Toutes les fois que l'équation différentielle

est intégrable par Tune des méthodes exposées dans les leçons précédentes, on en conclut aisément, comme on Ta fait voir, pour l'inconnue^, une fonction de x propre à vérifier cette équation différentielle , et de plus à prendre une valeur particulière, mais arbitraire, jrOJ dans le cas où Ton attribue à la variable x une valeur donnée x0. Réciproquement il sera certain que l'équation .

*y = /(*> y)dx sera intégrable et qu'elle admet une intégrale générale comprenant une constante arbitraire si Ton démontre qu'il existe une valeur générale de y propre à remplir les deux conditions énoncées ; or on parvient a ce but, dans un grand nombre de cas, à l'aide des principes que nous allons établir.

Concevons que, X étant une nouvelle valeur particulière de x, on désigne par x,, xt, . . . , xn x des quantités intermédiaires entre les limites x0, X, et qui aillent toujours en croissant ou en décroissant depuis la première limite jusqu'à la seconde. Supposons de plus qu'on calcule T. n. a5

386 CALCUL ISTteftALt

n valeurs correspondantes de y, j, , . • . , j^i , Y, à l'aide des équations

X* — Jo = (xx — X0)/(*0, /o),

Y — -Tn-i = (X — *«,)/(*)*..„ /«.»),

en éliminant ju /„.„, ^««o on obtiendra une valeur tk

Y de la forme

qui jouira de propriétés fort remarquables. Et d'abord, en ajoutant toutes ces équations , on trouvera

Y — jr0 = (x, — x0)f(xo, Xo) 4- (x, — *,)/(*„ yt) 4-.. • .

Or la somme du second membre est égale au produit de la somme des différences xt — #0, xt — xi9 . . . , X — jc^, ou X — jc0 , par une moyenne entre les coefficients

et si Ton désigne par A la valeur absolue du plus grand de ces coefficients , cette moyenne sera nécessairement exprimée par une expression de' la forme ± ©A, 0 désignant un nombre inférieur à l'unité ; on aura donc

Y - Xo = ± 0À(X - *.),

Y = Xo ± ©A(X - x0),

d'où l'on conclut que la valeur de Y se trouvera nécessairement comprise entre les limites y Q ± A (X — xd). En raisonnant de la même manière , on ferait voir que les quantités ju ./*>•••> JV-i sont respectivement comprises entre les limites

Xo ±A(x, — x0), jr0±A(xa— xt),..., j-oiAfxn.,— xj9

donc toutes ces quantités se réduisent aussi bien que X & des expressions de la forme

On doit en conclure que les coe^pients

/(*<>, y oh /(*«> /«),...,/(*»-., r«-0 sont des valeurs particulières de l'expression

qui correspondent à des valeurs de 0 et 0 comprises entre les limites o et i . Or concevons que le plus grand et le plus petit des coefficients dont il s'agit correspondent respectivement aux systèmes de valeurs

toute quantité comprise entre ces coefficients, ou, ce qui revient au même , entre les quantités

/[** -+■ 0o (X — *.), Xo + 0pA( X — x,,)] , /[*. -h ( 6. -h i)(X - *o), /. + (e. H- •') À(X — **)],

sera évidemment une valeur particulière de l'expression

/[*. + («•+ iC)(X-*.)f /oH-iVo-hi'0A(X-x0J],

correspondante à une valeur de f comprise entre les limites o et 1 , et par conséquent à une valeur particulière de l'expression

f[xQ -h *(X — *.), 70±©AVX — *0)],

correspondante à des valeurs de 0 et de @ comprises entre les* mêmes limites. Donc, puisque la différence Y — yQ est équivalente au produit de X — xQ par une moyenne dé cette espèce , on pourra poser

Y — fo = ( X — *•)/[*. -M( X — *„), ro±©A (X — *0)lî

et par conséquent

Y =7. -h (X -*.)/[*. + «^X-*.\ jroieApC-Xo)],

0 et 0 désignant deux nombres inférieurs à l'unité.

Corollaire ier. Si l'on|pupposait tous les élémens delà différence X — x0, c'est-à-dire les binômes xt — x0, x% — x,, . . . , X — xn__x réduits à un seul qui serait cette différence elle-même , on aurait simplement

Y — jo = (X — x0)/ (x0 , j0).

En comparant cette équation à celle qui précède, on reconnaît que la division de X — xQ en éléments, a pour effet de modifier le second facteur du produit qui représente la valeur de Y — yQ en y faisant croître les quantités x0, y0 de manière que les valeurs numériques de leurs accroissements soient inférieures d'une part à la valeur numérique du premier facteur, de l'autre à cette valeur numérique multipliée par la constante Â.

Corollaire 2mc. Soit m un nombre entier inférieur à w, et faisons x,n = £, ym = y?, on obtiendra

1 60. Après avoir reconnu la forme de Y, déterminons de quelle manière cette quantité varie avec yoy ou calculons r accroissement ê„ Je Y , correspondant à un accroissement o0de y0. Désignons par H = :±(X — x0) la valeur numérique de la différence X — x0. Supposons d'ailleurs que pour toutes les valeurs de x renfermées dans les limites

df(x y) 'jm*

u:0, X, la fonction dérivée — v ' reste continue par rapport aux variables x9 y, et demeure comprise entre les limites ±l C, C représentant une quantité positive. Cela

posé, soit

ç(xy y)thr -f- %(x9 y)dy

VINGT-SIXIEME LEÇOlt . 389

la différentielle totale de la fonction f{x, y), en sorte qu'on ait identiquement

soient de plus 6f , 6, , . . . , £n les accroissements respectifs que prennent j^, jrlv.., Y lorsqu'on attribue à jr0 l'accroissement 607 et représentons par 0, 0O, ©i,...,©„-i des nombres inférieurs à l'unité.

L'équation yx —y0 = (xx — x0)f(x0, yQ) devant subsister encore quand on y fera croître yQ de 60, etJri de 6j, on en conclura

J'i ■+-•« — (r« H- ^o) = (jp« — ^o)/(*o, /o -+- Co),

et par suite

fft — ^o = (j?i — x0) [/(xot /o -+■ c.) —/(*<>, ro) ] ;

on aura d'ailleurs, en vertu d'une fonnule connue et de l'hypothèse admise,

/(^o, 7o -4- C0) -/(j?0,/o) = ±0oCoC, et par conséquent

Cx = C0 [i ± e^Cf-r, — x0)l on trouvera de même

C% = C,[i ± e.Cfc,. — *,)],

C»=^,[i± 0.C(X - *,)]> Cw=C0[i±fc>0C(xl-.x0)][i±e1C(j:1-xI)]...fl±ell tC(X-a:Ji.1)].

Or, si la différence X — x0 est positive , la valeur numérique du binôme i ±: 0oC(x! — jr„) sera inférieure a h.

3gO CALCUL IHTâCKlL.

somme i + C(x, — jt0) et par suite à Te

Par la même raison , les valeurs numériques des binâmes

î ± 0,0(0?, — *,)* • • • y i ± e.-.CfX —*.»), seront respectivement inférieures aux exponentielles

donc le produit de tous les binômes qui entrent dans la valeur de Sn aura une valeur numérique inférieure tu produit de toutes les exponentielles, c'est-à-dire i e ( — *0^ et gg induit par conséquent à une expression de la forme

0 représentant toujours un nombre compris entre les limites o et i. Il faudrait évidemment remplacer cette expression par la suivante ,

± e>eC ('o - x>,

si la différence X — x0 devenait négative. Cela posé, on aura

' C =±eC0f±c(x^) =±:0£o*CH.

Voilà donc l'accroissement 6n de Y, correspondant à l'accroissement 60 dejv Si l'on fait, pour abréger, K=e » K sera une constante positive et finie , et l'on aura simplement

Ç, = ± ©Kffo.

Corollaire ier. Lorsque les éléments jct— -ce0, jrt— arfv.., de la différence X — xQ, obtiennent tous des valeurs nu-

mériques inférieures à -, les facteurs

i ±: jB0C(*i — jt0), i ± 0, C (-ra — x,), . . . , sont .tous positifs, et Ton a nécessairement C. = 0KCo.

Corollaire ame. La valeur de 6n = ±. 0K6O devient in&niment petite en même temps que 6Q-, donc, à un accroissement infiniment petit de la quantité yQ, correspond toujours un accroissement infiniment petit de la quantité Y , et par conséquent la seconde de qes deux quantités est une fonction continue de la première.

Corollaire 3me. Si Ton considère seulement les équations

elles suffiront pour déterminer Y en fonction des quantités xm, xm+u. . ., #„,, X, ym, et Ton prouvera encore que si Ton attribue à^mun certain accroissement 6m, l'accroissement correspondant de Y sera de la forme

Donc ce dernier accroissement aura une valeur numérique inférieure à celle du produit

et, à plus forte raison, à celle du produit

1H1. La quantité Y dépend évidemment, i° des valeurs

3oa calcul imrteftAL.

extrêmes dex représentées par xoy X \ a° (le la quantité j0; 3° du nombre n et des valeurs mêmes des éléments dans lesquels on a divisé la différence X — x0, on, en d'autre» termes , du mode de division adopté. Mais il est facile de montrer que, si Ton fait décroître à l'infini les valeurs numériques des éléments de la différence X — xOJ la valeur de T dépendra uniquement des trois quantités xoy X et y0. Pour le prouver, il suffit de faire voir que si le nombre n devient très-considérable, le mode de division n'aura plus sur la valeur de T qu'une influence insensible ; or c'est ce que Ton peut démontrer comme il suit Lorsque les éléments de la différence X -^-x0 se réduisent à un seul qui coïncide avec cette différence ellemême , la valeur de Y est simplement déterminée par l'équation

y — Xo =(x — *o)f(x0, ro).

Lorsqu'au contraire la différence X — x0 est partagée en n éléments x^ — x0, xt — xu . . . , X — .rn„ on a

Y—jr.zsfX — j^)/[x0+6,(X — *.), 7o±0A(X-jpJ].

Pour passer à un second mode de division, il suffit de subdiviser chacun des éléments du premier en nouveaux éléments. Or on peut calculer d'une manière approchée le degré d'influence que chaque subdivision aufa sur la valeur de Y. En effet, lorsqu'on partagera , par exemple, l'élément xt — x0 en plusieurs autres, l'équation

/. ~ fo = (*x — Xo) /(*o, y*)

se trouvera remplacée par plusieurs équations de la même forme ; mais, en procédant comme nous l'avons déjà fait, on trouvera

y%— Xo = (•*! — *o)J\*o *+- *« (.*-,—*„), ro±e«A(^, — jr0)]i

0j, 0t désignant deux nombres inférieurs à l'unité. En

VIKGT-SIXIÈME LEÇON. 3^3

/[x0 -f- *, (*t — x0), y 0 ±0, A (xT — x0) ] =/(x0, j o) ± f o> on aura

JTx — .To = (*t — X0)/(x0, Jo) ± lo(^f — *o).

Ayant la subdivision de F élément j?t — jr0, on avait

r« — Xo = (*. — *o)/(-r0, ro).

Cette subdivision fait donc croître^, du produit

± f0 (Xx — XQ).

Si d'ailleurs les autres éléments de la différence X — x0, conservent leurs valeurs primitives, tandis que la quan^ titë jrft reçoit l'accroissement ± e0 (xt — x0), Y, en vertu de ce que nous avons dit, prendra un autre accroissement de' la forme

± ©Ki0(*, — x0).

Donc l'accroissement de Y produit par la seule subdivision de l'élément xt — xQ aura une valeur numérique inférieure à celle de la quantité

On prouverait de la même manière que l'accroissement de Y, produit par la subdivision de l'élément ;rm+, — xm, aurait une valeur numérique inférieure à celle de la quantité

le nombre em étant déterminé par une équation de la forme

± i«=/[u:ai-h8(ar-l+1— xm), ym ± ©A(x-I+I— xm)]— /(*„, /*).

Donc, si Ton subdivise Fun après Fautrc tous les éléments , Y prendra une suite d'accroissements dont la

394 calcul infeiii..

somme est inférieure à

Kio^-xo) H-Kif(xa -,rI)-4-...-hKill.s(X-*^1)=Kj(X-jJl

e désignant une moyenne entre les nombres e0, etl «g,. . , Si les différences xt — x0, xt — xu etc. , obtiennent des valeurs infiniment petites, on pourra en dire autant des quantités s0, el9 ei9 . . . 9 e„i, ainsi que de refrènes

Kt(X — x0);

et par conséquent on n'altère pas sensiblement la valeur de Y, correspondante à un mode de division dans lequel les éléments de la différence X — x0 ont des valeurs numériques très-petites , si Ton passe à un second modfe dans lequel chacun de ces éléments se trouve subdivisé en plusieurs autres.

Concevons à présent que Ton considère à la fois deux modes de division , tels que les éléments du second ne soient plus des subdivisions des éléments du premier. On pourra comparer ces deux modes à un troisième tellement choisi, que chaque élément, soit du premier, soit du second , se trouve formé par la réunion de plusieurs déments du troisième. Pour que cette condition soit remplie , il suffira que toutes les valeurs de x , interposées dans les deux premiers modes , soient employées dans le troisième ; et on prouvera que Ton altère très-peu la valeur de Y en passant du premier ou du second mode au troisième, et par conséquent en passant du premier auseopnd. Donc, lorsque les éléments de la différence X — x0 deviennent infiniment petits , le mode de subdivision n't plus, sur la valeur de Y, qu'une influence insensible, et si Ton fait décroître indéfiniment les valeurs numériques de ces éléments en augmentant leur nombre, la valeur de Y convergera vers une certaine limite qui dépendra uniquement de la forme de la fonction f{x, y)> des valeurs

VINGT-SIXIÈME LEÇON. 3g5

extrêmes x0, X, attribuées à la variable x , et de la quanité jr0.

Corollaire Ier. Comme la limite vers laquelle converge y, tandis que les éléments de la différence X — x0 leviennent infiniment petits , dépend uniquement des :rois quantités x0, X,jp0, nous désignerons cette limite par la notation F (x0, X, y0), que nous réduirons même i Tune des suivantes F (X, yQ), F(X), quand nous nous proposerons de faire varier les deux seules quantités X, yQ, >u la seule quantité X.

162. Ilestfacile de démontrer main tenant qu'il existe touours une fonction de x propre à vérifier l'équation différentielle dy = f(X) y)dx, et de plus à prendre une valeur particulière , mais arbitraire yQ, dans le cas où Ton ittribue à la variable x une valeur donnée xQ. En effet , iésignons par F(x) ce que devient F(X) quand on y remplace X par x\ puisque F(X) est ce que devient Y ipiand les éléments de la différence X — xQ deviennent infiniment petits, de l'équation

Y— f=(X — *)/[* + 8(X— f), ,±0À(X-f)] on tirera

et en faisant

x et x -+- h étant renfermés entre les limites x0, X , on aura à la fois

¥{x) = yQ-ir(x—x0)f[x0-\-Q(x—x0)i /o±0A(.r — jr0)],. F(.r-M)— Y(x) = hf[x-h$h9 F(x)±&Ah].

Or il est facile de voir, i° que pour x = x0, F(x) se réduit à y0 ; 2° que si l'accroissement h devient infi-

396 CALCUL IHTiGftAt*

niment petit, l'accroissement correspondant de U fane* tion F(x), savoir , F (x -h A) — F(x), sera lui-méat une quantité infiniment petite ; 3° que' de cette équation, divisée par A, on tirera

ce qui exprime que la fonction F(x) vérifie l'équation différentielle dy = f(x9 y)dx:

Donc enfin, lorsque la fonction /*(•£, jr) et la dérivée

~f\ **' restent finies et continues entre les limites jr* X,

il existe une fonction de x propre à vérifier l'équation différentielle dy = /(x, y)dxy et de plus i prendre une valeur particulière, mais arbitraire jrQ, dans lecai ou Ton attribue à la variable x une valeur donnée x0.

Corollaire. Si Ton désignait la limite de T par la notation F(x, yQ), la fonction y se présenterait sons h forme y = F(x, yQ) et serait l'intégrale générale de l'équation proposée , puisque y0 est une constante arbitraire. Ajoutons que cette intégrale est, comme Y, une fonction continue de yQ.

VINGT-SEPTIÈME LEÇON. 3y7

Application de la méthode exposée dans la Leçon précédente à l'intégr'a lion d'une équation différentielle quelconque du premier ordre entre deux rariables x, y.

163. Nous avons supposé jusqu'ici que les deux fonctions f(x, y) et x(x> y) = j demeuraient fi-

nies et continues, quelle que fût y pour toutes les valeurs renfermées entre les quantités x0, X \ mais il est facile de démontrer que les propriétés énoncées dans la leçon précédente subsisteront encore toutes les fois que ces fonctions seront finies et continues par rapport aux variables x, y dans le voisinage du système de valeurs particulières x = x0, y =yu, pourvu que l'on choisisse convenablement la quantité X. En effet , concevons que les expressions /(x0, y0), x(x0, y0) étant des quantités finies , on désigne par A, C deux nombres supérieurs à leurs valeurs numériques , et par a une quantité positive ou négative choisie de telle manière que pour des valeurs de x renfermées entre les limites x0, xQ -+- a , et pour des valeurs de y renfermées entre les limites y0 — Aa, y0 -+- Aa, les deux fonctions /(x, y), xfaj) restent continues par rapport aux variables x. y, et demeurent comprises, la première entre les limites — A, -f- A, la seconde entre les limites — C, -f- C; les propriétés mises en évidence dans la leçon précédente sub-

398 calcul iBTtemu.*

sisteront encore si Ton a pris pour X une moyenne entre les deux quantités x0 et xQ -h a. Pour le démontrer, 3 suffit de faire voir que, dans l'hypothèse admise les quantités yu jtv-> J>-n Y, déterminées par les équations

r« — Xo =(*i— ^o)/(*o, ro)>

* ——.T'it— 1 — (a. — Xn^ijj (*ji^ij x*—*)t

étant toutes comprises entre les limites ^0 — Aa, j0 + A*, les fonctions /(x, j), ^(r, y) resteront finies et eontinues pour toutes les valeurs yiy ytJ. . . ., T correspondantes à des valeurs de x comprises entre x9 et x0 + a. Or , si Ton ajoute entre elles celles de ces équations qui renferment les quantités yoy yty. . ., ym, on obtiendra la formule

X* — ro = (*» — •*•<>) /(*<>, xo) •+- (*, — *,)/(*„ rO—

dont le second membre est équivalent au produit de la • différence xm — xQ par une moyenne entre les coefficients

De {dus, la différence xm — x0 ayant une valeur nmmérique inférieure à celle de X — xoy et par conséquent inférieure à a, il est clair que la valeur numérique de ym sera comprise entre les limites y0 — Aa, y0 -f- Aa. Si chacune des expressions

a une valeur numérique inférieure à A, ce qui arrivera

nécessairement si les quantités y0, yu , jr^, se

trouvent elles-mêmes renfermées entre les limite! y0 — Aa, y0 + Aa. Donc, puisque cette condition se vérifie à l'égard de y0> elle sera pareillement satisfaite

à l'ëgard de yx : étant vérifiée pour yQ et jXj elle sera encore satisfaite à l'égard de yt. . . . , et ainsi de suite. Enfin elle se vérifiera pour ym, m désignant un nombre entier égal ou inférieur à w, et par conséquent pour tons lefc ternies de la suite j0, jri9 j2, . . . , yn__i, Y.

. Corollaire Ier. Soient 0 et 0 deux nombres qui varient entre les limites o et i -, et indiquons par la caractéristique M une moyenne entre plusieurs quantités données. Comme le nombre désigné par C peut être pris arbitrairement pourvu qu'il surpasse la valeur numérique dé X(xo* yà) * il est clair que la quantité a deviendra propre à vérifier les conditions du théorème précédent, si Ton a choisi a et C de telle manière que les deux fonctions

/{xo -f- 0a9 jrQ ± ©A«), % [x0 -f- On, rQ± toka)>

restent continues entre les limites

et que Ton ait toujours entre ces limites

f(x0 + fci, Xo ± eAfl) = M (— À, -f- A).

Corollaire 2me. Supposons que parmi les valeurs de la quantité a, pour lesquelles les conditions énoncées dans le corollaire Ier peuvent être remplies, on choisisse celle qui est la plus grande, abstraction faite du signe : dans cette hypothèse , l'équation de la leçon précédente

y = F(«), ou y =z F (*, xo),

fournira une intégrale particulière de l'équation

ày = /(*, y)dx,

pourvu qu'on assujettisse la variable x à demeurer comprise entre les limites xQ et x0 -+- a.

Corollaire S"e. La quantité a étant déterminée comme

on vient de le dire, si, dans l'équation y = F(x, j0) on remplace yQ par une constante arbitraire C, la formule y = F(a:, C) représentera l'intégrale générale de l'équation dy = f(x, y)dx, du moins pour certaines valeurs de x comprises entre certaines limites qui dépendront elles-mêmes de la valeur attribuée à la constante arbitraire. Concevons en effet que Ton désigne par a une quantité aflectée du même signe que a , nuis douée d'une valeur numérique moindre; soit de pluse un nombre inférieur à l'unité , et supposons

C = ^0±iA« = M(t7-0 — A*, yQ +A4

Comme on aura évidemment

y0 — Aa = C — A(«±i«), yQ -+- Aa = C -h A(« =£■*)>

on en conclura que les deux quantités^ — Ka 9y0+ka comprennent entre elles les deux suivantes, C — A(a — a), C -+- A (a — a), et l'on prouvera, en raisonnant comme ci«dessus , que la valeur y = F (x* C) est une fonction continue de x et vérifié l'équation dy = f (x^ y)dx, tant que la constante C demeure comprise entre les limites^ — Àa, yQ -f- Aa, et la variable .rentre les limites xQ et xQ + (a — a).

On démontrerait de la même manière la proposition suivante. Supposons que les expressions

J (**<» J'*n X[xo> X0J7

ayant des valeurs finies , on choisisse le nombre A et la quantité a , de telle sorte que :

i°. Si %(xo> Jo) est positif ou nul , les deux fonctions

f(x0 -+- Ba, jr0 +- BAa), z (*o -*- 6*t Xo -4- eAfl), restant continues entre les limites

VÎNGT-$EPTIKME LEÇON. 4°l

on ait toujours entre ces limites

a°. Si x(xo» ^o) est négatif ou nul , les deux fonctions

restant continues entre les limites

on ait toujours, entre ces limites,

les théorèmes de la leçon précédente subsisteront entre les limites xOJ x0 -f- a.

164. Parmi les valeurs de a qui remplissent les conditions énoncées, il est avantageux de choisir celle qui est la plus grande , abstraction faite du signe. Pour montrer par un exemple comment on peut déterminer cette valeur, supposons que l'équation différentielle donnée soit

dx = tang(x -h X)dx9

et que les quantités x0, j0 s'évanouissent. Pour que l'équation

soit toujours vraie pour des valeurs positives de a , tandis que 0 et 0 varient entre les limites o et i , il est nécessaire que l'arc a + Art reste compris entre les limites

o, -, et que Ton ait tang(a -f- Au) = M (o, A). Pour dé-

duire de cette dernière équation la plus grande valeur possible de Tare a , Tare a -f- ka demeurant inférieur à

- , il suffit, i° de remplacer le second membre M(o, A)

T„ ii. 26

4a2 CALCUL IHTÊGtJX.

par A ; a° de joindre à la formule tang (a -+• ▲*) s? A,

ou a = "^^"^ , celle qui fournit le maximum de s

considéré comme fonction de A, savoir, da arc tang A i

or on satisfait aux deux équations ainsi obtenues en prenant %

Ainsi, dans l'hypothèse admise, la quantité positive a = 1,229. • • est la plus grande des valeurs de a propres à vérifier la formule

f(x0 + Qa, x0-h GAa) = M (o, A).

On prouverait de même que la quantité négative

est la plus grande, abstraction faite du signe, de celles qui sont propres à vérifier la formule

f(x0 H- Oa, Xo — eAfl) = M (o, — A).

On en conclurait que la méthode d'intégration exposée dans la leçon précédente fournira la valeur générale de y qui satisfait à l'équation

dx = taiig(* -+- x)***

et s'évanouit avec la variable x, du moins tant que cette Variable restera comprise entre les limites

Pour l'équation <ty = tang(j?f -\-y*)dxy en supposait toujours j:0 = o, jQ = o, on trouverait que la phv grande valeur de à1 serait déterminée par le système d«

VIKGT-SEPTIÈME LEÇON. 4<>3

deux équations

arc taim A A 1

«» = - — , arc tang A = — - ,

i+A» ' b sA'

desquelles on conclurait

A =0,7654.-, fl* = 0,9653, a =±0,9824. . .,

et la méthode exposée fournirait la valeur de y qui vérifie l'équation

dy = tang(j:* -h y*)dx9

et s'évanouit avec x, tant que la variable x resterait comprise entre les limites

Considérons encore l'équation différentielle

et supposons xQ = 1 , y0 = o, on aura

/(*. + Oa, y„ + @Aa) = |+6a'+eAfl = M(o, A),

et cette équation sera toujours vraie entre les limites 0 = o, 0=i, 0 = o, 0 = 1, si l'on prend A = 1, et si l'on attribue à la quantité a une valeur positive quelconque. Par suite, la plus grande des valeurs positives de a sera a = 00 , et si l'on désigne par y = V. (x) celle des intégrales particulières de F équation

qui s'évanouit pour x = 1, la méthode exposée déterminera la valeur de h\x) tant que la variable x sera eom-

4<>4 CALCUL IKTéGAÀL.

prise entre les limites x = i, x = oo. L'équation*

i -+- Ga 4- WÀ/i

sera encore satisfaite si , A étant un nombre supérieur k l'unité, on attribue à a une valeur négative comprise

entre o et — - y-- — -. \ or, parmi les valeurs négatives de

a que fournit l'équation a = — — r, celle qui est

la plus grande, abstraction faîte du signe, se trouve déterminée par la formule -

— - =o, ou A1 — 2A=i,

de laquelle on tire , A devant être supérieur à l'unité,

A = r -\r\Ziy a = — (3 — al/â) = — 0,1715.

La méthode d'intégration suffira donc encore pour fixer la valeur de F (x) tandis qu'on fera varier x entre les limites o et — o , i y 1 5 .

165. Il est essentiel d'observer que les quantités y 0,ji« y,,..., yn-i) Y, déterminées comme nous l'avons dit, resteront comprises entre les limitesj-0 -f- A«, r0 — &a, et formeront, ou une série croissante, ou une série décroissante , toutes les fois que X sera renfermé entre x0 et x0 -+- a , les quantités a et A étant choisies de manière à vérifier les conditions énoncées ci-dessus. Il est aisé d'en conclure que , dans le cas dont il s'agit , la fonction y = F (x) croitra ou décroîtra toujours depuis x = x0 jusqu'à x = X , sans pouvoir dépasser la limite y0 +Aa, ou jrit — An. Concevons maintenant que, a satisfaisant toujours aux mêmes conditions , la quantité X varie entre les limites x0, x0+a, et s'approche indéfiniment de cette

dernière H mi te. La valeur dey =F(X) s'approchera elle-même indéfiniment d'une certaine limite qu'on pourra désigner par F(xQ -+- a), et qui sera comprise entre les deux quantités^ — Aa, jQ -+- Aa. On prouvera dès lors , par des raisonnements analogues à ceux dont nous avons déjà fait usage, que les théorèmes de la leçon précédente subsisteront non-seulement lorsque la quantité X variera entre les limites x0, xQ -+- a, mais encore tandis que cette quantité s'approchera indéfiniment d'une nouvelle limite jc0+û,. Par suite , on pourra calculer, avec tel degré d'approximation qu'on voudra, les valeurs de F(X) correspondantes à des valeurs de X comprises entre xQ et xQ + at. Si d'ailleurs les fonctions f (x, jr), x(p°-> y) restent continues dans le voisinage du système des valeurs particulières

x = xQ -+- a„ y ~ F(x0 -+- «,),

on déterminera encore une valeur de x située au delà de la limite x0+a,, et vers laquelle on pourra faire converger la quantité X dans la fonction F (X). Désignons par xQ + at cette nouvelle limite , et continuons de même; les quantités

*o -f- <*> J?o H" a\i xo "+" a*y - >

formeront une série croissante ou décroissante, et leurs valeurs numériques finiront par surpasser tout nombre donné, ou par s'approcher indéfiniment d'une certaine limite. Dans le premier cas, la quantité X pourra croître et décroître indéfiniment , de manière à devenir supé rieûrc ou inférieure à toute quantité donnée. Dans le second cas, la quantité X pourra s'approcher indéfiniment de la limite vers laquelle convergeront les dilTérents termes x0 -+- at, x0 + a„. . . Soit X cette même limite et F(Ar) la valeur correspondante de F(X), pour

4o6 CALCUL INTÉGlAL. '.

qu'on ne puisse plus faire passer la quantité & a» delà de la limite X dans la fonction F(X), il sera nécessaire, ou que la quantité F(X) soit infinie, ou que Tune do fonctions f[xy F(x)], xtx> ^W] devienne infinie pour la valeur particulière x = X9 ou enfin que Tune de ces fonctions devienne discontinue dans le voisinage de la valeur particulière dont il s'agit.

166. Afin de montrer l'application de ces principesgénéraux & un exemple, concevons que F(x) représente celle

des intégrales particulières de l'équation dy = — — — qui

s'évanouit pour x = 1 5 et cherchons les valeurs qu'en devra, dans ce cas, attribuer aux constantes a, au a*,...* en les supposant négatives , et les plus grandes possibles (abstraction faite du signe). Ces valeurs seront propres a vérifier des équations de la forme

c'est-à-dire