Soit

(1) a’ÿ2 — è*.ri = — a*6?

l’équation d’une hyperbole , rapportée à deux diamètres conjugués quelconques 2a et 26 ; on en tire :

D’après la théorie générale, exposée (n° 123), on aura les asymptotes de la courbe , en extrayant la racine carrée de la quantité x% — a*-, qui .est sous le radical de l’équation (2), sains avoir égard au reste de l’opération , et en remplaçant ensuite, dans l’équation, ce môme radical parla racine obtenue. Cette racine est x ; les deux asymptotes sont donc données par l’équation •

On peut démontrer cé résultat, à posteriori, de la manière la plus simple; désignons en effet par y et j/Mes ordonnées de deux points, correspondant à une même abscisse x ,' et appar-

tenant l’un à l’hyperbole, l'autre à l'une quelconque des droites représentées par l’équation (3) ; on aura :

d’où

on voit que si y et ÿ sont de mômes signes, comme on peut le supposer, la différence y' — 'y sera nulle pour a;=±e», car alors y et y’ sont tous' deux infinis. Il' s’ensuit que les droites (3) sont bien asymptotes de l'hyperbole.

La première dés équations (3) est satisfaite en posant x = ± a , y = ±; b ; la seconde est satisfaite en posant -r==±a, y =qr b ; on en déduit que Les asymptotes de l’hyperbole coïncident avec les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.

Remarque. Dans l’hyperbole équilatère, les équations dés asymptotes sont : . -

d’où < il' résulte que ... '. , ,

Les asymptotes de l'hyperbole équilatère divisent en parties égales lei angles formés par deux diamètres conjugués; et, par conséquent, ces asymptotes sont perpendiculaires entre elles.

191. Soit MM' une corde de l’hyperbole (fig. 109); prenons pour axe des y le diamètre parallèle à cette corde, et pour axe des x le diamètre conjugué; l’équatjon deTbyperbole sera, en désignant par 2 a et % les longueurs des deux diamètres, •• " \ ' V. - •

■ DE L'HYPERBOLE

d’où l’on tire : ,

et les équations des asymptotes seront .

On a alors 'évidemment :

MP=?MT et NP==N'P;

d’où l’on déduit, par soustraction,

MN = AfN' ;

ce qui prouve tjue

Les portions d’une sécante quelconque, comprises entre I- hyperbole et ses asymptotes , sont égales entre elles.

Remarque I. La propriété que nous venons -d’établir a

•évidemment lieu si ,1a corde, interceptée par l’Jiyperbole ;sur la -sécante , se réduit à zéro, auquel cas’ la sécante devient' tangente. On peut, au surplus, dofmer, pour ce cas, une démonstration directe- que le lecteur trouvera aisément lui -même.

Remarque II. Ce qui précède fournit le moyen de mefig. I09. ner une tangente à l’hypèr-

bole par un. point pris sur la courbe; il suffit, en effet, pour résoudre cette question, . de mener par le point une

droite telle que la portion de cette droite, comprise entre les asymptotes, soit divisée, par ce point, en deux parties égales.

LE RECTANGLE des parties d’une sécante, comprises entre un