CHAPITRE VIII

DE LA PARABOLE

Location de la parabole rapportée a soi» axp. et a la tangente AU sommet. — rapport des carrés des ordonnées perpendiculaires A l’axe.

198. On a vu (n° 114) que l’équation du second degré peut être ramenée, dans le cas de la parabole , à la forme

- My* -f- Px = 0 ,

« et y désignant des coordonnées rectangulaires. En pop

sant — — = 2/> , cette équation devient :

'■(«) ÿ’ = 2 px.

C'est sous cette forme que nous la considérerons et nous supposerons p positif ; le cas de p < 0 se ramènerait de suite au cas de p >0, en changeant le sens des abscisses positives. On tire de l’équation (1)

(2) y=± \J~2px.

Ea valeur de y est imaginaire pour toutes les valeurs négative de s; lorsqu’on fait croître x de 4éro à l'infini , la va-

eur de y est réelle et croit de zéro à l’infini ; la parabole

s’étend donc à l’infini à partir de l’origine, et elle est formée de deux arcs OB, OC symétriques par rapport à l’axe des x, comme l’indique la figure 112. L’axe des x est donc un axe de la courbe et l’origine un sommet. La quantité p se nomme le paramètre

irabole.

199. L’équation (1) montre que le rapport du carré de l’ordonnée à l’abscisse est constant; il en résulte que: dans la parabole les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe sont entre eux comme les distances du sommet aux pieds de ces ordonnées.

Cette propriété fournit un moyen de construire la parabole par points. En effet, soit OP (fig. 112) une abscisse quelconque; prenons sur Oaj' une longueur OH = 2p et sur HP, comme diamètre, décrivons une circonférence; par le point I , où cette circonférence coupe l’axe Oy , menons une parallèle à Ox; le point M, où cette parallèle rencontre l’ordonnée menée par le point P, appartiendra à la parabole y’ =2 px-, car on a:

MP* = 01* =OHxOP = 2p X OP.

îiOO. On nomme points intérieurs à la parabole les points qui, comme ceux de Taxe Ox, sont renfermés dans la figure formée par la courbe, et points extérieurs tous les autres

DE LA PARABOLE

points du plan non situés sur la courbe. Cela posé, pour tout point extérieur à la parabole ,

y’ — 2px=0,

on a:

y* — 2 px> 0,

et , pour tout point intérieur .

y* — 2 px < 0.

Considérons d’abord le cas d’un point M extérieur. Ce point aura la môme abscisse qu’un certain point de la courbe et une ordonnée plus grande en valeur absolue, ou il aura une abscisse négative. Dans les deux cas on a évidemment y! — 2 px > 0i Un raisonnement semblable prouve la deuxième partie du théorème.

FO VER ET DIRECTRICE DE LA PARABOLE. — CHACUN DES POINTS DE LA COURBE EST ÉGALEMENT ELOIGNE DU FOYER ET DE LA DIREC- TRICE.— CONSTRUCTION DE LA PARABOLE.