Si Ton fait * = — / (x, j), l'équation
Udx -*- N^r = o devient
Soit d'ailleurs j' = F(x) une valeur de l'inconnue/ qui remplisse la double condition de vérifier l'équation
d de se réduire à yQ pour x = x0, on aura
De plus, F(x) étant une fonction déterminée de la Ta* riable x , si Ton attribue à cette variable une nouvelle valeur particulière X , la valeur correspondante de / sera une quantité déterminée. En désignant cette quantité par Y, et par 0 un nombre inférieur à l'unité, on trouvera Y =F(X),
De même, si Ton désigne par xt , a:,,. . . , a£t, n valeurs de x qui forment une suite croissante entre les*limitesx = x0, x = X, et par j, , y, , . . . , ^n, , lesvtleurs correspondantes de y, on aura
r»— r« =(** — *.)/{*. +*,(*,— xty f^h-*,^— *«)]}•
90) 0i »• • • , 0n-i étant encore des nombres inférieurs i l'unité. Dans les seconds membres de ces dernières équations, les divers éléments de la différence X — x0 , savoir,
X\ Xot Xt — .27,, ... , A. — Xn—iy
se trouvent multipliés par des coefficients qui di fièrent très-peu des quantités
f[xQ, F(xQ)l /[*„ %)],..., /[*w,f(*w)],
ou , ce qui revient au même , des suivantes
lorsque ces éléments ont des valeurs très-petites , et que la fonction</'[.r, F (x)] demeure finie et continue entre les limites xQ , X 5 on aura donc à très-peu près, si ces conditions sont remplies ,
Xx — Xo = (*. — *o)/(*o, Jo)»
r> — r. = (*. — *i )/(•*•> rO»
Dans cette hypothèse , la véritable valeur de Y différera très-peu de celle qu'on déduit de ces équations approchées quand on élimine entre ces mêmes équations
les quantités yly yt , , J'n-i- Cette proposition peut
être rigoureusement établie à l'aide des principes que nous exposerons dans la prochaine leçon. Quant à présent, nous nous bornerons à en vérifier l'exactitude dans le cas où l'équation différentielle se réduit à
dy = y¥(x)dx.
Dans ce cas particulier, en effectuant l'intégration de manière qu'à la valeur xQ de la variable x corresponde la valeur yQ de la variable y, on trouvera
= y9eJ *<
¥(x)dx
on aura par suite
= Yo e J *o
et
r. = r«[> -h (x, — xs)F(*,)],
et en éliminant j, , jt, . . . , jB, ,
r=jr.[H-(*. -X0)F(*0)][l-h(*a -XOF^)]..-!! + (X — *«)Ffr.
=ir04-i[n-(*»— *o)F(*o)]4-i[n-(*,— «OFf*,)]— +U,-+-(x-*-»W
D'ailleurs, si Ton représente par a une quantité finie, para, e deux quantités infiniment petites , et par 0on nombre inférieur à Puni té , on aura
1 (i H- aa) = — ?~ = m(a± i), I[i + (*.— *JF(*.)l+l[i + (*,--*I)F(*I)]...H-l[i-f-(X — x^,)F(jt
*i-*.)[FW+i.]+(*.-*«i[FW + t.]...+ (x- «u.)W^
e0, 6i , e„ . . . . , en-1 désignant des nombres très-petits. Comme le second membre de cette dernière formule dif-
fère très-peu de l'intégrale définie / ¥(x)dx , il en résuite que la valeur de 1 Y se réduit sensiblement à
an te de Y, à
et la valeur correspondante de Y, à
Exposition «Tune méthode rigoureuse à l'aide de laquelle on peut démontrer l'existence d'une râleur de y propre à vérifier une équation différentielle du premier ordre, et calculer cette valeur avec un degré d'approximation donné.
