-D^F^, y')dy' =o

linéaire et homogène. Or, pour que cette équation devienne linéaire relativement à l'inconnue^' et à sa différentielle dy\ il sera d'abord nécessaire que le coefficient de dy\ savoir, D^/F(x, j'), se réduise à une fonction f(x) de la seule variable x; en d'autres termes, il faudra que Ton ait

Dr F (x, /')=/(*)> ou 'F(y'W=/(*)4r'.

Si Ton intègre par rapport à y' les deux membres de cette équation, en effectuant l'intégration à partir de y' = o, et désignant par F(x) la valeur de F (jc, y') correspondante à une valeur nulle dey', on trouvera

et par suite

Lorsqu'on adopte cette valeur générale de F(x, /'), la formule

[DxV(x, y')- y')dx + »,,¥(*, y')dy' = o

se réduit effectivement à une équation différentielle linéaire ; mais on doit observer que, dans cette hypothèse, l'équation proposée, se trouvant ramenée à la suivante

y = F(x) -+- y'f{x)9 ou

ydx = F(x)dx -*- f(x)dy9

devient elle-même linéaire, et que par conséquent la substitution de la dérivée y' à la variable y est inutile. Si l'on voulait que l'équation

[DxF(x, y')-y')dx+Dr,F(x, y')dy = o, T. 11 . 24

370 CALCUL IHTÉGlALv

au lieu d'être linéaire par rapport à y' et dy , ftt Htténre par rapport k x et <£r, il faudrait d'abord supposer DxF(x, y') réduite à une fonction f(y') de la seule variable^' : on obtiendrait ainsi l'équation

dxf(*, r')=/(r')>

puis, intégrant ses deux membres par rapport k x, k partir de x = o, et désignant par F(/') la valeur de. F(x, jr') qui correspond à une valeur nulle de or, on trouverait

Lorsqu'on adopte cette valeur de F(x, y'), l'équation

[D,F(x, 7') — y]dx + »rF(x, y') = o

devient effectivement linéaire par rapport à x et ix. Cette même équation, qui peut alors s'écrire comme il suit,

[/(/') - r'\d* + *f'{y'W + F'(r')rf/ = o,

a pour intégrale générale

x=e Jxy)-s\c-fr{y)eJ sw~y dyl

Dans la même hypothèse, l'équation proposée deviendra

et pour obtenir son intégrale générale il suffira d'éliminer y entre les deux dernières équations.

Dans le cas particulier où l'on prend f (y') = J \ l'équation donnée et l'équation transformée obtenue par la substitution de y' à y se réduisent à

y = xy' 4- V(y')9 o = [x + F'(jr')]*'-

Pour obtenir la seconde, il suffit toujours de différentier la première par rapport à x. Cette seconde se décompose

de plus en deux autres

qui donnent son intégrale générale y' = C et ses intégrales singulières. La valeur y = C, substituée dans l'équation donnée , donne , pour l'intégrale générale cherchée,

y = Cx -h T(C).

Si Ton élimine^' entre les formules

X = xy' + F(jr'), * -H F'(j'}= o,

on obtiendra les intégrales singulières de l'équation donnée.

Exemple : L'équation y = xy' — y'* a pour intégrale générale y = Cx -f- C , et pour intégrale singulière x*