Si l'on proposait d'intégrer, non plus l'équation

dy =/(*, y)dx,

mais

lis la suivante / f .r, j, -^ j= o, il suffirait, pour obtenir la fonction ^ {x , y) , de tirer la valeur de y' en x de l'équation f(x, j, y) = o. D'ailleurs, si l'on désigne

444 calcul. inxtetAL.

par •

*(*>.T. r')i *(*. y, y'.), *(x, r, jr.')

les trois dérivées partielles de f(x9 y9 y) par rapport aux trois variables x, yt y\ les valeurs de y9 et de*

j-i tirées de F équation f(x, y, y') = o, vérifieraient

évidemment l'équation

rfr X(x r y')

ou~ = — ■/ ,;. Par conséquent, si Ton ïxw

de l'équation dp z=af(x9 y)dxk l'équation

les formules

devront être remplacées par les suivantes

dans lesqueUes il faudra considérer y' comme une fonction des variables x et y déterminée par l'équation

Concevons, pour fixer les idées, que cette dernière équation se réduise ky = xy' +f(y'), on aura^

dy' .

dy^~

la condition -7- = 00 deviendra

et F élimination dey' entre cette équation et l'équation

donnera les intégrales singulières de l'équation proposée. 181. D'après ce que nous venons de dire , pour- obtenir les intégrales singulières de l'équation différentielle

il suffit de chercher les valeurs de y en x qui auront la propriété de rendre l'une des fonctions y (x, y) , fj^pç, y)

indéterminée ou de vérifier la formule —. r = o, et

qui satisferont en même temps à l'équation

De plus , comme les valeurs de y en x qui remplirent cette double condition pourront être, ou des intégrales singulières, ou des intégrales particulières, il faudra trouver un moyen de distinguer ces deux espèces d'intégrales. Cette distinction ne présente aucune difficulté dans le cas où l'intégrale générale est connue ; dans le cas contraire on peut l'effectuer à l'aide des propositions suivantes :

icr Théorème. Pour décider si une valeur r = F {x) est une intégrale particulière ou singulière de l'équation

dy =/(*, y)dx,

il suffit d'examiner si z = o est une intégrale particulière ou singulière de l'équation

dz = {/[*, F(x) + z] -/[*, F(x)]}dx.

En effet , y = F(x) devant , par hypothèse , vérifier l'équation dy z=f(x> y)dx, on aura

d.F(x) =z f[x, F(x)]dx.

44^ CALCUL IH^ÉOBàL. '

Soit d'ailleurs F (a.-, j) = C l'intégrale générale defc quation donnée ; si Ton pose dans cette équation

y = F(x) + g, et si l'on a égard a la formule

</F(x) = /[*, F(*)]dx,

on obtiendra l'équation

dz = {/[*, F(x) -h 3] -/[*, fï*)]}^»

à laquelle on satisfait en prenant z = o, et qui aura pour intégrale générale

Or il est clair que y = jF(x) vérifiera l'équation lorsque z = o vérifiera l'équation

c'cat-41-dire lorsque la fonction F [x, F(x) -+• z] se réduira d'elle-même à une quantité constante. En d'antres termes, y = F(x) sera une intégrale particulière de l'équation (i) lorsque z = o sera une intégrale particulière de l'équation

dz = {/[x, F(x) -f- *] -/[x, /Y*)]}^

et réciproquement. Donc, etc.

Corollaire. Comme il est indifférent de représenter la fonction inconnue de x propre à vérifier cette dernière équation par la lettre z ou par la lettre jr, il résulte évidemment du théorème qui précède , que, pour déterminer la nature de l'intégrale y = F(x) appartenant à une équation du premier ordre entre les variables x et y , il suffit de déterminer la nature de l'intégrale jy = o appar»

tenant à une autre équation différentielle du premier ordre entre les mêmes variables. Ainsi , la question peut toujours être ramenée au cas où Ton aurait identiquement Ip(x) = o ; ajoutons que, dans ce dernier cas, elle se résout immédiatement à l'aide des théorèmes que nous allons énoncer.

2me Théorème. Soient a et 6 deux quantités infiniment petites dont la seconde est tellement choisie que la fonction f(x , y) conserve constamment le même signe entre les limites y = a , y = g , si la valeur y = o vérifie comme intégrale singulière l'équation

l'intégrale définie I -7.7— — \> prise par rapport à la seule

variable y entre les limites dont il s'agit aura ellemême une valeur infiniment petite.

Démonstration. Représentons toujours par

l'intégrale générale de l'équation dy = f (.r, y)dx, et soient d'ailleurs 4> (a:, y), X(x, y) les deux dérivées partielles de la fonction F(x, y) par rapport aux deux

du du

variables x et y. De l'équation connue—- = -~ ,eny remplaçant u par F(#, y), N par l'unité, et M par — f{x^y)^ on tirera

Cette dernière formule étant identique , si l'on intègre . ses deux membres par rapport à la variable y entre les limites y = a, y = 6, on trouvera

448 CALCUL IRTÉORAU ■

si d'ailleurs on représente par 0 un nombre îp£érieori l'unité , on aura

et par suite

»6 dy F(.r, «) - F(«, g)

De plus, jr = o étant, par hypothèse , une intégrale fin» gulière de l'équation dy = y(x, y)dxy ne pourra vérifier l'équation F(jc, y) = C\ en d'autres termes, l'expression F (je, o) ne pourra obtenir une valeur finie et constante, ou bien une valeur constamment infinie. Donc F(x, o) devra être nécessairement une fonction finie de la variable #, et sa dérivée

se réduira elle-même à une fonction finie dex ou, tout au plus, si la fonction F(x, o) est linéaire, à une constante finie

différente de zéro. Par suite, le rapport -~ - — ' Tj}' ' *;,

s'évanouira pour 6 = a = o ; d'où l'on conclut, en admettant la continuité des fonctions F(x, j), 4>(j:, y) dans le voisinage de y = o, que le rapport dont il s'agit

et l'intégrale / j~- — - équivalent à ce rapport, obtiendront, en même temps que les quantités a, S, des valeurs infiniment petites.

3me Théorème. Si, la formule y = o étant propre à vérifier l'équation dy =r /(#, y)dx, l'intégrale

J jr, r obtient une valeur infiniment petite , y = o

sera uue intégrale singulière de l'équation différentielle proposée.

VINGÏ-NEUVIÈME LEÇON. 449

Démonstration. Supposons en effet que cette intégrale ait une valeur infiniment petite, l'intégrale définie

/ f( * ., que Ton déduit de la première en substituant y à 6, ne pourra être qu'une fonction finie et déterminée des variables x et y, et Ton devra en dire autant de l'intégrale / f( ., que Ton obtient en remplaçant la quantité infiniment petite a par sa limite , c'est-à-dire par zéro. Cela posé , soit

./Irr '<*>"•

Désignons d'ailleurs par £ une valeur particulière de x, et par y = F (x, C) l'intégrale générale de l'équation dy = f(x, y)dx, on aura identiquement

rfF(x. C) = /[*, F(x, C)]dx; dy

puis, à cause de / , . = f(x, y), ' dy

Kfh)-^^ rff(^')=?(fc)'

rfrri vi* ri- rfF(x> c) rff[«, f(x, C)/[|jP(jt> c)],

et par suite rfftf, F(x, C)] = ffi^ *<*' gjfe. On ri-

rera de cette dernière , en désignant par h un accroissement arbitraire de x , et par 9 un nombre inférieur à l'unité.

45o. CALCUL INTÉGRAL.

puis» en posant £ = x •+- 0h9 on trouvera, quelles que soient les quantités x, h et G ,

H est maintenant facile de prouver que, dans l'hypothèse admise, y = o est une intégrale singulière; car, sj Ton pouvait déduire cette intégrale de la formule y = F(x, C)9 en attribuant à la constante C une valeur particulière c, il suffirait de prendre C = cpoor réduire la dernière des équations qui précèdent à la suivante

A = f(x -h 0A, o) — f(x -+- ÔA, o) = o;

et cette dernière ne pourrait évidemment subsister, la valeur de h devant rester arbitraire, qu'autant que son second membre, au lieu de se réduire à zéro, comme il arrive toujours quand f (x, y) désigne une fonction finie , se réduit à £ , ce qui arrivera nécessairement si

la fonction f (x, y) = / f * devenait indétermi-

née ou infinie. A la vérité , y = o ne vérifie l'équation <ty = f(x> y)dx que dans le cas où la fonction /(x, o) obtient une valeur nulle ou indéterminée ; et' comme alors le second membre de l'équation

f[f, F(* 4- A, C)] - ffe, F(xf C)]

se réduit à 2 , il semble, au premier abord; qu'on ne devrait pas étendre l'équation

f[x-f-6A, F(*-f-ôA, C)] — t[x + $k, F(x, C)] = k

à une* intégrale particulière de la forme

nuis, pour s'assurer que cette extension est légitime, il suffit d'observer que cette équation subsistant pour toutes les valeurs de C différentes de c ne cessera pas d'être vraie tandis que C convergeant vers la limite c, la différence C — c deviendra infiniment petite; d'oà il est permis de conclure que cette équation subsistera encore quand la différence C — c deviendra rigoureusement nulle.

182. Il suit des théorèmes ame et 3œe , que, pour décider si la valeur y = o vérifie comme intégrale singulière ou comme intégrale particulière l'équation

dr = /(*. ?)<**> il suffit d'examiner si la valeur de l'intégrale définie sinf/ x, x étant considérée comme une con-

stante , est ou n'est pas une quantité infiniment petite ; a et 6 sont d'ailleurs, comme on l'a déjà dit, deux valeurs de y infiniment petites telles que dans l'intervalle 6 — a , la fonction /(#, y) ne change pas de signe.

Si l'on considère, par exemple, les équations différentielles dy = (-)dxf dy = ylydx, déjà traitées dans la précédente leçon , on trouvera que l'intégrale

f.J .se réduit, pour la première, *à la quantité

infiniment petite

fi(jf+-*V-J),

pour la seconde , à l'expression indéterminée

459 CALCUL INTéatiL,

donc y =s= o est une intégrale singulière de la première de ces équations et une intégrale particulière de la seconde. C'est, au reste , ce que nous avons déjà reconnu à l'inspection des intégrales générales de ces équations différentielles.

Considérons maintenant une équation différentielle dont l'intégrale générale ne puisse être obtenue sous forme finie, par exemple

dy = (y ■+• sin/)(x -h ly)dxt

on aura

f< dy /'« <ty /•* i ^

j«A*,y)~~J*{*+ir)(y'-+-à*y)'~~ j f | *V, | "^V1/

Pour que la fonction comprise sous le signe f ne change pas de signe entre les limites y = «, y = G supposées infiniment petites, il est nécessaire et il suffit que ces limites soient deux quantités de même signe : supposons cette condition admise ; on aura , en vertu d'une formule connue ,

y désignant une valeur de y comprise entre les limites a et S, et par conséquent très-rapprochée de zéro. Or on a sensiblement

, x x siny

ly lo ' y •

Donc l'intégrale définie se réduit, à très-peu près, à

£l— -, cette dernière expression étant indéterminée pour

des valeurs infiniment petites de a et de S, y = o sera une intégrale particulière de l'équation différentielle proposée -

En ayant égard au premier théorème et raisonnant sur l'équation dz = {f[x, F(x)+z]—f[x, F(x)]\dx, comme nous venons de le faire sur l'équation

'(r = /(•*, x)dx> ou établira immédiatement la proposition suivante.

4me Théorème. Pour décider si la formule y = F[x) vérifie comme intégrale singulière ou particulière l'équation efy = f (a:, y)dx, il suffit d'examiner si la valeur de l'intégrale définie singulière

/*« dz

Ja /[*, F(x) -f-s] -/[*, F(x)]

est ou n'est pas une quantité infiniment petite, x étant considéré comme une constante -, a et 6 désignant deux limites infiniment petites de z entre lesquelles la fonction comprise sous le signe f ne change pas de signe.

Corollaire icr. 11 est clair que, dans ce théorème, on peut, sans inconvénient, substituer à l'intégrale ci-dessus

fF(x)-hC dy

l'intégrale équivalente / r-. r ^ «7-7--, •

& M Jf(x) + St f{x% y) — /[r, F(x)]

Corollaire 2int. Le rapport 7-= . > — r — — — — -,

pouvant être considéré comme le produit des deux facteurs

/l-r, /■'(*) + z] -/[*, F(x)Y z' et l'intégrale singulière / — étant équivalente à 1 -,

l'intégrale ci-dessus peut être remplacée par l'expression

f désignant une valeur infiniment petite de s comprise

entre les limites a et 6. Or, la quantité 1- étant indéterminée pour des valeurs infiniment petites de ce et de 6 , cette expression ne pourra devenir infiniment petite

qu'autam que le rapport/[x< ^ + ^ f^ ^

deviendra lui-même , ou nul, ou indéterminé pour Ç =o: d'ailleurs, comme ses deux termes s'évanouissent avec f, sa véritable valeur correspondante à{=o sera équivalente à celle de la fraction — = rrr-r =* , c'est-Jhfire.à -

la quantité -= WTr Donc, en ver*u du 4me théorème

y = F(x) ne pourra satisfaire comme intégrale singulière à l'équation dy = f(x, y)dx, que dans le cas où

l'expression — = ■, x1 sera nulle ou indéterminée, et

par conséquent dans le cas où l'expression y = F{x) vérifiera Tune des conditions

Donc ces deux équations seront les seules qui puissent fournir des intégrales singulières de l'équation différentielle proposée , et dans la recherche de ces intégrales , il sera inutile d'avoir égard aux valeurs de j qui pourraient rendre indéterminée la seule fonction f(x, y).

Intégration des équations différentielles do premier ordre dam lesquelles la dérivée est élevée à des puissances entières ou fractionnaires, positives ou négatives. — Application à la recherche de l'équation d'une courbe lorsqu'on connaît la relation qui lie Parc s aux coordonnées X,jr.

483. Il arrive souvent que dans l'équation différentielle du premier ordre , les différentielles dx, dy ou la dérivée

y —-ir soient élevées à des puissances entières ou fractionnaires: dans le cas où tous les exposants sont entiers, la forme générale de l'équation est

(er+'.(£r+'-(£r+-"«-i+'— •;

Fl9 F„ . . . , Fn__t, Fn désignant des fonctions de a? et de y. On parvient à l'intégrer dans quelques cas particuliers : supposons d'abord que cette équation puisse être

résolue par rapport à -^-, et désignons par ft, /i ,... , fn

ses n racines, on pourra lui substituer les n équations différentielles du premier ordre

df — f.dx = o, d> — /arfar = o,..., dy—fndxz=.oy

que Ton intégrera à l'aide des méthodes connues. L'équation différentielle proposée étant équivalente au

CALCUL INTtelAL*

produit

(£-*)(£-*)••■ (Ï-a-XÎ-4

sera vérifiée par chacune des intégrales des n équations • différentielles du premier degré. Cela posé , soient

ces n intégrales , la formule

*.(*, r, Ct)9*(x> yy £)...?„(*, y, G.) = o,

renfermera toutes les solutions de l'équation donnée. On ne restreindra pas la généralité de cette intégrale en désignant toutes les constantes arbitraires par la même lettre C, ou en lui substituant la formule suivante

9i(*> y y C)p2(x, y, C)...<pn(x, y, C) = o,

puisqu'on égalant tour à tour chacun de ces derniers fac • teurs à o, et donnant à C toutes les valeurs numériques possibles , on retrouvera nécessairement toutes les intégrales particulières que chaque facteur de l'intégrale générale est susceptible de fournir.

Ier Exemple : -— — «* = o, f% =«» f* = — a> <Pi{*y y > Ct) = y — ax -+- C,,

?■(*» y* c*) = y + ax -h c,.

L'intégrale générale sera

(y — «a- 4. C,)(.r h- « + Ca) = o, OU (y -f- C)a — flaX* = O.

dy* 2me Exemple : -~ — ax = o,

fx z= V^x, /, = — V'âx,

L'intégrale générale sera

{y - {*£î-4- c.) (r + j«i** + ft) = o, ou

(r + cy — im1 = o.

3™ Exemple :'¥ + *-? = i. ' aar x air

En résolvant cette équation , on arrivera aux deux équations homogènes

£ + * + v/ÇT. = o,

qu'il est facile d'intégrer par les procédés connus.