H- M. X ± *AA

qui est inférieure à (B -f- AC) — : c'est la moitié de ce

qu'on avait adopté par la marche précédente ; on peut donc poser en général , en désignant Terreur par e ,

. < l^£ [ iL±^:^±y

173. On peut, à l'aide d'autres méthodes, effectuer, par approximation, l'intégration des équations différentielles du premier ordre. Ces nouvelles méthodes méritent même la préférence, parce qu'elles resserrent les limites entre lesquelles les valeurs des inconnues se trouvent comprises. Concevons toujours que, la fonction y étant assujettie, i° à vérifier l'équation différentielle

djr = f(xt x)dx\

2° à prendre la valeur particulière yQ pour x = jc0, on demande une autre valeur particulière de y, savoir, celle qui correspond àx = X. Supposons d'ailleurs, que

X soit renfermé entre les limites xQ , xQ + a } enfin désignons par y = F(x) la fonction inconnue de x propre à remplir les deux conditions ci-dessus énoncées. Cette fonction, ainsi qu'on Fa déjà remarqué, croîtra ou décroîtra toujours depuis x = xQ jusqu'à x = X sans pouvoir dépasser la limite j0 + A«, ou yQ — Aa. De plus, comme on aura

d¥(x) =f[x,T(x)]dx,

on en conclura , en intégrant,

F(X)-F(*0) = rX/[*, Y(x)]dx.

L'intégrale du second membre est équivalente à la .différence X — x0 multipliée par une moyenne entre les diverses valeurs que reçoit la fonction f[x, F(x)] , tandis que Ton fait varier x entre les limites #0, X, ou, ce qui revient au même, par une moyenne entre les diverses valeurs que reçoit la fonction f (x, y), tandis que l'on fait varier a: entre les limites a:0, X, et y entre les limites F(x0), F(X)-, comme cette moyenne peut être représentée par une expression de la forme

/Ot + *(X-*.), F(*.)+e[F(X)-F(*.)]f

0 et 0 désignant deux nombres inférieurs à l'imité , on aura , en écrivant yQ au lieu de F(jr0),

F(X)-7o=(X-a:0)/{x0-h©(X-x0), ro-h0[F(X)-F(xo) } .

Cette équation , sans donner la valeur exacte de la quantité inconnue F(X), fournit le moyen de substituer aux limites y0, yQ ± Aa , d'autres limites souvent très-rapprochées entre lesquelles cette quantité se trouve comprise. Admettons, par exemple, que la fonction F (x)

4*6 calcul mteiii.

étant assujettie , i° à vérifier l'équation différentielle

2° à s'évanouir avec x\ on demande la valeur de F (x) correspondante à x = i : on aura

Les nombres 0 et 0 devant rester compris entre les limites o et i , on reconnaîtra facilement que la valeur de F(i) est positive, qu'elle diminué tandis que Ton fait croître les nombres 0 et 0 , enfin qu'elle est comprûe entre les valeurs de Y fournies par les équations

/' + Y\ Y = coso, Y = cosf — = — J.

La première de ces équations donne immédiatement

quant à la seconde, on la résoudra facilement, et Ton trouvera

La demi-somme de ces quantités , savoir 0,963 . . . , est donc , à moins d'un dixième , la valeur cherchée de Tinconnue F (1).

Si dans le calcul de F(X) on veut augmenter le degré de l'approximation , il suffira de substituer à l'équation

F(X)-j0=(X-*0J/{*.+* (X—r0), ro-he[F(X)-F(xJ]}

un système d'équations de même forme. Entrons a ce .sujet dans quelques détails.

Si l'on désigne par xtJ xÈ,. . ., ar„i, n — 1 valeurs différentes comprises entre les limites x0J X, on tirera

VINGT-HUITIÈME LEÇON. 4a7

successivement de l'équation dF(x) = f[x, F(x)]dxy r. = {xx — x0)f { x0 -+- 9Q(xt — *•), .To H- ©o [ F (*,) — /„] } ,

?(*.)=(*. — *.)/{■*. + «,(*.— *«), F(*f)4-es [?(*,) — ?(*.)]}»

En raisonnant sur la première de ces équations comme on la fait sur l'équation

)-ro = (X-*0)/{*0-M(X-.r0), J.-f-e[F(X)-F(*.)]},

on obtiendra facilement deux limites entre lesquelles sera renfermée la quantité F(xt)\ ces limites obtenues, on tirera de la seconde des équations, de nouvelles limites qui comprendront entre elles la quantité F(#t), et, continuant de la même manière , on finira par déduire de la dernière équation deux limites de la quantité cbercliée F(X).

Si l'on applique cette méthode générale à l'exemple déjà cité, et que Ton partage la différence X — x0 = i en cinq éléments dont chacun soit égal à 0,2, on aura

2) = o,2.cos L -' ^ J'

4j — F(0,2) = 0,'2.COSf rg * *

5)-F(o,4) = o,,.cos j ^+FM)+o,^fl#,6HM)l | % Î)-F(.,6)= cxo. j ?fi+*(o#+«.*> +@3[F(o>8)-F(o,6)]^

I Vtn m- n , „J 0.8 + F(o,8)+Q,».84+e4[F (l) -F(o,8)] >

Comme les nombres 9,, ô„ . . . , 6,, 0„ . . . , sont tous inférieurs à l'unité , on s'assurera facilement que les valeurs <les quantités F(o.a). F(o,4). F(o,6). F(o,8), F(i).

4a8 CALCUL MTfeUUL.

fournies par les équations qui précèdent sont renfermai entre les valeurs àeyu yt, y%, ykr Y, données par la deux systèmes d'équations

yx = o,a.cos(o,a), yt ss o,a.cosl — g— =-lf

y> — 7« = o,*.cos^ — g-^-J , r.— r« =o,a.cos f s h

J3— r» = o,2.cos(-^g J, .rs— r, = o,i.co*r 5 11

74— 73=o,2.oos( — g-^-J* 74— ri=o,«.co»(-^-jpi2Jl Y — r4=o,a,cosr^-^î\ Y— yA= o,a.cos(i-± — j.

On tirera successivement du premier système

7« = °,s, 7> = 0,39936, yi = 0,59681, 74 = °*19l 10> Y = 0,98106;

du second

Si Ton prend la demi-somme des nombres 0,98106 et 0,96598, savoir 0,9735 pour valeur de l'inconnue F(i), Terreur commise sera inférieure à la demi-différence