Revenons encore à l'équation

[dxf(x, r')-r#]* + iV*(*. r'Mr' = o.

Four qu'elle soit homogène , il est nécessaire et il suffit que les deux fonctions Dx F(x, y') — y\ Dy F(x, y'), soient homogènes et de même degré. Si Ton désigne ce degré par a . on aura

D/F(x, x') =*mf(~ï

Si Ton intègre par rapport ky' les deux membres de cette dernière équation , et si Ton désigne toujours par F (X) la valeur de F(jr, y') correspondante à une valeur nulle dey', on trouvera

puis on en conclura, en différent! an t par rapport à a:,

Méthode par laquelle on peut déduire certaines intégrales ainf lieras es l'intégrale générale. — Détermination de la constante que l'intégrale générale.

154. Soit F (x, y, C) une fonction des variables x7j et de la constante C Si Ton veut obtenir une équation différentielle qui ait pour intégrale générale l'équation finie

il faudra éliminer la constante C entre cette équation et sa dérivée »

dF dF dy

dx dy dx

II s'agit de savoir si cette dernière peut admettre des solutions qui ne soient pas renfermées dans l'intégrale générale. Or toute équation entre x et y peut se mettre sous la forme

? (x> y) désignant une certaine fonction de x et de /, et F désignant la même fonction que ci -dessus, mais dans laquelle on a remplacé la constante C par la fonction <p(,r, y). On peut donc admettre que les solutions singulières, s'il en existe, sont toutes comprises dans la formule

et il reste à déterminer ce que doit être pour cela la fonc-

Y1AGT-CINQU1ÈME LEÇOH. 37^

lion f . En différentiant cette dernière équation , on trouve dF dF dy dF dp __ dx dy dx dp dx

Pour que la valeur de ~-, tirée de cette équation, soit

identique à celle que donnerait l'équation

dF <W<ty dx dy dx '

c'est-à-dire pour que l'équation

soit elle-même une intégrale singulière ou particulière de l'équation

dF <W<ty

dx dy dx '

il suffit évidemment que l'on ait dF dp dp dx

-Tir = 0'

ce qui peut avoir lieu de plusieurs manières :

i°. Si — = o, mais alors © est une constante , et l'équation

n'étant qu'un cas particulier de l'équation

est tout simplement une intégrale particulière ; dF

a°. Si — = o, équation à laquelle on satisfait en po-

dF dF

sanl ou -— = o, ou •"-- = oo. On pourra donc obtenir dp dy r

376 CALCUL 1MTÉGEÀL,

des intégrales singulières en éliminant la fonction y entre les équations

F[*,r,*(*>.r)] = Ot ^=0D»

ce qui revient à éliminer C entre les équations

F(X, jr, C) = 0, ^==0,

Toutefois, pour qu'une équation résultant de cette élimination soit réellement une intégrale singulière, il faudra, i° que la valeur trouvée pour <f annule l'expression

— = o , c'est-à-dire satisfasse à l'équation différentielle

proposée ; 20 que cette équation ne puisse pas se déduire de l'intégrale générale F(x, y, C) •=? o, en donnant à la constante C une valeur particulière.

155.L'intégrale singulière a une liaison géométrique trèsremarquable avec l'intégrale générale. En comparant, en eflet, la méthode qui donne les intégrales singulières avec celle qui conduit aux lignes enveloppes (t. I, n°220). on verra immédiatement que l'intégrale singulière représente la courbe enveloppe des intégrales particulières.

Exemples : i° Considérons l'équation

dy = ± a^W,

VIWGT-ClNQUlfeME LEÇON. 377

son intégrale générale estjr =^ (x -+- C)\ on aura

— =x H- C; dC x^^>

«t en éliminant C entre les deux équations

on trouvera jr = o, et cette dernière équation sera l'intégrale singulière de l'équation donnée. On ne peut pas

cette fois égaler — à l'infini , parce que — = i .

a°. Inéquation y = C (x+ C )* satisfait à l'équation

et est son intégrale générale ; or on a

d'où l'on tire

La première de ces deux valeurs., substituée dans l'équation y = C(x -+- C)*, fournit l'intégrale particulière * y = o, qui correspond aussi à une valeur nulle de la constante. La seconde conduit à l'intégrale singulière

3°. Considérons enfin l'équation différentielle

qui, comme nous l'avons vu , a pour intégrale générale

y=zte+ f(C),

378 calcul urràuAJL.

on a

L'élimination de C entre ces deux équations fournira évidemment des intégrales singulières. En effet, la dérivée y' de Tune quelconque de ces valeurs, étant déterminée par le système des équations

y = Cx + /(£), x -hf(C) = O,

ou , ce qui revient au même, par l'équation unique

sera nécessairement une quantité variable ou fonction de je, tandis que la dérivée de chaque intégrale particulière sera , en vertu de l'équation y' = C, une quantité constante.

156. Pour déduire de la méthode précédente les intégrales singulières, il faut connaître l'intégrale générale; cependant ces solutions ont des caractères qui les font dériver immédiatement de l'équation différentielle sans aucune intégration. Euler, Laplace , Lagrange , Poisson se sont tour A tour occupés de cette question. Us avaient essayé de prouver en particulier que le caractère propre des solutions singulières était de rendre infini ou indéterminé le coefficient différentiel -f- .

y Cette propriété est moins générale que ne Pavaient

cru ces illustres géomètres ; d'ailleurs les démonstrations qu'on en a publiées jusqu'ici dépendent de développements en séries dont rien ne prouve la convergence, et sont loin par conséquent de la rigueur dont nous nous sommes fait une loi dans cet ouvrage.

On verra, dans une des leçons suivantes, comment

M. Cauchy est parvenu à définir rigoureusement le caractère des solutions singulières et* à les séparer des intégrales particulières.

157. La valeur que l'intégrale générale F (a:, y,C) = o fournit pour y, tenfermant avec la variable x une constante arbitraire C, il en résulte que l'inconnue y ne peut pas être complètement déterminée en fonction de a: par la seule condition de vérifier l'équation proposée

VLdx -h N<fy- = o.

La constante C, de laquelle on peut disposer à volonté, donne le moyen d'assujettir l'inconnue y à une seconde condition , par exemple , à prendre une certaine valeur particulière y0 pour une valeur donnée xQ de la variable x. En effet, cette seconde condition sera remplie si Ton détermine la constante C par l'équation

F(*o, fo, C) 3= O.

Si maintenant on élimine C entre les deux équations

F(x, y, C) =r o, F(*0, y0, C) = o, l'équation résultante ne renfermera plus que les variables x9 y avec leurs valeurs particulières #0, yQ, et donnera pour y une fonction de x propre à remplir à la fois les deux conditions ci-dessus énoncées.

Lorsque l'intégrale générale se présente sous la forme u = C , u étant une fonction des variables x, y, la seconde équation devient uQ = C , uQ désignant la valeur particulière que prend la fonction u quand on y suppose

x tzz xc, y z=z y0 j

et l'élimination de.. la constante C produit la formule

u = tf0,

qui satisfait effectivement aux conditions requises. Poui

38a CALCUL IHTfeftU..

obtenir directement cette formule, il suffit d'observer que si l'intégrale générale u = C appartient. à l'équation

Mdx -+- ïïdjr = o,

cette équation multipliée par un facteur convenable deviendrait du = o. En considérant dans cette dernière y comme une fonction dex, puis intégrant les deux membres à partir de x = x0, jr =y0» c'est-4rdire de manière qu'ils s'évanouissent pour la valeur x0 de xy et pourli valeury0de jron trouvera

If — Mo = o,

et par suite

a = aD.

Exemple : i°. L'équation

1>(x)dx -+- »(y)ày = o a pour intégrale

F<p{x)dx.+ Ç* %{y)dy = o.

2°. En opérant sur les deux membres de l'équation

*y +;F(x)rfr = f(x)dxy

F (x) dx, on en tirera

f*f(x)dx /'* Ç* V(x)dx

ye J *o —^0=1 eJ*o f(x)dx9

et par suite

- fXF(x)dx\ rx fXF(x)dx 1

;=« J'o Ko4" / cJt° /(*)<**]•

Si /(x) = o, on trouverait simplement

- rxF(*)*r

Considérons encore l'équation différentielle

r = *r'+/Cr');

son intégrale générale se déduira, comme on l'a vu, de la formule dy' = o ; or, si l'on désigne par y'Q la valeur de y' qui répond à la valeur xQ de x, on tirera de l'équation dy' == o, en intégrant les deux membres à partir de x = x0, y' — y'0 = o, ou , ce qui revient au même , dy = y'0 dx. En opérant de la même manière sur cette dernière équation , on trouvera

d?où

et , en substituant pour y sa valeur dans l'équation J = *y'-+ /(/')>

X — X0 \X— XoJ'

Pour transformer les diverses intégrales que nous venons d'obtenir en intégrales générales , il suffit de concevoir que l'une des quantités x0, yQ, étant réduite à un nombre fixe, à zéro, par exemple, ou à l'unité, l'autre se change en une constante arbitraire. On simplifie ordinairement ces intégrales en supposant xQ = o. Ainsi, en adoptant cette hypothèse, on réduira l'intégrale de

l'équation y = xy' +f(y') à y0 = / (^^-'}

Tout ce qui a été dit ci-dessus relativement aux intégrales générales des équations différentielles ne saurait s'appliquer à leurs intégrales singulières, attendu <pie celles-ci ne renferment point de constantes arbitraires dont on puisse disposer de manière à remplir des conditions nouvelles.

38* -CALCUL IMTtomAL.