Comme dernier exemple, nous considérerons l'équation
dx djr
dans laquelle les variables sont séparées et dont l'intégrale générale est une fonction algébrique, tandis que les intégrales des deux membres pris séparément n'ont jamais pu être déterminées exactement à l'aide des fonctions connues, algébriques, logarithmiques, circulaires, etc.
Posons
\Za„x^ -f- axx* -f- OjX* -f- ayx -f- *i4 = \/u9 V^aoX4 -h axy* -f- a#* -f- aiy -f- a4 = 1/7, dx = dz V/â, djr = r/«l/7,
et considérons z comme variable indépendante; il viendra
du = (4«o*3 -f- 3«,jr* -f- 2a*x -4- <*i)dxy
TBENTE-UNlfeME LEÇON. 4&x
dx2 dy% , idxd%x , adrd*y
dz%$ dz*' dz* ' dz% '
c *xd*Y
-=4fla»3-+-3«1X»-f-2£I,*-f-a3, "^r= ^or3"*- 3^,^-4- 2UI,r4-«3f
- = « — o = fl0 (*« — jrf) H- a, (*3 — .yî) + a,(x* — .r») ■+• «j (x — y),
- = «feT — a«.(^+rî)+ -j-' (*■+/*)+ «»(* ■+-/) 4-aj.
Posons encore a: — jr = 5 , x -\-y = £, et par conséquent
dx — dy = ds, dx -f- djr = dt:
les deux dernières équations deviennent alors
%dt en les retranchant et multipliant la différence par — ,
on aura
I (%dtd%t *dsdt*\ i /if*
et, par suite, en intégrant,
— — ^aS + aJ+C, — = *i/W 4- axt -f- C.
dz* s* * T ' ^ dz
H ne reste plus qu'à substituer dans cette équation, à la dt
place de 5, £, j- , leurs valeurs
48? CALCUL IATtG&AL.
pour obtenir l'intégrale générale cherchée
\Za„x* H- atx* -+- a%x* -f- ayx-{-aA
-4- \Za0y* -4- a,/3 -h ««J* -+- a3y + *4
Si Ton donnait les équations
dk djr
VA,?*-*- Ax**-h A^-h À3 "~ i/Ao^H-A^-f- A^-4-Aj ' dx = dy
*l/A<^"4-AIx"-+-A1 rl/A^H-A.jr-.f-A/ on ferait, pour la première,
*> = {, >» = „, d'où ^ = -^=, 4r = -^;
pour la seconde ,
*" = f, .?•« = *, d'où rfr = I i n dt, rf;=-, » dn>
et on les ramènerait ainsi immédiatement, ou à la formule déjà intégrée, ou à ce que devient cette formule quand on y fait a4 = o. On trouvera, de cette manière, que l'intégrale de la seconde des équations données est
*n/A0x»"-t-AI*»4-A1 -h fi/Aoy**-*- A^-h A~
= (*" — JT) V/Ao(x» -+-.T*)1 -f- A, (*■ -f-^-) -hC. -
La méthode qui nous a conduit à l'intégrale de l'équation (A) ne s'étend pas à l'équation plus générale
dx dy
car lorsque ra> 4> l'équation auxiliaire correspondante à
TRENTE-UHIÊME LEÇON. 483
contient , dans son second membre , des termes affectés de la variable j, et ne peut être intégrée généralement qu'autant qu'on égale à o les coefficients des variables X et y, élevées à des puissances plus grandes que 4»
M. Richelot a donné, dans le Journal de Crelle, une méthode un peu différente de celle que nous avons suivie. H pose
l'équation proposée devient alors — = — j* , et
Ton peut supposer que x et y sont deux fonctions d'une nouvelle variable z, déterminée par les équations
Posons de plus on en conclura
Mais 9 en faisant
«/'(*) + /*(/)](* - /) - l/W -/ Wl = FW>
on en tirera
et, puisque la fonction F(x) s'évanouit ainsi que ses dé-
484 CALCUL UfTÉGtAL.
rivées première et seconde pour x=jr$ elle sera divisible par (x — jr)*9 et , parce qu'elle est d'ailleurs du quatrième degré au plus, on aura
F(x) = (* — yf{mx -4- Cy + y).
En comparant cette nouvelle expression de F(x) à la première, on trouvera
« = C = *0, y = £«,, et, par suite,
F(x) = (^-#0(x+;)+{flJ = ^(M + }al), <&a dzdz'
dU dsde ,,
ou 2 — - d— = zaatdt + atdt. L'intégration immédiate donne dès lors
et enfin
ri^fâ+v7U)7
c'est l'intégrale déjà trouvée.
Si, dans l'équation différentielle . = — / ,nn
i il,
remplace x par -, y par -, et qu on pose
a4x4 H- /13*3 -h <*%x* -f- /ïx.r'4- «o = f(*) »
elle deviendra
dx dy
et aura pour intégrale
p4E±£EJ „(. + rf- .,<, h- ,>-«
comme d'ailleurs , par une nouvelle transformation de x en -, de y en -, cette dernière équation devient
On obtient, sous une seconde forme , l'intégrale de l'équation différentielle ^ = / . Ces deux formes
\ vTW) V7W)
doivent être au fond identiques, puisqu'une équation différentielle ne peut avoir qu'une seule intégrale complète; et, en effet, si après les avoir retranchées l'une de l'autre , on substitue pour f (x),, /(y) leurs valeurs , on arrive à une équation identique 0 = 0.
492. Dans ses leçons à l'Ecole polytechnique, M. Cauchy est arrivé , d'une manière toute différente , à l'intégrale de l'équation — , = / . Il considère d'à-
bord le cas particulier
dx __ <fr
\Saj* -+- a%x* -f- 1 \Sa0y 4-f- a*yx -H 1 '
et il cherche si une équation du quatrième degré , déjà symétrique par rapport à x et ky ,
Alx*y* 4- Aa(jr» -f- 71) + zA&jr — 1 = u = o,
ne pourrait pas vérifier l'équation proposée. Pour cela, remarquons que u peut se mettre sous les deux formes
«=(A1 x'4-À,),rM- 2A3* y -+■ (À,*»— 1) =Xy M- *X,y -t-X , , u nr^'H- A,)*» +nk*yx -f- (Aa/»— 1 ) = Y*» -f- aYtx ■+- Y , ,
486 CALCUL IHTÉGUL.
d'où l'on déduit
g=a(Y* + Y.), ! = a(XJ+X.),ï5$T:=^;
d'ailleurs , de l'équation
k = Yx* -+- *Ytx H- Y, = o,
on tire
Y*** -f- aYY,* 4- Y? = Y? - YY„
ou Yx 4- Y, = l/YÎ -YY,;
on trouvera de même
x.r 4- x, = Vx; -h xx,;
rëquation u = o entraine donc la suivante dx dy
i/x; — xxa i/yj — yy/
que Ton identifie avec la proposée, en posant
AJ — k\ 4- A, = azA%9 Ax =r — «„.
De ces deux équations, on tirera les valeurs de deux des coefficients A8, A,, At ; le troisième restera indéterminé et sera la constante de l'intégrale générale cherchée. Si l'équation proposée était
dx djr
!«** 4- n,*3 4- <liX% 4- «3* 4- «4 V^flfqT4 4- «i/3 4- «a.T* 4- «3/ + on ferait
l=o = (tfx»4-2Î4: 4-y)r14- 2(«'*» -f- *G'x 4- y') j 4- *"*» 4- a?* H = («T* 4- 2«'r + «/>1 4- 2(îj» 4- a?>4- C")* 4-*r* 4-ay> H
en supposant 6 = a , / = 6", y = a", afin que, u étant symétrique par rapport à x et à y, le nombre des con-
dUntes soit réduit à 6. On aurait, dès lors ,
u = Xj» + aXltr -h X, = Yx* -+■ aY,* H- Y„ et, par suite,
— = a(Yx + YJ, ^ = 2(X7 -h X,), X*ja 4- aX^j 4- Xî = Xï - XX»,
xj + Xl = i/x;— xx„ y* + y,=i/y; - yy;,
dx djr
l/xj — xxî ~~ i/y; — YY,'
et il ne restera plus qu'à identifier le polynôme du quatrième degré XJ — XXt avec
pour que m = o satisfasse à l'équation proposée. Une des six constantes restera indéterminée, et u = o sera l'intégrale générale cherchée.
L'intégration des expressions de la forme
dx
\/a<j& -+■ alxl -+- a^x* -h a*x -+■ *4
a été, dans ces dernières années surtout, l'objet des recherches des plus illustres géomètres. Nous sommes forcé de renvoyer à un appendice l'analyse de ces travaux et la théorie complète des fonctions elliptiques.
intégration des équations différentielles totales du premier ordre, i ferment un nombre quelconque de variables.
193. La forme la plus générale de ces équations , quand lés différentielles sont du premier ordre , est
Udx -+- Nrfr «+■ P<& + Qdr -f- etc. = o.
Considérons d'abord le cas où l'équation, nç renfermant que trois variables, se réduit à
Udx -f- N</j -4- Vdz = o.
H peut arriver que Ton reconnaisse immédiatement dans le premier membre la différentielle exacte d'une certaine fonction u = F(,r, y, z), de telle sorte que l'équation proposée puisse se mettre sous la forme
du = df{x, y, *) == o;
dans ce cas, il est évident que son intégrale générale sert
Mais l'expression Mdx + Nrfp -f- Vdz peut être la différentielle exacte d'une fonction u = F(x, jr, z), sans qu'on reconnaisse immédiatement quelle est cette fonction. L'intégration, dans ce cas, est cependant sûre et facile , parce qu'on peut toujours déterminer la fonc-
tion u. En effet , on ne peut avoir identiquement
Mdx H-Nrfr-*-Pi&= f (x, y, *)dx+x(x,jr, z)dy-t-4(x, jr, z)dz
du . du , du .
sans que Ton ait
et, par suite, -=-, -=-, £- = .Or, dès
que ces conditions seront remplies, on calculera facilement la fonction u en procédant comme il suit. Puisque u a pour dérivée, par rapport à x > Mou^x, j, *), on devra avoir
u=z f ç(x, y, z)dx -+■ v,
v désignant une fonction des seules variables j- et z \ de là on tire
*j= ç'M*:r>*)dx+±.= r **(*** ■>* + *
dy Jx0 dy dy J Xo dx dy
dç
= z(*fjr, »)— x(*o, y, *)+^- Mais — doit être égal à ^(j:, j, z) , on devra donc avoir
^r— z{*o, y, z) =0, 9 =j z(x0, y, z)dy -+■ w\ w étant une fonction de x seul , on a donc ^
u =f ^/)2)^+l *(*<>, y y # + WJ
490 CALCUL IXITiOftAL.
en drfférentiant par rapport à *, on trouve da J x. dz Jtq 4* ' dz
or
dpjx, y y z)__d4,(x,jr,z) dx(x0, y, z)d+(x0fy, s) cfe £ir ' dk "" dy %
on aura donc
du f* dl(x, y, z) J , p^HxoOS») . , d»
dz
Jr0
dx
-dx-h
f'dj,{x0,y,z) dw
h dy * + *•
et , en effectuant l'intégration et réduisant,
du du*
mais -7- est égal à <J/ (or, j-, s), donc
— == ij,(x0, yof *), w= Jg 4(*o, /o, *)<& -h C,
et, par suite,
/*= /%(*, r, *)<** 4- / %(*o, y, *)dy
