LA MOITIÉ DU DIAMÈTRE AUQUEL LA SECANTE EST. PARALLÈLE

192. Soient MM' {lig. t09) une séante d’une hyperbole; N et N' les points où cette sécante rencontre les asymptotes; 2a et 26 les longueurs des diamètres conjugués, dont l’un est parallèle à MM'. L’équation de l’hyperbole sera

et celle des asymptotes,

en désignant par X. et Y les coordonnées des asymptotes. On tire de ces équations:' . .

Si l’on suppose ®==X=OP/ on aura:-

Y* — ÿ’==6!, ou .(Y+ÿj(Y-ÿ) = 6*,

ou enfin . ' •

MN'xMN = 6*. .

Il résulte de là que /

Le rectangle des parties- d’une sécante, comprises entre les asymptotes et un point de la courbe., est égal au carré de là moitié du diamètre , auquel la sécante est parallèle.

DE'tL’HYHÏRBOLE. 253

195, Les deux propriétés démontrées aux n® 191 et 192 donnent le moyen de construire une hyperbole, quand on connaît les asymptotes et un point de la courbe.

On peut d’abord construire la courbe par points. Si, en effet , on mène , par le point donné M (fig. 109) , une droite quelconque NMN' qui rencontre en N . et N* les. asymptotes, j puis que l’on prenne N'M'=NM, le point M' appartiendra à l’hyperbole. On pourra obtenir ainsi autant de points qu’on voudra de la courbe.

En second lieu, on peut trouver aisément les axes de l’hyperbole; en effet, pour avoir les directions des axes, il suffit de diyiser en deux parties égales les angles formés par les asymptotes ; on aura ensuite la demi-longueur de- l’un . . . des axes, en abaissant du point M unfe perpendiculaire sur la direction de l’autre axe, et cherchant ensuite {n° 192) une moyenne, proportionnelle entre les segments de cette perpendiculaire, compris entre les asymptotes et le point donné.

494. Les mêmes propriétés donnent encore une méthode très-simple pour construire une hyperbole, quand on connaît deux diamètres conjugués et l’angle qu’ils font entre eux.

En effet,' en menant les diagonales, du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués, on aura les asymptotes; connaissant les asymptotes et, deux points de la courbe, on pourra la construire par points ou trouver les axes par le moyen indiqué au n° précédent.

forme de l’équation de l’hyperbole rapportée a