Reprenons encore l'équation

dy = /(*> y)***

et supposons que la fonction f(x, y) croisse ou décroisse constamment , tandis qu'en attribuant à x une faleur fixe comprise entre les limites xoy X, on fait varier y depuis^ = y0 jusqu'à y = y0 + Aa.

VIWOT-HTJITIÈME LEÇON. 4?9

Désignons d'ailleurs par F{x, y) + C la valeur de l'intégrale indéfinie f /(x, y) dx , dans laquelle la variable y est considérée comme constante : observons enfin que , dans le cas où trois fonctions de x représentées par u9 f, w , vérifieront les conditions u > u et v < w pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = x0, x = X ; la seconde des trois intégrales fudx, Jvdx, Jwdx obtient une valeur moyenne entre celles de h première et de la troisième. Comme entré les limites dont il s'agit, la fonction f[x, F(x)] reste constamment inférieure à Tune des expressions

et constamment supérieure à l'autre , l'intégrale aura une valeur moyenne entre celles des expressions

ïXf[x, F(X)]dr = F[X, F(X)] - F[x09 F(X)], */[*, F(x0)]^r = F[X, F(x0)] - F[x0, F(xc)],

d'où il résulte qu'elle pourra être représentée par une antre expression de la forme

,X/{x,F(*0)-H«>[F(X)-F(*„)]} dx

'{X, F(x0) + 6[F(X)-F(x.)]} - F{*0,F(x0)+e[F(X)-F(x0)]}. Donc, l'équation

i)-.r0 = (X- *.)/{*„ -M(x-*„), ro + e[F(x)-r0]}

pourra être remplacée par la suivante

43o CALCUL IHT*0»AL.

i P(X)-FW =F{*> F(^)+elF(X)^F<*i)]f W « -F{x.,F(*.)+e[F(X)-FM]}î

on trouverait de même

/F(x,)-F(x„)=i!-{*I> F(*0)+e,[F(*.)-F(x0fl} l -F{x0,F(x„)4-e,[F(x1)-F(x^]},

lF(X)-F(x„,)=/;,{X,F(x^1)+efc.,[F(X)— F(*,)]l

\ —r{xm„T(xm j+e^[V(X)— F(x,j]}.

à l'aide de ces équations on déterminera des limites socvent très-rapprochées entre lesquelles la valeur de F(X) se trouvera comprise. Concevons , pour fixer les idées, que l'on considère de nouveau l'équation

dy = cos^-y-£j<fc; un aura, dans ce cas ,

f{x,y) = cos(* * y y |cos(?L+l)rfj: = 5sin(^tZ) + C; on pourra prendre en conséquence

F(x, y) = Sûa(^-+J^y et l'on aura, en vertu de l'équation (a),

F(i) = 5sm x — ^ — 5sin — ^-* t

ou 7 ce qui revient au même ,

l*(i) = îosm^cos *-*.

Or , le uombre 0 devant toujours rester inférieur à l'unité , on reconnaîtra facilement que la valeur de F (i) , déterminée par l'équation qui précède , diminue à mesure que ce nombre augmente et demeure comprise entre les valeurs de Y fournies par les équations

Y = îosinf;, Y = sm-^cosf 1,

c'est-à-dire entre les quantités 0,9984, . . . , et o,g564v Si l'on prend la demi-somme de ces deux quantités , savoir 0,977 pour valeur de l'inconnue F(i), Terreur commise sera inférieure à la demi-différence

Si, au lieu de calculer directement F(X) ou F (1) par une seule équation , on voulait passer par les valeurs intermédiaires F (0,2), F(o,4)> > on aurait tiré des

équations (&)

, x . , , fO,2-f-20oF(o^)-]

F(o,?.)= iosm(o,o2jcos I I,

. n , x . , v io,64-aF(o,g)4-aeI[F(o,4)--F(o,a)]i ©,4)— -F(o,2)=iosin(o,o2)cos^ — p

0,6)— F(o,4)= iosin(o,o2)cos j - ~ J ,

.«„,*, . , x ( ' > i -+- aF(°>6) + 203[F(o,8) -F (o,4)] j 0,8)— F(o,6)= iosin(o,o2)cos 1 — * — — '■ j ,

, . , fiN . , , j ■ ,8+aF(o,8)-r-a04[F(i)--F(o,8)]t t 1 ) — F(o,8)= iosin(o,o2)cos j * — £ •

On s'assurera facilement que les valeurs de

F(o,2), F(o,4), F(o,6), F (0,8), F(i), déterminées par ces équations , croissent tandis que les

43a CALCUL INTÉGRAL.

nombres 0O, 0t, ©,, 0j, 0*, diminuent et se trouvent, par suite, compris entre les valeurs de yx , y*> y*, y» Y, fournies par les deux systèmes d'équations

7,= losin (0,02) cos 0,02), 7, = iosin(o,02)cos(o,02-H

— 7x=iosin(o,o2)cos(o,o6-{-o,?7I), 7, — 7l = iosin(o,oa)cos(o,o6+4 — ^ = iosin(o,oa)cos(o,io-f-o,2ja), 73—7,= iosin(o,o?)cos(o,io+< — 73 = losin (0,02) cos(o, 14 + 0,273), 74—73= losin (0,02) cos (0,14+1 — 74= losin (o, 02) cos(o, 18-4-0,274), Y — 74= iosin(o,o2)cos(o,i8+<

Le premier système donne

r, = 0,19994,..., 7, = 0,39892,. ., 73= 0,59568...., r4 = °>78899» ••» Y= «Mm65»-- 5

le second

yt = 0,19962,..., 7a = °>39766,..., 73 = 0,59289,..., 74 = 0,78413,..., Y = 0,97029,...,

et en prenant la demi-somme des valeurs de Y , on obtiendra, pour valeur approchée de F(i), le nombre 0,9739,..., avec la certitude que Terreur ne surpassera pas la demi-différence

£î97765-^.>97^? = ooo36

L'emploi des nouvelles formules a notablement diminué les limites des erreurs commises. En effet , cette limite, qui était d'abord j-0 , a été successivement réduite à 0,008, o,oo36. . .

Pour montrer une nouvelle application des dernières formules, considérons l'équation différentielle

dy = (.r* -h 7«Vx,

et supposons que, l'inconnue y = F(x) étant assujettie à s'évanouir avec x, on demande la valeur de y corres-

pondante k x = î . Comme la fonction dérivée

sera positive tant qu'elle conservera une valeur réelle, on peut assurer que la fonction F(x) sera toujours croissante avec x. De plus , il est clair que si Ton fait croître y sans faire varier x, la fonction x* -+- y* croîtra ellemême. Cela posé, l'équation (à) donnera

F(0 = i + [eF(i)]*,

ou, ce qui revient au même,

{[eF(i)]*-ie}» = ie-i-te",

puis, en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que la quantité 1/ — + ^ 0, supérieure à î©, ne peut devenir égale à ~ 0 — [0F (i)]*, on trouvera

Wtf - !• = Vf^l;- "<'> = % + î + v/f^f

Or, le nombre 0 devant être compris entre les limites oet î, la valeur de F(i) déduite de l'équation qui précède , restera elle-même comprise entre les limites correspondantes

-3 = 0,666 et -+g+v'- + -î=£+v/==a,ia40...

Pour resserrer les limites de F(i), il suffira de substituer les équations (b) à l'équation (a). Si , pour fixer les idées, on partage la différence X — xQ = î en io éléments dont ebacun soit égal à o,i , on tirera des équations (b) les valeurs des quantités

434 CALCUL INTÉOftAL.

et Ton reconnaîtra facilement qu'elles sont comprise] entre les valeurs de jri9 jrtJ . . . , y99 Y, fournies par ki , deux systèmes

yx = o,oo5-+-}[(o,i)*] -+-o,iVo,oo20 H- 7(0,1)»

X>— rI = o,oog-f-j[(o,a)»— (0,1)*]

-ho, i \/o,oo25 -h,r« H- } [(0,2)* — (o, 1 )*],

Y — r9 = o,oo5-H|[i — (0,9)*]