SES ASYMPTOTES

‘ 495. Si, par un point quelconque A d’unè hyperbole (fig. 110) op mène les-droites Aj\1 et AN respectivement parallèles aux asymptotes a: jt, y'y, 1 ’aire d u parallélogramme AAÇON

sera égale à la huitième partie du rectangle construit sur les

axes. En effet, construisons le parallélogramme CDEF sur les diamètres conjugués A'A et BR' ; à cause de AF = AC, on a ON = NF ; par conséquent le parallélogramme AMON est équivalent au triangle OAF qui est le huitième du parallélogramme CDEF et, par conséquent le huitième du rectangle construit sur les

axes.

Cette propriété permet dè trouvçr immédiatement l’équation de l’hyperbole ràp- . fig- no. portée à ses asymptotes. En

effet , prenons pour axe des <t 4’asymptote x'x, pour axe dés y l>symptote y'y ; désighous par 9 l’angle yOr , par 2 a et 26 les longueurs des axes; on aura, pour un point quelconque de la courbe , • , •

' xySin6 = — -.

C’est l’équation cherchée. On a :

sm - = — cos C-

’ sifl6-srFw; "

l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes peut > donc s’écrire ;

xy —

ÜE L’HYPERBOLE. Î5S

La quantité — ! — est désignée, par quelques auteurs, sous

le nom de puissance de l'hyperbole. • . ;

49(5. On peut résoudre la même question en partant de l’équation • ‘ \ .

(1) oV— b'x'~< — o’6s,

relative aux axés , et en employant les formules de la transformation des coordonnées : '

2) a: = y cos a ■+■*/' cos a’, y — ar'sina-f-j/'sina';

on a ici cos a =. cos a ■ .■ j sin <* ==-

5 vV + ft* '

y a’ -(-tr

et sina' =

; les formules (2) deviennent alors

a(af- \-y'\ b[y'—x')\

■ v'a’ -f- 6! vV+6’

substituant dans l’équation (4) et mettant ensuite x et y au lieu de x' et y1, il vient :

xy = ——.

' . Aire de l’hyperbole. ■ ,