Soif

xy-=ms, • . '

l’éqüation d’une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et e

;UG GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. a!b’

•transverse (1 4-ni’) t. r— et pour le carré d’un demi-

diamètre non transverse (1 4-m1) — — ; .

•• ami — 6*

On peut trouver aisément la ligne formée par les extrémités des diamètres non transverses. L’équation de cette ligne s'obtiendra évidemment en éliminant m .entre les équations (4); or les équations (t) se déduisent des équations (3), en changeant a’ en — a5 et 6’ en — 6* ; d’ailleurs l’élimination de m entre celles-ci conduirait à la proposée (!) ; donc l'équation de la ligne, que nous cherchons, peut se déduire immédiatement de l’équation (i), on faisant le simple

changement de a’ en — ar et de b* en > — lr ; on obtient

ainsi:

(5) aY— b'x'^a'b'. k . .

Cetto équation représente nne hyperbole. Chacune des hyperboles (1) et (8) a pour-axe transverse le non transverse de l’autre ; on peut même ajouter que tous les diamètres non transverses de l’une sont les diamètres transverses de l’autre. Ces deux hyperboles sont dites conjuguées.

, Remarque. Deux diamètres conjugués de l’byperboie sont toujours, l’un transverse et l’autre non transverse; car la rela-

• ■ v foi

tion imç -, , qui existé entre m et m' , montre que la valeur absolue de l’un de ces coefficients est toujours moindre

que et l’autre plus grande; sauf le cas de m=? m' = - , que

nous avons déjà mentionné. * '

Iftfl. On Donnée cordes supplémentaires de l’hyperbole.

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DE L’HYPERBOLE

Nji'

deux cordes MD et MD' (fig. 108), qui joignent un point quelconque de la courbe aux extrémités d’un diamètre transvetse. On démontre identiquement , comme pour l’ellipse, que deux cordes supplémentaires sont toujours parallèles à deux diamètres conjugués. Cette propriété conduit aussi aux • fig. 108 mêmes conséquences; elle

permet, en particulier, de mener une tangente à l’hyperbole par un point donné de, la courbe , ou parallèlement à upc droite donnée: mais, la construction étant identique avec celle, qüe. nous, avons développée dans la théorie de l’ellipse, nous iietcroyons pas devoir nous y arrêter. • •/

La considération des cordes supplémentaires donne aussi un moyen de construire deux diamètres conjugués d’une hyperbole qui fassent entre eux Vin angle donné; enfin elle permet de trquver les limites pe l’angle de deux diamètres conjugués; dans l’hyperbole, l’angle aigu de deux cordes supplémentaires peut varier de zéro à 90*.

De 4' hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués.

1119. On peut obtenir les résultats qui précèdent1 en cherchant tous les Systèmes d'axes, pour lesquels l’équation de l’hyperbole ne renferme ni rectangle ni termes du premier degré. Soit ‘ " ' . ' '

(t ) ' a’.!/’ — btxi= — a*6* , -,

l’équation de 1 -hyperbole rapportée à ses axes. Kemplaçant x>

par x cos a -f- y cos a' , y par x sin a -j- y sin a ; posant en outre :

tt1 Cl

tanga tanga = — ,

gl6’

a’ sin5 a — 6’cos’a ’

a!sinV— 6?cosV

l'équation de la courbe devient :

u* xz

ou

L’équation (2) est nécessaire pour l’évanouissement du rectangle ; elle exprime alors la relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués; les valeurs de à' et b'- sont positives , si l’oti suppose que tang a soit compris ' fe* b *

entre - et -j — ; alors le diamètre , pris pour nouvel axe

des x, est transverse et son conjugué non transverse. 11 est évident que la longueur 26’ est bien ce que nous avons nommé la longueur du diamètre non transverse, dirigé ici suivant le nouvel axe des y. Par un calcul semblable à celui que nous avons fait au sujet de l’ellipse, on déduit des équations (2) et (3) : ,

a b' sin (a' — a) =f= ah ; a'* — b'^a-— b\

Ces équations expriment que :

1° Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle construit sur les axes ;

2° La différence entre le carré d’un diamètre transverse et le carré de son conjugué est égale à la différence entre le carré de l’axe transverse et le carré de l’axe non transverse.

Cette dernière propriété montre que deux diamètres conjugués ne sont jamais égaux dans l’hyperbole. 11 n’y a

■ DE L’HYPERBOLE. , *49

d’exception que pour l’hyperbole équilatère; les axes de celle-ci étant égaux entre eux, deux diamètres conjugués quelconques le sont aussi.

asymptotes de L’hyperbole. — les asymptotes coïncident avec les