o,iV/c-,oo25-t-,r3 4-}[i

ou , ce qui revient au même, entre les valeurs

yx = 0,02108, yx = 0,07413, yi = 0,16127, yk = 0,1 fa;*

ys = 0,36624, J* = o>5oo89, /7 = 0,65226, ,?v = o,8oc^it

j, = o,o4i43, yx = 0,17368, yi = 0,20935, yk = o,3a55i,

ys = 0,46041, y6 = 0,61275, y, = 0,78176, y% = o,gp6fy

Si l'on prend pour valeur approchée de F(i) la demisomme entre les valeurs précédentes de jr, savoir, 1 , 28 ... , Terreur commise sera inférieure à la demidifférence 0,09. Ainsi l'emploi des équations (4) avec la division de la différence X — x0 en dix éléments • suffi pour déterminer, à moins d'un dixième près, Tune des intégrales particulières de l'équation

dy = (ar* -+- /*)<*r,

dont l'intégrale générale en termes finis ne] peut * déduire d'aucune des méthodes connues. -

ue de toutes les intégrales particulières ou singulières qui peuvent ppar tenir à une équation différentielle du premier ordre. — Proriétés de quoi ques-u nés de ces intégrales.

176. Toutes les fois que les deux fonctions f(x, y) et xy y) = Dr f (x, y) restent finies et continues dans

voisinage des valeurs particulières x = xoy y =yQ, ; méthodes exposées dans les précédentes leçons fourrent une valeur de y en x , savoir, y = F(jc),la- .elle étant fonction continue de x, au moins entre cernes limites , Tune inférieure , l'autre supérieure à xQ , lisfait à la double condition de vérifier l'équation dif- "entielle dy = f(x, y)dX) et de se réduire kyQ pour = xQ. Cette valeur de y est une intégrale particulière

l'équation proposée et elle est de plus, dans l'hypo-* kae admise , la seule fonction continue de x qui puisse nplir à la fois les deux conditions énoncées. Effective- ;nt, si une autre fonction F(x) + y(x) jouissait des ;mes propriétés, on aurait non-seulement

F'(*) =/[*, F(*)], F(x0)=ro,

lis encore F(x0) + <p(*o) =yQ, <f(xQ) = o,

436 CALCUL ÎWTÉeUAX.

0 désignant un nombre inférieur à l'unité, et par suite

D'ailleurs, si après avoir posé x = xQ + * on attribue à la quantitéi une valeur infiniment petite, ou, ce trai revient au même, si Ton fait converger x vers la limite *„

la fraction -~\ = ,, * , .[ finira par obtenir , comme

son numérateur, des valeurs sensiblement nulles, tandis que la fonction ^[a:, F (x) + 6<f (x)] convergera vers la limite %{x0 , j0); on aurait donc

î = oXx(*MJi).

ce qui ne saurait s'accorder avec l'hypothèse admise.

177. On peut cependant, même dans cette hypothèse, concevoir diverses fonctions de x qui, étant également propres à remplir les conditions énoncées, coïncident dans le voisinage de la valeur particulière x = x0, et divergent pour certaines valeurs de x sensiblement différentes de xa. Il peut même arriver que plusieurs de ces fonctions restent continues pour toutes les valeurs de x* Ainsi , par exemple, si l'on assujettit la variablej', i* à vérifier l'équation différentielle (x+i)dy — (ty+i)dbc=Oi a° à s'évanouir avec x , les deux fonctions continues

satisferont l'une et l'autre aux conditions prescrites. Comme le radical \^{x + if est censé représenter, dans tous les cas , une quantité positive , il est clair que la seconde valeur dey coïncide avec la première tant que Ton

ippose x + i positif, et se réduit à y = — i dans le s où a: -h i devient négatif.

Lorsqu'on permet à la variable y , considérée comme action de x, de varier d'une manière brusque pour cei> ines valeurs de x, il devient facile de la faire coïncider ccessivement avec plusieurs intégrales particulières. )ient en effet

r = F.(*), r=FI(*)f..., jr = Fm(x)9

usieurs intégrales de cette espèce. Si l'on veut quej: ïncide avec la première de ces intégrales, depuis = — oo jusqu'à x = xt ; avec la seconde depuis x = xt squ'à x = xt y • . . ; enfin avec la dernière , depuis = xm jusqu'à x = -+- oo , il suffira de supposer

= F, (g) -h ¥m(x) | F, (x) — Ffrp) a: — g,

F«fo — F«t (g) g — x,

n pourrait admettre que les fonctions F0(x), Ft(x),... présentent, les unes des intégrales particulières, les itres des intégrales singulières de l'équation

4r =/(■*> r)dxy

iquel cas la valeur précédente de j- coïnciderait succès-, cernent avec des intégrales de ces deux espèces. Ainsi , ir exemple , étant proposée l'équation différentielle

i reconnaîtra sans peine que la fonction

ïncide, pour toutes les valeurs positives de x, avi»

438 CALCUL IMTÉOlâL.

l'intégrale particulière y = x> et pour toutes ks 1 négatives de x avec l'intégrale singulière y = o.

Dans le cas où les fonctions ï*0 (x) * Fi(jr),.«* représentent des intégrales particulières , la fonction

doit être censée comprise dans l'intégrale générale de laquelle on la déduit, en attribuant à la constante arbitraire une valeur plus étendue. Soient ai effet

l'intégrale générale de l'équation djr = ffa y)dx, et C0, Ci, Ct, . . . , Cm les Valeurs particulières de la constante arbitraire C qui font coïncider cette intégrale générale avec les formules y = F0(jr), y = Ft (x),

Pour réduire l'équation jr = F (or, C) à la formule

y F, (x) +F« (x) ?«(*)- Fp(*) *-*, ,

il suffira de prendre

^ Cp-4- Cm , O — £q x — xi Cm — Cm^t X — Xm

* Vit-**)* " * \Z(x-x*Y

478. Soit maintenant j = F(x) unç. fonction quelconque dex propre à vérifier réquation<fy-==/"(,r, y)dx* Si chacune des fonctions f[x7 F(x)], xtx> F(x)l reste finie et continue pour toutes les valeurs possibles de x, ou du moins pour toutes les valeurs comprises entre certaines limites, on pourra prendre à volonté l'une de ces valeurs pour celle que nous avons représentée par xoy et, en conséquence, y=F(x) coïncidera, au moins pour des valeurs de x comprises entre certain»

limites, avec Tune des intégrales particulières que nous avons déjà considérées. Donc y = F (x) ne pourrait être une intégrale singulière ou une intégrale particulière toujours distincte de celles dont nous venons de parler que dans le cas où Tune des deux fonctions

cesserait d'être finie ou continue pour toutes les valeurs possibles de la variable x. Or cette condition ne peut être remplie que dans le cas où ces fonctions deviennent constamment infinies ou indéterminées-, et comme la fonction F'(x) = f[x, F(x)] ne saurait être constamment infinie sans qu'il en fût de même de F(x), nous devons conclure que si l'intégrale y = F (x) est toujours distincte de celles que Ton a considérées dans les dernières leçons, et si Ton n'a pas F(x) = zt oo, quel que soitx, la fonction F(x) vérifiera, pour toutes les valeurs de x, Tune des conditions

en d'autres termes, l'intégrale^ =F(,r) vérifiera l'une des équations

Si l'intégrale F (a:) ne devait demeurer entièrement distincte de toutes celles que nous avons considérées dans les dernières leçons qu'autant que la valeur de x resterait comprise entre certaines limites, on pourrait encore affirmer que cette intégrale vérifie l'une de ces trois équations, mais seulement pour des valeurs de xQ renfermées entre les limites dont il s'agit.

Si l'on applique ces principes généraux aux deux

44<> CALCUL JNTÉG&AL*

équations différentielles

dy = (£fdjr> àX =y\yd*, on trouvera successivement

/(*, r) =ri.r, *(*» r) = i+ir-

Les quatre fonctions qui précèdent ne deviennent indéterminées pour aucune valeur de la variable y considérée comme une fonction de x , mais la seconde et la quatrième deviennent infinies, et par conséquent l'équation

— - = o se trouve vérifiée quand on attribue à cette

variable la valeur y = o, laquelle est une intégrale singulière de F équation dy = ( - jdx, et une intégrale particulière de l'équation <£r = y\ydx. Supposons encore

y*dx

sin-

dans cette hypothèse, les équations de condition deviendront

sm-

ny sm -

cos-

sm* -

sin" -

vysm — h cos-

Les deux premières ne peuvent être vérifiées qu'autant que Ton aura - ; = ±: oo, y = o. D'ailleurs, si Ton pose

n désignant un nombre entier quelconque et c une constante indéterminée , on aura , à très-peu près , pour des valeurs considérables de w,

sin- /iV" sm — : — y «* ira

donc la valeur de y correspondante à n = oo, savoir, y = o, produira effectivement une valeur indéterminée

- du rapport — — . Il serait également facile, de prouver sin —

que cette valeur y = o vérifie la formule

arsin — h cos-

sma-

Ajoutons qu'elle satisfait, comme intégrale particulière, à

l'équation dy = — , qui a pour intégrale générale

sin-

x -f- C= cos-, ou y =

y ' 2/iît ± arc cos(x — Cj *

n désignant un nombre entier quelconque.

sina-

Quant à la formule = o, on en tirera

2rsin--Hcos~

sin- = o, - = ± nie, y = ± — . y y nw

Les valeurs de y fournies par cette dernière équation

y* dx siéront des intégrales singulières de l'équation dy = .

sin-

44* ~ CALCtJL IMTAUAL,

On doit feulement excepter la valeur y = o, qai pondàn=OD.

Si Ton avait considéré l'équation <$' = - ,

r*sin coi-

la formule f(x, y) = £ serait devenue

r*sui coa-

On y satisfait encore par la valeur y = d considérée comme limite d'une valeur de la forme

mais, dans le cas présent, la valeur j- = o est une intégrale singulière de l'équation diiTérentiellc proposée, qui

a pour intégrale générale j" sin- = x -+» C.

179. Quoique bien différente des intégrales particulières que nous avons considérées dans les précédentes leçons, la formule y = o peut se déduire de la méthode fondée sur l'emploi des équations

yx — jo = (*i — *o)/(*oi /o).-. etc.

En effet, si l'on suppose généralement que f(jxy y) s'évanouisse quel que soit x pour une valeur nulle de j, on tirera de ces équations, en prenant yQ = o,

yx = yo = o, y% = yx = o, Y = jrM — o,

puis, en écrivant j" au lieu de Y, on obtiendra l'intégrale cherchée y = o. Ajoutons que cette intégrale se trouve comprise dans la formule y = £, à laquelle on parvient en opérant toujours de la même manière dans

VIWGT-NEim^ME LEÇOtf. 44$

lé cas où une valeur nulle de y rend indéterminée la fonction f(x, y).

Il est essentiel d'observer que la fonction représentée par x(xf y) est précisément ce que devient le coefficient

dy' différentiel -—- quand on y considère^' comme une fonction de x et de y déterminée par la formule

De cette observation, jointe à ce qui précède, on conclut le fait énoncé par d'autres géomètres, que l'un des caractères des fonctions singulières était de rendre infini

dy' ou indéterminé le coefficient différentiel -f-.

Remarquons enfin que, dans le cas où l'équation

dy =/(*, y)dx

a pour intégrale singulière la formule y = o, et pour intégrale particulière une autre valeur de y qui s'évanouit avec x — x0, sans être constamment nulle, on peut déduire ces deux valeurs de y des équations

yx — y0 = {*t — *o)/(*o, y0), ( r* — Xi = (** — *i)/(*i > r«).

etc.,

savoir, la première valeur en prenant pour y0 une quantité rigoureusement nulle, et la seconde valeur en prenant pour y0 une quantité infiniment petite.