F (*D) H- (M-eAja - M(û» A
xQ-\-a +F(j?0 + a) + (6-+- ©AxX*,— a)
= M(o, A,), ete.,
Xo -H Q\ -+-F (*0 -+-««) 4- (0 -+- eA3)(aa — a,)
tandis que les nombres 0 et 0 resteront compris entre le* limites o et 1 . Or on satisfait à ces conditions en prenant
a —a— A-[-to-t-a + F(x<'+<î)]— ' '' A.(A.-Hi)
et plus généralement
__ AM[jF0-HiJ^1+F(xo-4-aM I)]— i ' ~ «" ~ A.(A.+ i) "
Ajoutons que la valeur de «m deviendra la plus grande possible , abstraction faite du signe, si Ton choisit Am de manière k vérifier l'équation
et si Ton prend en conséquence
*o -h tf*«-*-F(ar0 + <*.,,)
«« = — «— «o— F(dP0-+-««-i)4-al/r i-i-JCo-+-ii^I-*-F(xo-»-««l), comme on a d'ailleurs, par hypothèse, x0=i, F(xQ) = o, on aura successivement
«..=— 3— F(i-+-«— O-f-aV/T-t- «,, + F(i -h ««»)> et Ton en tirera simplement
a=— 3-hal/â, <*,= — 3-+-F(i -ha) -+-2V/a-4-tf-f-F(i 4-«), etc.
Si, à l'aide de ces dernières équations et de la méthode exposée dans la leçon précédente , on détermine Tune après
l'autre les quantités i + «, i -f- a,, i + a„ , qui
remplacent x0 + a, ;r0 + ai9 x0 + «,,..., on obtiendra une série de termes qui décroîtront sans cesse, et qui convergeront vers une certaine limite. Désignons par X cette limite; on aura sensiblement, pour de trèsgrandes valeurs de m ,
et par suite
468 CALCUL IWTÉG1AX.
OU
donc la valeur particulière x = X rendra infinie la fonction
ce qui s'accorde avec la remarque générale que nous avons faite ci-dessus.
On ne doit pas s'étonner de voir que' dans certains cas la méthode d'intégration ne fournisse le moyen de calculer des quantités réelles propres à représenter les valeurs successives d'une intégrale particulière d'une équation différentielle donnée, qu'autant qu'on suppose les valeurs correspondantes de la variable indépendante x renfermées entre certaines limites. En effet, parmi les équations différentielles qui peuvent s'intégrer par des méthodes rigoureuses , il en existe beaucoup dont les intégrales particulières ne sauraient être étendues à des valeurs quelconques de la variable x, en demeurant toujours réelles. Telle est, par exemple, l'équation
dx dr = — =~.
Si, après l'avoir présentée sous la forme
on intègre ses deux membres en assujettissant y à s'évanouir pour x = i, on trouvera
et par suite
X = 1CÏ — y — i .
VINCT-SEPTIÈME LEÇON. faKf
Or il est aisé de voir que le second membre nie cette dernière équation admet une valeur minimum déterminée par la formule ae7 = i de laquelle on tire
r= —12=^—0,6931..., ' et par suite
x = la = 0,693 1 . . .
Donc si Ton désigne par y = F (je) l'intégrale particulière que fournit l'équation
cette intégrale ne pourra pas & étendre, sans cesser d'être réelle, a des valeurs de x plus petites que la limite x = la, à laquelle correspondent une valeur nulle de
et une valeur infinie de
Ces considérations directes nous ramènent donc aux conclusions précédemment établies.
Limite des erreurs que Ton peut commettre en se serrant de la méthode exposée dans les leçons précédentes pour le calcul numériqat des Intégrales particulières d'une équation différentielle du premier ordre.
167. La fonction y étant assujettie à vérifier l'équation différentielle dy=f(x,y)dx, et à prendre pourx= x0 la valeur particulière yQ, si Ton demande , non pas l'intégrale générale, mais une nouvelle valeur particulière de y y par exemple celle qui correspond à x = X \ cette valeur différera très-peu de la quantité Y, déterminée par les équations
r« ~ r<> = (*« — *o)/(*o, fo), y* — Xi = (*» — *i)/(*i» r0>
pourvu que Ton attribue aux éléments de la différence X — xt), c'est-à-dire aux quantités xt — xoy xt — xlv.., X — ;*:„!, de très-petites valeurs numériques, et si l'on t d'ailleurs
la quantité a étant choisie de manière à remplir les conditions énoncées dans la leçon précédente. De plus, comme pour passer de la quantité Y à la valeur cherchée
VIKCT-HUITIÈMB LEÇON. ifl I
de y^ il suffira de subdiviser les différences xt — #0, x, — Xj,. . . en éléments infiniment petits, il est clair que si Ton remplace cette valeur par Y, Terreur commise en plus ou en moins sera représentée (n° 161) par une expression de la forme
± eKi (X — x0):
cette erreur sera donc inférieure à KHc , H désignant la valeur numérique de X — xoy K l'exponentielle e , et e une moyenne entre les nombres c0, cft, . . . , fn i, déterminée par des équations de la forme
±i.=/[x*+ *(*.,+,— xm), r.rheAf*.*,— *«)]— /(*«, ym).
Cela posé, concevons que chacun des éléments de la différence X — x0 soit renfermé entre les limites db h , h étant une quantité positive: Les nombres e0, et,...., f„t ne surpasseront jamais la plus grande valeur numérique que puisse recevoir la quantité
tandis que Ton fait varier x et x ±l Oh entre les limites Xo, X; y et y ±1 0AA entre les limites yQ,y0 ± 0Àa; enfin 0 et 0 entre les limites o et i. Donc, si Ton nomme D cette plus grande valeur, t restera toujours inférieur à D et Terreur commise au produit KHD.
Ajoutons , i° que le produit ôh devra être affecté du signe ■+- ou du signe — , suivant que la différence X — x0 sera positive ou négative ; a° que le double signe placé devant le produit 0AA devra être réduit au signe + ou au signe — , suivant que la quantité a vérifiera la première ou la seconde des équations
f(x0 -M*, fo -h ©A*) = M(o, A), / (*o H- *«, Xo — 0A*) = M(o — A),
4l* CàlCVh IlfVéGJUdL.
168. 0 est très-facile d'obtenir un nombre pluâgnusi que D quand, pour toutes les valeurs des variables x, j comprises entre les limites x0, x^-J-a, ^0 — Aa, j^o-MUj
la fonction y(x, y) = * . reste finie et continue
aussi bien que les fonctions,/* (x, y) et % (x, y). Admettons en effet cette supposition et désignons par B, C deux . nombres égaux ou supérieurs aux plus grandes valeurs numériques que puissent obtenir les fonctions ç(x, y), X(x, y)y tandis que x et j varient entre les limites doat il s'agit. La dérivée de la fonction
f(x±M, y±&AA)-/(x, y)
par rapport à A, savoir,
± 0?(* ± BA, y ± eAA) ± 0À;c(* ± M, .T ± ®A4),
aura évidemment une valeur numérique inférieure a la somme B + AC , et Ton doit en dire autant de toute expression dans laquelle se changerait cette dérivée si Ton y multipliait le nombre h par un coefficient plus petit que l'unité. Or, en vertu de Féquation
FW-/(o)=FW h
le rapport — — — - — t v J ' est égal a une
expression de cette nature -, donc la plus grande valeur
numérique de ce rapport. ou la fraction -r sera inférieure
elle-même à la somme B-f- AC , et le nombre D ne pourra pas surpasser le produit (B -f- AC)A. On trouvera dès lors, pour limite de Terreur commise, (B+ AG)KHA 00 (B + AC)H<?^H/i. En supposant toujours que la quan-
VINGT-HlITlfeME LBÇO». 4*3
lité a vérifie Tune des deux équations
f(x0 ■+- Oa, Xo -h ©A») = M(o, A), f\x0 -t- Ôa, y0 — ©A) = M(o — A),
on pourra prendre pour B et C les plus grandes valeurs numériques que reçoiventles fonctions <f(x9 y) et xC^.jO» tandis qu'on y fait varier x entre les limites x0> x0 + a, et y entre les limites y09 yQ 4- Aa, ou y0 et y0 — A«.
Si la fonction <p (x, y) devenait infinie pour x = xQ , la quantité B étant alors infinie, on ne pourrait plus, à l'aide de l'expression qui précède , évaluer Terreur commise, quelque petite que fût d'ailleurs la différence X — xQ •, mais, dans ce cas même , il sera ordinairement facile de déterminer un nombre supérieur à D, par la méthode que nous allons indiquer.
Si, après avoir remplacé h par t dans l'expression
± fy (x ± ôh, y ± 0AA) ± 0A*(* ±04, y± 0A/«),
et multiplié cette expression par rit , on intègre le produit entre les limites t =z o, t = A, l'intégrale qui en résultera,
h [±0?(x±0f, y±eAt)±QA%(x±:6t, y ±0Af] dt,
sera précisément équivalente à
f(x±Qk, r±0AA)-/(x, y),
B et 0 étant pris avec le signe -f- ou avec le signe — , sui-* vant que l'une ou l'autre des conditions dont nous avons déjà parlé sera satisfaite. Soient maintenant f (t) la fonction comprise sous le signe / dans l'intégrale , et T une autre fonction de t qui reste constamment positive et supérieure à la valeur numérique de f (i) entre les limites t = o, t= h. Comme entre ces limites les deux binômes
4l4 CALCUL IHTÉGRÀL.
T — f(f), T +f(t) conserveront toujours des valeur» positives, on pourra en dire autant des deux intégrales
f*[T + f (')]*= f*Trfr+ r*f(r)*,
et par conséquent l'expression / f (t) dt aura une valeur
numérique inférieure à la quantité positive l TA; il sera donc permis de substituer au nombre D l'intégrale f Tat, et la recherche de ce nombre se trouvera réduite à celle de la fonction T.
169. Lorsque, pour des valeurs des variables x, y renfermées entre les limites x0, x +a, yQ — A/i, jp0 + Afl,. les deux fonctions af (x, j), ^(x, y) conservent toujours des valeurs finies et inférieures aux nombres B et C , la valeur numérique de f(f) ne surpasse pas la somme B+AC, et en substituant cette somme à la fonction T, on réduit
l'intégrale / Tdt à l'expression (B + AC)/t.
Lorsque y(x, y) devient infinie pour x = x0, la fonction T ne peut plus être remplacée par la somme B-I-AC, ni même par une quantité constante. Supposons, par exemple ,
/(*, y) = /, (*, y) -h (x - XofAix, y),
ul représentant un nombre inférieur a l'unité , et/i (x, y)^ f*(x,y) deux fonctions nouvelles qui conservent, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, des valeurs finies pour x = x0. Soient en outre yt (x, y)^ y»(x, y)} X*(xi y)* X*(x' y) 'es dérivées des fonctions J\ (x, y),
f* (x* j) Par apport aux deux variables x^y\ et Aj, A, -, ' Bt, Bt \ Ci, Ct des nombres' égaux ou supérieurs aux plus grandes valeurs numériques que ces fonctions ou leurs dérivées puissent acquérir entre les limites x = x0, x = xQ + a\y = yQ — ka, y=yQ + ha; on aura
f(*)=±^l(*±(r, r±0A/)±0A^,(x±^, r±9Af)
+(x— xodbfc)^^*^/, 7±eA/)zteA^,(x±er,7±eA/)]
U reste à trouver une fonction T qui demeure constamment positive et supérieure à la valeur numérique de f(f), tandis que Ton fera varier t entre les limites o, h ;. 0 et 6 entre les limites o et i , x et x ±l Qt entre les limites xoy X; enfin y et y dt 6A* entre les limites jrQ — Ka j yQ + Ka \ en plaçant devant le nombre 0 le signe qui appartient à la différence X — x0 , et considérant par conséquent x — x0 et dt 0f comme deux quantités de même signe. Or il est facile de voir qu'on obtiendra une fonction de t propre à remplir toutes ces conditions si Ton remplace dans la valeur de f(t) les polynômes
dt:Bpt(x±:0t9 y ±eAt)±eAzt(x±Ot, .r±eA/), . =fc **>,(* ±6/, x ± SAf) ± eA*a (x ±ût, x ± «AI),
par les deux sommes B, + AtC, B, + AfC; la fonction /, (xdt0*, y±.&Kt) par A, \ la puissance (x ■<— xo±:0*)/* par la valeur numérique de (X — x0)u9 c'est-à-dire par
H'*; enfin le rapport ± \ par l'expression
4ié
-r^— = j***"1., à laquelle on peut anhritMr la m-
doit [i.t+~l. En conséquence, on pourra prendre.
T = B« 4- AC, 4- (B, 4- AC,)H* ^-^aA^-1, et Ton en conclura
JoT^=[Bf
H- AC.4- (B,4- AC,)H*]A -f- A.A*.
Si Ton avait supposé
on aurait trouvé
* (*> r ) = Ki (*» r ) -+■ (* — *o) 1 (*— *o) #> (*i r)>
et en raisonnant comme ci-dessus, on serait parvenu, pour de très-petites valeurs du nombre h , aux équations
T = B, -f- AC, 4- (B, 4- AC,)H* + A,(i+I A),
/ Tdi=z [BI4-AC1-H(B,4-AC,)H'1]A 4- AJklk.
Supposons enlin
/i (*> j0> /« (*> j0> /s (x, j), . . . étant des fonctions nouvelles qui conservent, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, des valeurs finies pour j' = x0, et u , y, w, . . . . , désignant des fonctions de la seule variable £. Si Ton représente par u, v, w les plus grandes valeurs numériques que puissent acquérir u, e, w, entre les limites x = x0, x = X; par ft (t), fj(*)» £(0» *
que deviennent u,"e, iv, . . . quand on y remplace x par
VIRGT-HUlTlkME LEÇOff. ' 4*7
x dt 6t , et par T,, T,, Tf , des fonctions positives de t qui , entre les limites t = o, t = A, surpassent constamment les valeurs numériques de f»(l), ft(*)> f$(*)j . . , , on trouvera, en conservant d'ailleurs des notations semblables à celles dont nous avons déjà fait usage ,
T=(B1-hACI)U + (B,-4-AC,)V-h...-4-AIT1-f-AaTa4-..., et par suite
j\dt = [(B, -h AC,)tJ + (Ba + ACa. . .)Y]h
rh /•*
-+-A, I T^-f-A.I Ta<fc + ...
Si Ton fait en particulier
X, /x, v étant des nombres inférieurs à l'unité, on aura
f *T<fr = [(Bx -t-ACt)Hx +(B,+ACa)H/*...>H- ÀaAx-HW^ +...
170» Concevons maintenant qu'on se propose de calculer la valeur de y correspondante à x = X avec un degré donné d'approximation, par exemple, de manière que l'erreur commise soit inférieure à une unité décimale de
l'ordre m , c'est-à-dire à f — J • Pour y parvenir, il suffira d'attribuer au nombre h une valeur telle que l'expression KHD ne surpasse pas ( — j , et par conséquent telle que Ton ait
puis de prendre pour cléments de la différence X— -x0 des quantités qui soient inférieures, abstraction faite du signe , T. u. *7
4l8 CALCUL IlfTtMUMU
à ce même nombre*Dans le cas où il sera permis de substituer an nombre D l'expression (B*4-AC)A, on vérifiera
— CH Inégalité qui précède, en supposant h <— ^——g .
171; Pour faire mieux comprendre lesprmfcipes que no» venons d'établir, appliquons-les à quelques exemples; et d'abord supposons que la variable y doive vérifier l'équation différentielle
dy = cos^t^^- Comme on aura
/(*> ?) = cos^-y^, f(x9 y)=X(x, r) = — isih^tZ, il est clair que les trois fonctions
resteront finies et continues pour des valeurs quelconques des variables xy y. De plus , les valeurs numériques de la fonction f{x^ y) et de ses dérivées étant toujours égales ou inférieures aux deux nombres i et \ , on pourra prendre A = i , B= C = £ , quelles que soient d'ailleurs les quantités représentées par x0, X et y0. Cela
posé, on conclura que, pour réduire au-dessous de -, — ^
l'erreur commise dans le calcul d'une, valeur particulière de y y il suffira de choisir h de manière que Ton ait
Concevons, pour fixer les idées, qu'on assujettisse lt variablej* à s'évanouir avec #, et que l'on* veuille obtenir , à un dixième près, la valeur de y correspondante à
oc = i , on aura dans ce cas
m = i, jr0 = o, Xo = o> X = i, X — x„ = H = i, A< 1(2,71828. . .p* = 0,2046...,
et Ton pourra affirmer que Terreur commise sera inférieure à -n si chacun des éléments de la différence X — xc est inférieure à 0,2046. . . . Cette condition sera remplie si Ton partage X — x0 = 1 en cinq éléments dont chacun soit égal à 0,2. Faisons, en conséquence,
*i = 0,2, x% = 0,4, 4?3 = 0,6, *4 = o, 8, . . . ; les formules établies ci -dessus nous donneront
>,2 H-o,2cos(5°,o9) =0,399..., ^-j-î=o,i5g8=(o,ioi7...)^,
3,399... -+- o,2cos(io°, 17)= 0,596..., X* ** =0,2393.. = (o,i5a3~.)- ,
0,596 ..+o,2cos(i5°,23) = 0,791..., fi±Zl=0,3i8i... = (o,2oa5...)-,
Donc la valeur cherchée de y différera très-peu du nombre 0,980. . . . , et si on la suppose égale à ce nombre, Terreur commise sera au-dessous d'un dixième. Il est facile de vérifier cette conclusion. En effet, on tire deTé-
quation dy = cos — -g^-dx
x+y , dx 10
dy -+-<£»= 2 cos* - r/x, -=■ = :
COS
puis, en intégrant les deux membres de manière que y
4ao calcul imtoiAL.
s'évanouisse avec x,
y==tang , x=z — x-4- ioarct*ngg.
Si maintenant on pose x = i, on trouvera
y = ioarctang£ — i =0,97395»....
Par conséquent, Terreur que Ton commettrait en prenant 0,980. . . pour valeur approchée de y serait inférieure à — et même à .
Si l'on considère l'équation
dx
on aura
xr
Or les valeurs maxima des rapporte t + x>t /g+Jijt
3|/3 étant représentées par les deux nombres 1 et — g—, il est
clair que ces deux nombres seront toujours supérieurs, le premier à la valeur numérique de la fonction f(x, y)% le second aux valeurs numériques des deux fonctions dérivées <f(x, y), x(x, y)\ on pourra donc prendre
A=i, B = C = ^p, B+AC=-^— ,
quelles que soient d'ailleurs les quantités #0, X etj^; on
en conclura que, pour réduire au-dessous de -. — rj l'erreur
commise dans le calcul d'une valeur particulière de y, il suffira de choisir h de manière à vérifier la formule
9(IO)"H On doit remarquer que l'équation dy = -— — — ■ — ; est
du nombre de celles que Ton ne sait pas intégrer par des méthodes rigoureuses.
Considérons encore l'équation différentielle
djr == tangfx* -f- y%)dx,
et supposons que la fonction j doive s'évanouir avec x : on pourra , par la méthode qui précède , calculer les valeurs particulières de y qui correspondent à des valeurs de x renfermées entre les limites
Xo = o,. Y = ± 0,7519.
Par suite, les valeurs numériques des deux fonctions
0(x, y) = 2*[i ■+- tang*(x* -+- j')], et
*(*> y) = ar[i H- tongV1 + y7)] ne surpasseront pas les nombres
B = 3,n57,..., et C = 2,3847...
Cela posé , on conclura que Terreur commise dans le calcul d'une valeur particulière de y sera inférieure à
( — 1 si Ton prend
-fio^H *
4&ft calcul imrtemAL.
Considérons enfin l'équation différentielle
et supposons que, la fonction j* devant se réduire à Punilé pour a: = o, on veuille calculer les valeurs de y correspondantes à des valeurs positives de x. Dans cette hypothèse, la formule
f(xn -f- Ba, x0 + eAfl) = M(o, A)
donnera
0a* -f-'(i -f- ©Au)* = M(o, A),
et Ton y satisfera quel que soit A, pourvu que l'on détermine la quantité positive 4 par le moyen de l'équation
«*-h(i+Aa)* = A.
Cette condition étant remplie, il est clair que si l'on prend X == a ou X<« , la valeur dey correspondante à x = X se trouvera comprise entre les limites 1, 1+ A<i
et la valeur de la fonction ^(x, y) = — -^r entre les
limites o et j. Cela posé, les quantités désignées par Btt Ci, Bt , Ct dans la formule
[Bf + AC, -f- (B, -h AC.) H/4]/* -f- Ah* <
(ioj"H se réduiront à
ct Ton tirera de cette formule
ou , ce qui revient au même ,
^ + •)• < jï£Ï + ».
et par suite
^ r a*-*H ni
A'+I<L(7^Â1+,J' /'<*+(ï^-2L(7^ÂH-h,T
Si, pour fixer les idées, on suppose a = X = H, l'équation
a* -f- (i -h Aa)ï = A deviendra
ou
H* + (i -f- AH)*= A, [(i -f- AH)? — ±h]* = i + Hî - |H»,
et Ton en conclura, en extrayant les racines positives des deux membres ,
(i -h AH)* — *H = [ i H- H* - iH»fc
à l'aide de cette valeur de A , on obtiendra la condition à laquelle il suffit d'assujettir le nombre h pour que Terreur commise sur la valeur de y correspondante à x = X = H ne dépasse pas (70) m-
1 72. La méthode que nous venons d'exposer a l'avantage de démontrer qneyn converge vers une limite fixe lorsque x croit indéfiniment, et qu'il y a une fonction y qui satisfait à l'équation différentielle. Si l'on admettait à
priori que la fonction y existe, rerreur commise peut être réduite à moitié. En effet , la valeur de y correspon- • dant à xn+i peut être mise sous la forme
or la valeur approchée de y, d'après la méthode, est donnée par l'équation
/«+, = X» + /(*., Xm)h.
Ainsi la seule sous-division à l'infini de la différence x^x — xn fait varier yH de la quantité
