Soif. j v

. - " xy — ma, .

l’équation d’une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et b

l'angle formé par ces asymptotes; soient C et M (fig. lit )

deux points de la courbe, dont le premier sera considéré comme fixe et le second comme mobile. Désignons par a l’abscisse du point C et par x celle du point “ — — M. Soient enfin u l'aire du trapèze CDPM formé par l’axe des x , l’arc CM et les ordonnées de ses

extrémités. L’ordonnée du point M étant —, la dérivée u' de

l’aire u, considérée comme fonction de x, a pour valeur (n° 158)

u — m* sinôx-:

or, si l’on désigne par / les logarithmes népériens, on sait

que la fonction m’sinOx^ a pour dérivée m’sin 0 X - ;

on aura donc (n° 150) :

u = ms sjn 6 x lx — m’ sin 0 X

fig. III.

ou

u = m8siilflXZ-

Cette formule se simplifie dans le cas de l’hyperbole équilatère. On' a alors sin 6 = 1 et, si l’on prend m pour l’unité, tl vient : ' • J :

DE L'HYl'EKBOLE.

Enfin si l’on met le point C au sommet de la courbe, on a a= 1 et, par suite,

■ tt ; u = Ix.

Cette propriété des logarithmes népériens, d’exprimer ainsi l’aire de l’hyperbole, a fait donner à ces logarithmes le nom d 'hyperboliques.

Remarque. Ce qui précède permet de trouver immédiatement l’aire d’un segment hyperbolique ; car cette aire est la différence entre l’aire d’un trapèze rectiligne facile à évaluer et l’aire dont nous venons de nous occuper.

EXERCICES

Questions à résoudre (*)